第十二章 能量法(一).ppt

1、Page,1,第 12 章 能量法（一）,12-1 外力功与应变能的一般表达式 12-2 互等定理12-3 余能与卡氏第二定理12-4 变形体虚功原理12-5 单位载荷法,Page,2,引言,求节点A的铅垂位移 的两条研究途径,方法一,方法二,Page,3,问题： （1）用什么方法求节点A的位移BC杆的转角？,能量法可以有效研究更复杂的一般问题,Page,4,12-1 外力功与应变能的一般表达式,一、计算外力功的基本公式,非线性弹簧,刚体,线性弹簧,k：弹簧常数,为什么线弹性体外力功表达式有常系数1/2？,Page,5,一般弹性体,相应位移 d : 0 D,线性弹性体,载荷 f : 0 F,思

2、考：常数k怎样确定？,对比：弹性体与弹簧,Page,6,广义力与广义位移,相应位移：载荷F作用点沿载荷作用方向的位移分量D。,外力功： 载荷在相应位移上所作之功。,广义力： 力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或转向相反的力偶等。,广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。,：与力F相应的广义位移,Page,7,二、克拉比隆定理：,线弹性体上作用有多个广义力，比例加载，根据叠加原理，各广义力与相应广义位移成正比。,Fi广义载荷,D i相应广义位移,外力功：,由于外力功与加载次序无关，本定理也适用于非比例加载。但只适用于线弹性体,克拉比隆定理是否说明可由叠加法计算多个力的功？,不能，

3、因为,Page,8,例：试确定图a均布载荷q 对应的广义位移，图b铰链两侧横截面相对转角 对应的广义力。,Page,9,例：已知 ，求 与 关系。,几何非线性问题与外力功计算,载荷-位移关系,外力功计算,构成线性弹性结构的条件, 材料符合胡克定律（物理线性） 小变形 可按原始几何关系分析内力与变形（几何线性）,Page,10,作业 12-3,Page,11,三、应变能的一般表达式,1.单位体积内应变能应变能密度,拉压应变能密度,纯剪应变能密度,Page,12,2. 基本变形的应变能,拉压,对于桁架,应变能密度,拉压杆应变能,Page,13,扭转,应变能密度,圆轴扭转应变能,非圆截面轴扭转应变能

4、,Page,14,弯曲,应变能密度,拉压杆应变能,非对称弯曲沿两主轴分解计算应变能,注：忽略了弯曲剪力的应变能,Page,15,利用功能原理计算应变能,拉压,扭转,弯曲,Page,16,3. 组合变形的应变能,思考：组合变形的总应变能能否由各基本变形的应变能叠加，为什么？,答：能够。因为各基本变形的应变能不耦合。换句话说，一种基本变形的对应内力在其他基本变形上作的功为零。,Page,17,组合变形的应变能公式,圆截面杆或杆系,非圆截面杆或杆系（y , z轴主形心轴）,Page,18,解:（1）计算梁的应变能(x轴从A向左),多个外力引起的应变能不能利用叠加原理进行计算,例：悬臂梁承受集中力与集

5、中力偶作用，计算梁的应变能与外力所做之总功。弯曲刚度为EI。,Page,19,解:(2) 计算外力所作之总功,结论：梁的应变能等于外力所做总功,挠度,转角,外力功,Page,20,例: 试计算图示水平面内直角刚架的应变能。刚架截面为圆形，直径为 d，材料弹性模量和剪切模量分别为E和G。,解：对于图示刚架，弯矩和扭矩方程分别为：,AB段：,BC段：,分析：总应变能等于各段、各基本变形的应变能叠加。 为什么？,Page,21,Page,22,（1）,单独计算各载荷对应的应变能。,Page,23,例 12-3 试计算弹簧的轴向变形l,解：,影响弹簧变形的主要内力是扭矩,Page,24,作业 12-1

6、b, 2, 4,Page,25,12-2 互等定理,同一弹性体的两种受力状态,引起位移的载荷,发生位移的点,Page,26,先加 F1，后加 F2：,先加 F2，后加 F1：,线弹性体的两种加载次序与功,总功与加载次序无关,W1=W2,两表达式的交叉项相等,Page,27,对于线性弹性体，F1在F2引起的位移D12上所作的功，等于F2 在F1引起的位移 D21上所作的功,功的互等定理（简单情形）,Page,28,功的互等定理（简单情形）,功的互等定理（一般情形）,对于线性弹性体，第一组外力 F1 (i) (i=1,2,m)在第二组外力引起的位移 D12(i) 上所作的功，等于第二组外力 F2(

