第5章刚体的定轴转动.ppt

1、质点的角动量定理,回顾,刚体运动遵从的力学规律,力矩,改变物体的转动状态,物体获得角加速度,力 学（Mechanics）,第5章 刚体的定轴转动 (Fixed-spindle Rotation of Rigid Body),【学习目的】,1、掌握转动惯量、力矩等重要概念。,2、掌握转动惯量的相关计算。,3、掌握转动定律、角动量守恒定律。,5.1 刚体转动的描述,5.2 转动定律,5.3 转动惯量的计算,5.5 转动中的功和能,5.4 刚体的角动量和角动量守恒,5.1 刚体转动的描述,刚体：受力时不改变形状和体积的物体,平动时，刚体上的任一指定直线保持平行,刚体的各质元绕某一定轴转动,刚体的质心

2、和质元：由无数质元组成的特殊质点系；质量分布均匀、形状规则的刚体质心在其几何中心,1、刚体的运动：平动和转动,转动平面,2、平动和转动，可以描述刚体所有质元的运动。,刚体定轴转动：,角位移，角速度(沿轴的方向)，角加速度,每个质元在自己的转动平面内作圆周运动;都具有相同的角位移、角速度和角加速度,线速度,线加速度,3、匀变速转动的公式,在刚体作匀角加速转动时，=常数，有以下相应的公式:,在质点作匀加速直线运动时，a =常数，有以下相应的公式:,刚体获得角加速度的原因？,化简角动量定理 功能原理 方便的形式,4、解决刚体动力学问题的一般方法,原则:质点系的三个定理,利用刚体的特征化简到方便形式(

3、 简便 好记),质点模型 运用质心运动定理,角速度：,角加速度：,线速度：,加速度：,（1）刚体的平动,（2）刚体的定轴转动,利用刚体的模型(无形变),例 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀地减速，经t=50 s后静止。 （1）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N； （2）求制动开始后t=25s 时飞轮的角速度 ； （3）设飞轮的半径r=1m，求在 t=25s 时边缘上一点的速度和加速度。,解 （1）设初角度为0方向如图所示，,量值为0 =21500/60=50 rad/s, 在t =50S 时刻 =0,从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数N 分别为,（2）t =

4、25s 时飞轮的角速度为,的方向与0相同 ；,的方向几乎和 相同。,例 一飞轮在时间t内转过角度at+bt3-ct4 ,式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。,解：飞轮上某点角位置可用表示为 at+bt3-ct4将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为,角加速度是角速度对t的导数，因此得,由此可见飞轮作的是变加速转动。,例1、一条绳索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径r，如果升降机从静止开始以加速度a匀加速上升，求开始上升后滑轮的角加速度，任意 t 时刻的角速度和滑轮转过的角度，以及滑轮边缘上一点的加速度 （假设绳索与滑轮之间不打滑）。,解：滑轮边缘上一点的 切向加速度,滑轮的角加速度,

5、任意 t 时刻的角速度,滑轮边缘上一点的 法向加速度,转过的角度,加速度,与切向夹角,5.2 转动定律,合外力矩M,内力矩和为0,转动惯量J, 刚体定轴转动定律,转动定律：合外力矩=转动惯量与角加速度的积,关于同一个轴,因此，与惯性质量对应，转动惯量反映刚体转动的惯性。,与牛顿第二定律比较：,转动惯量的大小由质量对轴的分布决定,由定轴转动定律可推导动能定理：,已知：定滑轮（可视为均匀圆盘）质量M、半径R ；重物质量m，忽略轴处摩擦及绳的质量。 求：重物由静止下落h 高度时滑轮和重物的加速度和速度。,刚体定轴转动定律的应用,解：,而且,重物作匀加速直线运动，定滑轮作匀加速定轴转动,例2、已知均匀

6、细直棒长l、质量m ，在竖直面内转动； 求：棒由水平静止自由摆动到 角时的角速度及角加速度。,解：以O点为轴，棒受到重力矩作用，根据刚体定轴转动定律：,5.3 转动惯量的计算,质点系对轴的转动惯量,质量连续分布刚体对轴的转动惯量,形状、大小相同，质量越大，J越大；,质量相同，分布离轴越远，J越大；,转轴不同，J不同。,量纲：,单位：千克平方米，,一、常用转动惯量,质元：,质元对轴的转动惯量：,转动惯量：,质元：,质元对轴的转动惯量：,转动惯量：,均匀杆：长l ，质量m,质元：,质元对轴的转动惯量：,转动惯量：,几种常见刚体的转动惯量,二、转动惯量遵循的规律,1、关于同一轴的转动惯量具有可叠加性

