函数的基本性质

1、函数的基本性质一、单调性定义1单调性定义：设函数f(x)的定义域为A，区间MA，若对于任意的x1，x2M，当x1x2时，都有f(x1)_ f(x2)，则f(x)为区间M上的增函数对于任意的x1，x2M，当x10，则为减(增)函数，为增(减)函数3互为反函数的两个函数有相同的单调性4yfg(x)是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数fg(x)为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数fg(x)为减函数5奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反三、函数单调性的应用有：(1)比较函数值或自变量值的大小(2)求

2、某些函数的值域或最值(3)解证不等式(4)作函数图象四、函数的最大(小)值：定义：一般地，设函数yf(x)定义域为，如果存在实数M满足：(1)对任意x，都有f(x)M(或f(x)M)；(2)存在x0，使得f(x0)M.称M是函数yf(x)的最大(或最小)值五、复合函数的单调性对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，那么函数yfg(x)在区间(a，b)上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域.tg(x)yf(t)yfg(x)增增增增减减减增减减减增六、解题技巧1函数

3、单调性的证明方法(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是：任取x1、x2D，且x10，则f(x)在区间D内为增函数；如果f (x)0，则f(x)在区间D内为减函数2函数最值的求法(1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法1.(2010天津模拟)函数y (x22x3)的单调递增区间为_2.(文)函数yax在0,1上的最大值与最小值的和为3，则a的值为()A.B2C4D.3.(文)(2010济南市模拟)设y10.4，y20.5，y30.5，则()Ay3y2y1 By1y2y3Cy2y3y1 Dy1y3y24(2012保定一中质检)

4、已知f(x)为R上的减函数，则满足fa，则实数a的取值范围是()A(，3) B(，1) C(1，) D(0,1)8(2011青岛模拟)已知函数f(x)axlogax(a0且a1)在1,2上的最大值与最小值之和为loga26，则a的值为()A. B. C2 D49(文)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上单调递增，则实数a的取值范围是_10.(文)(2011平顶山一模)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x20，)(x1x2)，有0，则()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取

5、值范围一、函数的奇偶性1奇偶性的定义设函数yf(x)的定义域为D，若对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)_ (或f(x)_)成立，则称f(x)为奇函数(或偶函数)2关于奇偶性的结论与注意事项(1)函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(2)函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、是偶函数不是奇函数、既是奇函数也是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数(3)如果一个奇函数f(x)在x0处有定义，那么f(0)0；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域为0，但逆命题不成立若f(x)为偶函

6、数，则恒有f(x)f(|x|)(4)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称(5)两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数；两个奇(偶)函数之积、商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数(以上函数都不包括值恒为0的函数)二、函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x值，都满足f(xT)_，那么函数f(x)叫做周期函数T叫做这个函数的一个周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做它的最小正周期(2)一般我们提到函数的周期是多少，指的是最小正周期；如果T是f(x)的周期，则kT(kN*)也是该函数的周期；

7、周期函数不一定有最小正周期1.(2011北京西城一模)下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()Ay2|x| Byx2xCy2x Dyx32.(2010北京西城区抽检)下列各函数中，()是R上的偶函数()Ayx22xBy2xCycos2x Dy3.(文)(2011辽宁文，6)若函数f(x)为奇函数，则a()A.B.C. D14.(文)(2011湖南文，12)已知f(x)为奇函数，g(x)f(x)9，g(2)3，则f(2)_.5(文)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x3，则f(2)的值等于()A1 B. C1 D6.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶

8、函数，且f(x)g(x)()x，则f(1)，g(0)，g(1)之间的大小关系是_7(文)(2011合肥模拟)设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)f()的所有x之和为()A B C8 D88(文)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x2对称，且当x(2,2)时，f(x)x21.则f(5)_.9.(文)(2010安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)()A1 B1 C2 D210(文)(2011济南模拟)函数f(x)(xR)是周期为3的奇函数，且f(1)a，则f(2011)的值为()Aa Ba C0 D2a11(2011青岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)