7、j)(j=1,2,n)在第一组外力引起的位移 D21(j)上所作的功。,A,D,F1,M1,q1,其中力和位移均指广义力和广义位移。,Page,29,若F1=F2,位移互等定理,当F1与F2的数值相等时， F2在点1沿F1方位引起的位移D12，等于F1在点2沿F2方位引起的位移D21,Page,30,若F1=F2,位移互等定理,功的互等定理,上一讲回顾,可推广到两组外力情形,Page,31,例： 测量线弹性梁（图a, 等截面或任意形状变截面）A、B两点挠度，但仅端点C适合装千分表。,解： 设图a在A点的挠度为,如图b加载和装千分表， 测得C点的挠度为,则根据位移互等定理,Page,32,由功的

8、互等定理,例： 如图a支座A因装配应力破坏，A、B点分别下降 和 , 在新的无初应力位置修复（图b），求B点作用F 时支座A的约束反力。,解： 在破坏前和破坏又修复后，结构受力状态如图a,b。,Page,33,例：（P63，题125）等直杆宽b，拉压刚度EA，泊松比 求,解: 设第二种受力状态为 轴向拉力F,对于任意截面形状的等直杆，解答是否成立?,Page,34,解： 考虑薄板受均布载荷q,由功的互等定理,例： 已知E， ，h ，求均质薄板面积改变量DA,Page,35,思考题1 板内开任意一孔， 是否变化？,思考题2 内孔受一对图示方向的力， 是正还是负？,Page,36,12-3 余能与

9、卡氏第二定理,一、余功与余能,外力余功,弹性体的余能Vc数值上等于余功：,外力功,Page,37,余能计算,单向应力状态下的余能密度,拉压杆与梁的余能,对比应变能,Page,38,二、克罗第恩格塞定理与卡氏第二定理,问题：弹性体受广义力Fk（k=1,n)的作用，求相应位移k。,解：使Fk增加微量dFk，余功增量,又,克罗第恩格塞定理: 弹性体的余能对载荷 Fk 的偏导数，等于该载荷的相应位移 Dk,Page,39,对于线性弹性体，应变能数值上等于余能,克罗第恩格塞定理:,卡氏定理： 线性弹性体的应变能，对载荷 Fk 的偏导数，等于该载荷的相应位移 Dk,注意：对于线弹性体，应变能数值上等于余能

10、，但应变能与余能是两个完全不同的物理量。,Page,40,对于拉压杆,圆截面杆组合变形：,非圆截面杆组合变形：,思考：为什么对于组合变形可以采用叠加法？,Page,41, 讨论两个定理的适用范围：,克罗第恩格塞定理：,卡氏第二定理：,一般弹性体,线弹性体, 对于非线性材料(应力应变关系非线性)， 需用克罗第-恩格塞定理。,Page,42,解：,例： 用卡氏定理求A点挠度 转角 梁轴线变形 前后所扫过的面积 。,（1）计算A点的挠度 wA,梁内弯矩,由卡氏定理，A点挠度,Page,43,解：,例： 用卡氏定理求A端挠度 转角 梁轴线变形 前后所扫过的面积 。,（2）计算A点的转角qA，,梁内弯矩

11、,由卡氏定理，A端转角,思考：所求广义位移没有对应广义力怎么办？,采用附加载荷法，在A点加一附加力偶M0,负号表示什么意义？,Page,44,解：,计算梁轴线变形前后所扫过的面积W，,梁内弯矩,思考： W所对应的广义力？,采用附加载荷法，在全梁加一附加均布载荷q0,轴线扫过面积,Page,45,例：用卡氏定理求A点挠度， EI为弯曲刚度。,解：设FA=2F, FB=F,思考：,AB段：,BC段：,Page,46,等于A点挠度的两倍与B点挠度之和。,对于刚架（b),注意DA和DB指沿力线的距离。,Page,47,例：计算图示圆拱小曲率杆铰链A两侧的相对转角,分析： 先确定广义位移 所对应的广义力

12、（附加力法）:,作用于铰链两侧一对力偶Me,常见错误：不会计算约束反力，甚至错误当作静不定结构。,取整体为研究对象，由对称性或由对B、C的力矩平衡，确定C、B铅垂反力为F/2，然后由AC段平衡确定全部约束反力。,Page,48,解： AC段弯矩,Page,49,由卡氏定理：,Page,50,由A、B 两节点平衡,例： 各杆EA，求A点水平位移及AB转角。,解： （1）计算A点水平位移,由整体平衡,Page,51,问题 若由卡氏定理计算 ，附加载荷怎么施加？,（2）计算AB转角由几何关系,如图，作用于1杆的Me向节点A、B分解,Page,52,在A、B 两点加附加力,（3）计算AB转角由卡氏定理

