MATLAB语言课件第7讲控制系统分析.ppt

1、5.2.1 控制系统时间响应分析,5.2 控制系统分析,1、 阶跃响应,格式1：给定系统模型num 、den（或a、b、c、d）,求系统阶跃响应并作图，时间 t 由系统自动设定。 格式2：同上，只是时间 t 由人工给定（等间隔）。 格式3：返回输出变量y、状态变量x的值，不作图。 格式4：返回的变量中包括或者不包括t，不作图。,例：求下面系统的单位阶跃响应 num=4 ; den=1 , 1 , 4 ; step(num , den) 计算峰值 max(y) 计算峰值时间 y , x , t=step(num , den) ; tp=spline(y , t , max(y),例：求如下系统的

2、单位阶跃响应 a=0,1;-6,-5;b=0;1;c=1,0;d=0; y,x=step(a,b,c,d) plot(t,x);hold on plot(y),解：1、假设将自然频率固定为n 1，0,0.1,0.2,0.3,1,2,3,5。 wn=1;zetas=0:0.1:1,2,3,5;t=0:0.1:12; hold on for i=1:length(zetas) Gc=tf(wn2,1,2*zetas(i)*wn,wn2); step(Gc,t) end hold off,或者： wn=1;zetas=0:0.1:1,2,3,5; t=0:0.1:12 hold on for zet

3、=zetas num=wn.2; den=1,2*zet*wn,wn.2; step(num,den,t) end hold off,2、将阻尼比的值固定在0.55，则可以绘制出在各个自然频率n 下的阶跃响应曲线，wn=0.1:0.1:1; z=0.55; t=0:0.1:12;hold onfor i=1:length(wn)Gc=tf(wn(i)2,1,2*z*wn(i),wn(i)2);step(Gc,t)endhold off,2、 脉冲响应,以上各函数的功能为给定系统数学模型，求系统的单位脉冲响应。 各种格式同6.1.1中的阶跃响应。,例：求下面系统的单位 脉冲响应： num=4 ;

4、 den=1 , 1 ,4 ; impulse(num,den),G=tf(4,1,2,3,4);Gc=tf(1,3,1,3);H=tf(1,0.01,1); Go=Gc*G;Gc=feedback(Go,H); impulse(Go); figure,impulse(Gc);,3、 零输入响应,格式1：给定系统状态空间模型的参数矩阵a、b、c、d和初始条件x0 ,求系统的零输入响应，并作图。时间t由系统自动产生。 格式2：同格式1，时间t由用户给定。 格式3：返回输出变量y、状态变量x及时间t值，不作图。,例：已知二阶系统的状态方程为： 求系统的零输入响应和脉冲响应。 a=0 , 1 ; -

5、10 , -2 ; b=0 ; 1 ; c=1 , 0 ; d=0 ; x0=1 ,0; subplot(1 , 2 , 1) ; initial(a , b , c ,d) subplot(1 , 2 , 2) ; impulse(a , b , c , d),4、 一般响应,给定系统数学模型，求任意输入信号时，系统时间响应。 格式1：给定系统模型参数、控制输入信号 u 和等时间间隔 t ，求系统的时间响应，并作图。 格式2：给定系统状态空间模型时，计算带初始条件x0的时间响应，并作图。 格式3：返回输出变量y和状态变量x，不作图。,例：系统传递函数为： 输入正弦信号时，观察输出信号的相位差

6、。 num=1 ; den=1 , 1 ; t=0 : 0.01 : 10 ; u=sin(2*t) ; hold on plot(t , u , :) lsim(num , den , u , t),例：有一二阶系统，求出周期为4秒的方波的输出响应,num=2 5 1; den=1 2 3; t=(0:.1:10); period=4; u=(rem(t,period)=period./2);%看rem函数功能 lsim(num,den,u,t);,在控制系统分析中，为了避开直接求解高阶多项式的根时遇到的困难，在实践中提出了一种图解求根法，即根轨迹法。所谓根轨迹是指当系统的某一个（或几个）参

