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1,1 向量的内积,一、向量内积的定义和性质,二、向量的长度和性质,三、向量的正交性及其性质,2,n 维列向量:,定义1.,一、向量内积的定义和性质,1. 向量内积的定义,3,注意:,4,2. 性质:,例.,5,定义2.,称为长度(或范数).,性质1.,性质2.,性质3.,性质4.,二、向量的长度和性质,6,注意:,例. 把向量,是单位向量.,7,许瓦兹不等式和夹角,许瓦兹不等式:,定义3. 非零n维向量,规定为:,解:,8,注意:,证明:,反证:,三、向量的正交性及其性质,9,不妨设,矛盾!,证毕.,10,正交规范基,定义5. 设V 是 r 维的向量空间, 向量组,11,求向量空间的正交规范基,12,第二步：单位化. 取,13,以上所讨论的正交规范基的求法, 通常称为施密特(Schmidt)正交化过程.,正交矩阵,例如. 方阵,14,一般. 对 n 阶方阵,则,定义6.设 A为n 阶方阵, 若,正交阵.,15,註:,16,0,0,17,例1. 问矩阵,是否是正交阵?,18,方法二.,P 的行向量是单位向量.,P 的行向量两两正交.,解.,方法一.,19,方法二.,例2.,证明: 方法一.,20,定义7. 若P 为正交阵, 则线性变换Y = PX 称为正交变换.,21,(1). 同解方程组所含有方程的个数为 r.,(2). 自由未知元的个数为 n - r 个.,
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