13、,Page,53,例：材料的应力应变关系,。压缩时，方程中的,和均取绝对值。求A端的挠度。,分析：非线性弹性问题，需 用克罗第恩格塞定理，其中关键是余能的计算,解：1.应力分析,根据平面假设,Page,54,（）,2. 余能计算,余能密度,梁的总余能,3. 由克罗第恩格塞定理计算挠度,Page,55,作业 12-6, 8, 9,12,Page,56,上一讲回顾,外力功与外力余功,应变能与余能,弹性体的余能Vc数值上等于余功：,解题技巧：附加载荷法,注意事项：同名载荷法区分,Page,57,12-4 变形体虚功原理,一、 回顾刚体虚功原理,处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在任意虚位移或可

14、能位移上所作之总虚功等于零。,Page,58,1. 几个概念,二、 变形体的虚功原理,（1）可能内力：与外力保持平衡的内力称为静力可能内力或简称为可能内力。,杆的可能内力用FN ,T, FS与M表示。,Page,59,满足变形连续条件与位移边界条件的任意微小位移，称为几何可能位移或虚位移，相应之变形称为可能变形或虚变形。,（2). 虚位移与虚变形,杆微段的虚变形用dd *,df *与dq *表示。,Page,60,（3） 内虚功与外虚功,内虚功作用在所有微段上的可能内力在虚变形上作之总虚功,外虚功外力在可能位移上所作之总虚功,Page,61,2. 变形体虚功原理,外力在虚位移上所作外虚功 We

15、，等于可能内力在虚变形上所作内虚功 Wi，即 We Wi,Page,62, 变形体虚功原理适用于线性弹性体，非线性弹性体与非弹性体。,3. 应用变形体虚功原理的应用条件与应用范围：, 所研究的力系（外力与内力）必须满足平衡条件与静力边界条件。, 所选择的位移应是微小的，且满足变形连续条件与位移边界条件。,Page,63,4. 验证虚功原理,外力虚功：,内力虚功：,以图示梁为例验证：We=Wi,证明： 可能内力满足：,（平衡条件）,（静力边界条件）,虚位移满足：,（变形连续条件）,（位移边界条件）,Page,64,虚位移,证明：可能内力满足：,虚位移满足：,外虚功：,由分部积分,即：We=Wi，

16、证毕。,Page,65,12-5 单位载荷法,单位载荷法：建立在虚功原理基础上的计算位移的一般方法。,该方法的要点：,1. 由实际载荷引起的实际位移当作虚位移，实际变形当作虚变形,右上图，虚线表示的实际位移曲线当作虚位移曲线；微段的轴向变形dd，扭转角df, 相对转角dqy,dqz (y,z为截面主形心轴)当作虚变形。,2. 虚拟单位载荷（右下图红箭头）作为实际外载，所引起的内力作为可能内力：,Page,66,3. 单位载荷法的基本公式,Page,67,线位移，加单位力 角位移，加单位力偶 相对线位移，加一对相等相反单位力 相对角位移，加一对相等相反单位力偶, 关于位移与单位载荷, 关于位移方

17、向,当所得位移为正，则位移与所加单位载荷同向,D 广义位移，求解时施加相应单位广义载荷,Page,68,4. 单位载荷法的适用范围：不仅适用于线弹性杆或杆系，也适用于非线性弹性与非弹性杆或杆系,5. 对于线弹性杆或杆系的公式,Page,69,2.分段建立弯矩方程。,注意： 实际载荷状态与单位载荷状态必须分开画两个图，且两图分段与坐标应相同。 圆弧段用极坐标方便。,例: 弯曲刚度EI，求A点铅垂位移,分析步骤：,1.根据待求广义位移配置单位载荷状态。,Page,70,解： 对于AB段：,对于BC段：,Page,71,根据对称性,例: 弯曲刚度EI，求C点挠度 和A点转角,解：（1）求 ，配置单位

18、载荷状态,AB段：,BC段：,Page,72,根据对称性,解： （2）求 ，配置单位载荷状态 注意一对单位力偶分别作用在刚架的A、D端，这样求出的是A、D的相对转角,Page,73,解：,例: 各杆EA，求AB杆转角 ， A、D点相对位移,Page,74,解（2）求A、D的相对位移,配置单位载荷系统,Page,75,分析步骤：,（1）建立弯矩、扭矩方程,（2）校核强度（如何确定危险截面）,（3）求相对位移,例: P=2F,F=80N, =240MPa,E=200GPa,G=80GPa R=35mm,d=7mm, 忽略开口宽度 （1）按第三强度理论校核强度 （2）求开口沿F 方向相对位移,Page,76,（2）校核强度,a. 合弯矩方程,b.,解：（1）建立弯矩方程与扭矩方程,Page,77,c. 求 极值,安全！,即,（2）校核强度,Page,78,（3）求沿F 相对位移,沿F 方向加一对单位力,Page,79,解： 原结构各杆长度变化,例: 杆1制造误差长 ，求 与,（1）求,在B 加向下