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1、如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,直角坐标系下计算二重积分（几何意义：曲顶柱体体积）物理意义：平面质量,X型,如果积分区域为：,Y型,二重积分在极坐标下的计算公式,1、被积分函数或者积分区域含有圆，常用极坐标。 2、在积分中注意使用对称性; 3、一般变量代换中注意雅可比行列式要加绝对值,1、极点不在区域 D 的内部,2、极点位于区域 D 的内部,3、极点在区域 D 的边界上,即：化为一个定积分和一个二重积分的运算,直接坐标系下计算三重积分,.,1、面投影法（先一后二法）,一般的，若给定积分次序时： 1、积分次序为 zyx；投影到xoy面， 2、积分次序为 yzx; 投影到xoz
2、面； 3、积分次序为x-y- z；投影到yoz面。,.,先做二重积分，后做定积分,2、轴投影法-截面法,二、利用柱面坐标计算三重积分,dV =,三、利用球面坐标计算三重积分,dV=,r 2,sin drdd,rcos ),sin drdd,r 2,利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的,奇偶性,重积分应用,(1) 体积,设S曲面的方程为：,曲面S的面积为,(2) 曲面积：平面图形面积,当薄片是均匀的，重心称为形心.,(3) 重心坐标,空间物体的重心,() 重心(质心),1、薄片对于x轴的转动惯量,2、薄片对于y轴的转动惯量,(4.1) 转动惯量,(4.) 转动惯量,薄片对 轴上单位质点的引力,为引力常数,(5) 引力,例：计算,其中,从而,例2 在半径为a的均匀密度的球体内部挖掉两个互相内切于大球的半径为a/2的球体，试求剩余部分对于这三个球的公共直径的转动惯量。
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