7、数从到时，闭环特征方程的根在复平面上描绘的一些曲线。应用这些曲线，可以根据某个参数确定相应的特征根。在根轨迹法中，一般取系统的开环放大倍数 K 作为可变参数。 由于根轨迹是以 K 为可变参数，根据开环系统的零极点画出来的，因而它能反映出开环系统零极点与闭环系统极点（特征根）之间的关系,5.2.2 线性系统的根轨迹,1 pzmap 功能：绘制系统的零极点图。 格式：p,z=pzmap(A,B,C,D) p,z=pzmap(num,den) pzmap(p,z) 说明：对 SISO 系统，pzmap 函数可绘制出传递函数的零极点；对 MIMO 系统，pzmap函数可绘制系统的特征向量和传递零点。当

8、不带输出变量引用时，pzmap 函数可在当前图形窗口中绘制系统的零极点图，其中极点用“”表示，零点用“o”表示。P 为极点的列向量，z 为零点的列向量。,num=0.05,0.045; den=conv(1,-1.8,0.9,1,5,6); pzmap(num,den); title(Pole-Zero Map),2 rlocus 功能：求系统根轨迹。 格式：R,K=rlocus(num,den) R,K=rlocus(num,den,k) R,K=rlocus(A,B,C,D) R,K=rlocus(A,B,C,D,k) 说明：rlocus 函数可计算 SISO 开环模型的 Evans 根轨

9、迹，根轨迹以反馈增益的函数形式给出了闭环极点的轨迹（假定为负反馈）。,3 rlocfind 功能：计算给定一组根的根轨迹增益。 格式：K,poles=rlocfind(A,B,C,D) K,poles=rlocfind(A,B,C,D,P) K,poles=rlocfind(num,den) K,poles=rlocfind(num,den,P) 说明：函数 rlocfind 可计算出与根轨迹上极点相对应根轨迹增益。rlocfind 既适用连续系统,也适用离散时间系统 K,poles=rlocfind(A,B,C,D)可在图形窗口根轨迹图中显示十字光标，当用户选择其中一点时，其对应的增益由 K

10、 记录，与增益有关的所有极点记录在 poles 中。,解：先绘制根轨迹图，然后用 rlocfind 函数在图中选择极点位置，得到反馈增益。 G=tf(0.05,0.045,conv(1,-1.8,0.9,1,5,6) rlocus(G),K=rlocfind(G),例：已知开环系统传递函数，绘制系统的根轨迹，并分析其稳定性,num=1 2; den1=1 4 3; den=conv(den1,den1); figure(1) rlocus(num,den) k,p= rlocfind(num,den),figure(2) k=55; num1=k*1 2; den=1 4 3; den1=co

11、nv(den,den); num,den=cloop(num1,den1,-1); impulse(num,den) title(impulse response (k=55) ) figure(3) k=56; num1=k*1 2; den=1 4 3; den1=conv(den,den); num,den=cloop(num1,den1,-1); impulse(num,den) title(impulse response(k=56),5.2.3 控制系统频域分析,频率特性的定义： 设某稳定的线性定常系统，在正弦信号作用下，系统输出的稳态分量为同频率的正弦函数，其振幅与输入正弦信号的

12、振幅之比A(w)称为幅频特性，其相位与输入正弦信号的之差 称为相频特性。 系统频率特性与传递函数之间具有以下重要关系：,反馈控制系统稳定的充要条件：如果开环系统有 P 个极点在右半平面，相应于频率从-+变化时，开环频率特性 G(j)H(j)曲线逆时针方向环绕（1，j0）点的次数N 等于右半根平面内的开环系统的极点数 P，那么闭环系统就是稳定的，否则是不稳定的。1、 控制系统频域Bode图,系统对数频率曲线，又称为伯德(bode)图 。这种方法用两条曲线分别表示幅频特性和相频特性。横坐标为w，按对数log(w)分度。对数相频特性的纵坐标表示 ，单位为“度”。而对数幅频特性的纵坐标为：L(w)=2

