D7_0预备知识.ppt

1、ch7.0 预备知识 ch7.1 多元函数的概念 ch7.2 偏导数 ch7.3 全微分 ch7.4 多元复合函数的微分法 ch7.5 隐函数的微分法 ch7.6 多元函数的极值与最值 ch7.7 二重积分,第七章 多元函数微积分学及其应用,2,本章将在一元函数微积分学的基础上，讨论多元函数的微积分法及其应用。讨论中，我们主要以二元函数为主，因为从一元函数到二元函数会产生许多新问题，而从二元函数到二元以上的函数则可以类推。,建议同学们在学习中，注意将二元函数的概念与结论与一元函数的相应的概念与结论加以比较，区别并理解二者之间的“同中之异，异中之同”，这样会大大地提高学习效率。,3,横轴,纵轴,

2、竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系:,ch7.0 预备知识一、空间点的直角坐标,4,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,5,6,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,7,二、空间两点间的距离,8,与平面解析几何相仿,空间解析几何利用,定义1 若曲面S上任意一点的坐标,空间坐标法,把由点构成的几何图形,和代数方程联系起来。,则称方程F(x,y,z)=0 为曲面S的方程；,都满足方程F(x,y,z)=0；,而不在曲面,S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0,F(x,y,z)=0的图形。(右图),三、 空间曲面与方程,而称曲面S为方程,例2

3、 一动点M( x, y, z)与两定点A(-1,0,4)和B(1,2,-1)的,故M( x, y, z)的轨迹方程,x z面的方程为 y = 0,距离相等, 求此动点M的轨迹方程.,(即A、B两点连线的垂直平分,面的方程)为,因x y平面上任意一点的坐标满足z = 0；,而凡满足z = 0的,点又都在 x y平面上；故坐标平面的方程分别为,x y面的方程为 z = 0;,y z面的方程为 x = 0;,下面来解决关于曲面的两个基本问题:,1. 巳知曲面的几何轨迹, 建立曲面的方程,平行于xy面的平面方程为 z = c(c为常数, 表示此平面,平行于yz面的平面方程为x=a(a为常数, 表示此平

4、面,平行于xz面的平面方程为y=b(b为常数, 表示此平面,Ax + By + Cz + D = 0,重要结论: 平面方程均为一次方程.,其中A、B、C、D均为常数, 且A、B、C不全为0.,在 z 轴上的截距),在 y 轴上的截距),在 x 轴上的截距),一般地,x, y, z的三元一次方程所表示的图形均是平面.,空间平面方程的一般形式为,例3 求球心在点 半径为R的球面方程.,特别地,以原点为球心,R为半径的球面方程为,2. 巳知曲面的方程, 研究方程的图形,通常情况下,三元方程的图形为一张空间曲面;至于,会得出曲面S的全貌这种方法称为,一、二元方程的图形,则应由具体的坐标系而定.,一般的

5、三元方程，通常很难立即想出其图形的形状.,但若依次用平行于坐标面的平面x = a、y = b和z = c去截,曲面S，则可得一系列的截口曲线；,再将它们综合起来就,常见曲面如下：,“平行截口”法.,半径为R的圆.,在空间，因方程,z,y,x,且圆的大小与c无关.,o,在xy面上，方程,表示以原点为圆心，,用平面z=c去截曲面，其截口线为,不含z，则z可取,任意值,圆,z,y,x,o,用平面 x = a去截曲面, 其截痕为直线,z,y,x,o,用平面 y = b去截曲面, 其截痕为直线,注1 xy面上,定圆曲线,的一个圆柱面.,平行于z轴的直线,叫做此圆柱面的,故该曲面为母线平行于z轴、准线为圆

6、周,准线，,叫做此圆柱面的母线.,柱面演示过程如下：,定义,柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的

7、准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母

8、线.,定义,柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,28,表示抛物柱面

9、,母线平行于 z 轴;,准线为xOy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,29,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xOz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xOy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yOz 面上的曲线 l2.,母线,2、 椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,椭球面与平面 的交线也为椭圆,椭球面的几种特殊情况：,是旋转椭球面,旋转椭球面与椭球面的区别：,方程可写为,它由椭圆 绕 轴旋

10、转而成,前者与平面 的交线为圆.,截面上圆的方程,球面,方程可写为,3、 抛物面,(1)椭圆抛物面,用截痕法讨论：,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,截得一点，即坐标原点O(0,0,0),(1）用坐标面 xoy(z=0) 与曲面相截,（p与 q 同号）,设p0, q0,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,与平面 不相交.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得抛物线,与平面 的交线为抛物线.,它的轴平行于 轴,顶点,（3）用坐标面 ， 与曲面相截,均可得抛物线.,同理当 时可类似讨论.,椭圆抛物面的图形如下：,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,（由 面上的抛物线 绕它的轴旋

11、转而成的）,与平面 的交线为圆.,当 变动时，这种圆的中心都在 轴上.,曲线L称为此旋转曲面的母线,故曲面 是 一个旋转抛物面(如图).,z,y,O,x,注2 如果有一条平面曲线L，绕着同一平面内一条,已知直线,旋转一周形成的曲面称为,旋转曲面.,L,已知直线,旋转曲面的轴.,称为此,旋转曲面演示过程如下：,旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条

12、直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条

13、直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,50,（ 与 同号）,(2)双曲抛物面（马鞍面）,

14、用截痕法讨论：,设,图形如右：,点击图中任意点 动画开始,4、 双曲面,单叶双曲面,（1）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点 的椭圆.,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点的双曲线.,实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合.,双曲线的中心都在 轴上.,与平面 的交线为双曲线.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,截痕为一对相交于点 的直线.,截痕为一对相交于点 的直线.,（3）用坐标面 ， 与曲面相截,均可得双曲线.,单叶双曲面图形,平面 的截痕是两对相交直线.,双叶双曲面,表示双曲线.,思考题,方程,表示怎样的曲线？,58,5. 椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,59,内容小结,1. 空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如, 曲线,绕 z 轴的旋转曲