7、,2、平行轴定理,平行,C,O,在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小,分量形式,O,例 右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的Z轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆半径为R）,解, 5.4 刚体的角动量和角动量守恒,一、角动量定理,根据定义，刚体对定轴转动的角动量为,因此,刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率。, 对定轴的角动量定理,二、角动量守恒定律, 对定轴的角动量守恒定律,1、角动量不变,刚体作匀速转动 2、角动量不变，转动惯量可以改变，刚体作变速转动,茹可夫斯基凳,当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒,惯性导航,例1 质点与质量均匀的细棒相撞(如图)。,解：质点与细棒相碰

8、撞。 碰撞过程中系统对O 点的合力矩为,设碰撞完全非弹性。,求：棒和子弹开始一起运动时的角速度。,所以，系统对O点的角动量守恒，即,例2、半径R、质量M 的水平均匀圆盘可绕通过圆心的光滑竖直轴自由转动，其边缘有一质量m 的人，二者最初相对地面静止，求当人绕盘一周时，盘对地面转过的角度？,解：（人+盘）关于转轴O 的外力矩为零， （人+盘）角动量守恒,以逆时针为正方向，在地面参照系,且,法二:角动量守恒.初态系统角动量为零,设人对盘的角速度为1,盘对地的角速度为2,例3 有一长为l，质量为m1的均匀细棒，静止平放在光滑水平桌面上，它可绕通过其端点O，且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一质量为m2

9、 、水平运动的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短。已知小滑块与细棒碰撞前后的速率分别为v和u，则碰撞后棒绕轴转动的角速度 为多大？,例 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为：A=50rad.s-1, wB=200rad.s-1。已知A 圆盘半径RA=0.2m, 质量mA=2kg, B 圆盘的半径RB=0.1m, 质量mB=4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度.,解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向正压力，但他们均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力。因此系统角动量守恒，得到,5.5 转动中的功和能,一、力矩

10、的功：,在转动平面内,力矩的功,三、刚体定轴转动的动能定理,力矩的功=刚体定轴转动动能的增量,二、刚体定轴转动的动能,转动惯量,转动动能,三、刚体的重力势能,刚体的平动动能,刚体的转动动能,四、定轴转动的功能原理,质点系功能原理对刚体仍成立：,系统机械能包括刚体重力势能、刚体 平动动能及刚体定轴转动动能,质点的角动量,刚体绕定轴转动的角动量,质点的角动量守恒定律,质点的角动量定理,刚体的角动量守恒定律,刚体绕定轴转动的角动量定理,平动和定轴转动,牛顿第二定律,定轴转动定律,动量定理,角动量定理,动能定理,动能定理,三个守恒律,直线运动与定轴转动规律对照,质点的直线运动,刚体的定轴转动,例1、已

11、知均匀棒长l、质量M ，在竖直面内转动，一质量为m 的子弹以水平速度v 射入棒的下端，求棒与子弹开始一起运动时的角速度及摆动可达最大角度。,解：子弹射入瞬间，（子弹+棒）关于定轴的外力矩为零，系统角动量守恒,初态：,末态：,摆动过程只有重力作功，（子弹+棒+地球）机械能守恒,初态：,末态：,注意：子弹射入棒的过程中，棒和子弹系统的总动量不守恒,例 一根长为l ，质量为m 的均匀细直棒，可绕轴O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置，细棒对O点的转动惯量为,解,由动能定理,求 它由此下摆 角时的 ,此题也可用机械能守恒定律方便求解,将 代入,解：杆+地球系统，只有重力作功， E 守恒,例1、已知

12、均匀棒长l、质量m ，在竖直面内转动；求：棒由水平静止自由摆动到 角时的角速度。,末态：,由平行轴定理,例 一长为l 、质量为m 的匀质细杆，可绕光滑轴O 在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0 的子弹水平射入与轴相距为a 处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到=300，求子弹的初速v0。,解：,(1) 角动量守恒:,(2) 机械能守恒:,由碰撞而损失的机械能为(势能不变)：,初态机械能：,机械能的损失为：,末态机械能：,解 在整个过程中，只有重力作功，根据机械能守恒定律：,例 一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。,Mg,解：以棒和球为系统, 碰撞过程中外力矩为零，角动量守恒。,初态：,末态：,例 均质