13、0log(w)，单位为dB。,功能：对数频率作图函数，即伯德图作图。 格式1：给定系统的数学模型作bode图，频率w由系统自动给出。当系统模型以状态空间模型给出时，需指定第几个输入iu，SISO时iu省缺。 格式2：给定系统的数学模型作bode图，频率w的范围由人工给出，w的单位为rad/s，可以由函数logspace得到对数等分的w值。 格式3： 返回变量的值，不作图。其中m为频率特性G(jw)的幅值，p为频率特性的幅角，w为频率变化范围。,例：作如下系统的bode图： n=1 , 1 ; d=1 , 4 , 11 , 7 ; bode(n , d),解：1、n 为固定值， 变化时，wn=1

14、;zet=0:0.1:1,2,3,5; hold on for i=1:length(zet) num=wn2;den=1,2*zet(i)*wn,wn2; bode(num,den); end hold off,2、 为固定值，n 变化时， wn=0.1:0.1:1; zet=0.707; hold on for i=1:length(wn) num=wn(i)2; den=1,2*zet*wn(i),wn(i)2; bode(num,den); end hold off,例：系统传函如下， 求有理传函的频率响应，然后在同一张图上绘出以四阶伯德近似表示的系统频率响应,um=1;den=con

15、v(1 2,conv(1 2,1 2); w=logspace(-1,2); t=0.5; m1,p1=bode(num,den,2); p1=p1-t*w*180/pi; n2,d2=pade(t,4); numt=conv(n2,num);dent=(conv(den,d2); m2,p2=bode(numt,dent,w); subplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(m1),w,20*log10(m2),g-); grid on ; title(bode plot);xlabel(frequency);ylabel(gain); subplot(2,1,2);

16、semilogx(w,p1,w,p2,g-);grid on; xlabel(frequency);ylabel(phase);,2、 计算控制系统的稳定裕度,格式1：给定系统的数学模型，作bode图，并在图上标注幅值裕度Gm和对应的频率wg，相角裕度Pm和对应的频率wp。 格式2：返回对应变量的值，不作图。 格式3：给定频率特性参数：幅值m、相位p和频率w，由插值法来计算幅值裕度Gm和对应的频率wg，相角裕度Pm和对应的频率wp。,n=3.5; d=1 2 3 2;Gclose=cloop(n,d,1); Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(n,d) step(Gclose) 从运行结

17、果可知，系统的幅值裕量很接近稳定的边界点 1，且相位裕量只有 7.1578，所以尽管闭环系统稳定，但其性能不会太好。同时可以看出在闭环系统的响应中有较强的振荡。如果系统的相角裕量45，则称该系统有较好的相角裕量，然而这样的数值不是很绝对。,G=tf(100*conv(1,5,1,5),conv(1,1,1,1,9); Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G) G_close=feedback(G,1); step(G_close) 从运行结果可以看出，该系统有无穷大的幅值裕量，且相位裕量高达 85.4365，所以系统的闭环响应是较理想的。,3、控制系统nyquist曲线,幅相频特性曲线，

18、又称为奈奎斯特(Nyquist)曲线或极坐标图。它以w为参变量，以复平面上的矢量表示G(jw)的一种方法。,格式1：给定系统数学模型，作极坐标图。频率的范围 由系统自动给定。 格式2：给定系统数学模型，作极坐标图。频率的范围 由用户给定。 格式3：返回极坐标图参数，不作图。其中re为复变函 数G(jw)的实部，im为复变函数G(jw)的虚部， w为频率，单位为：rad/sec,例：二阶系统为： 令wn=1,分别作出z=2 , 1 , 0.707 , 0.5时的nyquist曲线。 n=1 ; d1=1 , 4 , 1 ; d2=1 , 2 , 1 ; d3=1 , 0.707 , 1； d4=

19、1,1,1; nyquist(n,d1) ; hold on nyquist(n,d2) ; nyquist(n,d3) ; nyquist(n,d4) ;,G=tf(1000,conv(1,3,2,1,5); nyquist(G);axis(square) 该图中（1，j0）点附近 Nyquist 图的情况不是很清楚，（选择图形窗口中的放大按钮），从局部放大的图形可以看出，Nyquist 图逆时针包围（1，j0）点 2 次，而原开环系统中没有不稳定极点，从而可以得出结论，闭环系统有 2 个不稳定极点。这也可以由下面的 MATLAB 语句来进一步验证。 G_close=feedback(G,1

20、);roots(G_close.den1) 由运行结果可知，系统有三个根，其中有两个根位于右半 s 平面，由此可见该系统是不稳定的。,例：分别由w的自动变量和人工变量作下列系统的nyquist曲线： n=1 ; d=1 , 1 ,0 ; nyquist(n ,d) ; w=0.5 : 0.1 : 3 ; nyquist(n , d , w) ;,例：一多环系统，其结构图如下，使用Nyquist频率曲线判断系统的稳定性。,k1=16.7/0.0125;z1=0;p1=-1.25 -4 -16;num1,den1=zp2tf(z1,p1,k1);num,den=cloop(num1,den1);z

21、,p,k=tf2zp(num,den);p figure(1)nyquist(num,den)figure(2)num2,den2=cloop(num,den);impulse(num2,den2);,4、控制系统nichols曲线,用开环频率特性求系统的闭环频率特性时，需要画出系统的开环幅相特性曲线。绘制曲线一般比较麻烦，因此希望通过开环对数频率特性来求闭环频率特性。下面介绍的尼柯尔斯图线就是为满足这个要求而提出的。 对数幅相频率特性曲线 ， 又称为尼柯尔斯(Nichols)曲线。该方法是以w为参变量， 为横坐标，L(w)=20log(w)为纵坐标。,格式1：给定系统数学模型，nichols

22、曲线作图。频率范围由系统自动给定，可由ngrid函数在图上加网格。 格式2：给定系统数学模型，nichols曲线作图。频率范围由用户给定，可由ngrid函数在图上加网格。 格式3：返回对应变量值，不作图。m为频率特性G(jw)的幅值，p为频率特性G(jw)的相位，w为频率。,例：已知系统为： 作该系统的nichols曲线。 n=1 ; d=1 , 1 , 0 ; ngrid(new) ; nichols(n , d) ;,例：已知系统的开环传递函数为： K=2、k=10时，分别作nichols曲线。 n1=2 ; n2=10 ; d=1 , 3 , 2 , 0 ; ngrid nichols(

23、n1 ,d) ; nichols(n2 ,d) ; nichols(n1 ,d) ; hold on nichols(n2 ,d) ;,num=1; den=conv(conv(1 0,1 1),0.5 1); subplot(1,2,1); nichols(num,den);grid; subplot(1,2,2); g=tf(num,den); bode(feedback(g,1,-1);grid; 由图可见，开环对数幅相特性曲线与 的等幅值图线相切，切点的频率为 。所以，闭环对数幅频特性将出现谐振峰值 ,谐振频率 ，,李雅普诺夫第一方法 求解线性系统稳定性问题最简单的方法是求出该系统的所

24、有极点，并观察是否含有实部大于零的极点(不稳定极点)。如果有这样的极点，则系统称为不稳定系统，否则称为稳定系统。若稳定系统中存在实部等于 0 的极点，则系统称为为临界稳定系统。,5.2.4 控制系统的稳定性分析,可以用三种方法直接判定系统的稳定性 a. 求传递函数分母多项式的根，系统稳定所有的根应具有负实部。root(den) b. 求系统矩阵的特征多项式的根，系统稳定所有的根应具有负实部。 p=eig(a) c. 求系统极点，或利用下列函数显示系统零极点在s平面上的位置，可以图形方式显示系统的稳定性。 pzmap(num , den) pzmap(a , b , c , d),例：系统的开环传递函数为： 分别确