初中数学猜想题的几种解法

1、初中数学猜想题的几种解法吴贵兴摘要：猜想试题近年考试所占的比例越来越高，猜想是学习数学极其重要的思维方法，而掌握猜想方法要有一定的技巧，掌握常见的等差型、等比型、平方型等题型的解题技巧，对猜想思维的提高有很大帮助。本文通过例说实践与探索，总结猜想思维能力题的某些特殊规律，掌握其中解猜想题的技巧，从而促进猜想思维能力的提高，培养学生分析问题、解决问题的能力，开发学生智能，达到培养学生正确认识数学观点和掌握数学方法，提高学生解猜想题、应用数学的能力。关键词：开放性、猜想、解题、方法、技巧、等差型、等比型。在实施素质教育的今天，猜想试题近年考试所占的比例越来越高，猜想是学习数学极其重要的思维方法。因

2、此，现在我们更加注重猜想思维的培养和应用，特别是用于评价学生的思维能力。近年来，求解猜想题在各类考试中随处可见；而教材中却没有专门涉及到猜想题的内容，这让部分教师非常的苦恼。据统计，在考试中能做对这类题的学生仅有百分之十四左右（在我的两个教学班中统计），且花时间比较多。我们如何解决这个问题，让普遍的学生能做猜想题，提高猜想思维能力。为此，笔者总结猜想思维的特征，研究关于“猜想”的辅助课如下：一、 等差型（kn+a型）问题:用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子枚数为_（用含n的代数式表示）。1 (第一个) (第二个) (第三个) (第n个)分析:

3、图形序号第1个第2个第3个第4个第n个白棋枚数81216观察上表得出特征:第一个以后的每一个图案的白棋枚都比它前一个图案的白棋多4枚,因此第4个的白棋数应为16+4=20枚。那么，第n个图案的白棋数呢？请观察：（1）41+4=8 （2）42+4=12 （3）43+4=16 （4）44+4=20由此看出，第n个图案的白棋数为：4n+4枚。一般地，如果数列后一个数总比前一个数大（等差数列），则第n个数为kn+a(a为待定的已知数)。例1：用黑白两种颜色的正方形纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案如下： (第1 个) (第2个) (第3个) （1） 第4 个图案中有白色纸片_张（2） 第n个图案中有白色

4、纸片_张（用含n的代数式表示）。解:数出图案的白色纸片张数如下:图形序号第1个第2个第3个第4个第n个白纸张数4710有：7-4=3 10-7=3 因为,后一个图案的白色纸片纸张数总比前一个图案的白色纸片张数大3,即k=3。所以,第4个图案有白色纸片10+3=13张。第n个图案有白色纸片3n+a张,而当n=1时,3n+a=4,解得，a=1.即第n个图案有白色纸片(3n+1)张。检验：当n=2时,3n+1=32+1=7；当n=3时,3n+1=33+1=10 均满足题意。所以第n个图案有白色纸片(3n+1)张。例2：用长度相等的火柴拼成下面由三角形组成的图形：（1） （2） （3） （4）第n个图

5、形需要火柴的根数是_根（用含n的代数式表示）。2解：依次数出火柴棒的根数如下：图形序号第1个第2个第3个第4个第n个火柴根数3579因为有: 5-3=2, 7-5=2, 9-7=2 所以，k=2. 因此猜想第n个图案的火柴棒根数为(2n+a).当n=1时, 2n+a=2+a=3, 解得a=1.检验: 当n=2时,2n+1=22+1=5. 满足题意。所以,第n个图形需要火柴的根数是(2n+1)根。试一试:1如下图,正方形通过多次划分,得到若干个正方形,请你通过观察猜想,第n次划分图中得到的正方开形的个数为_(用含n的代数式表示) 第1次 第2次 第3次参考答案:图形序号第一次第二次第三次第n次正

6、方形个数59134n+1所以,第个n次划分图中得到的正方形的个数为(4n+1)。 2下列每个图案是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）n(n 1)有盆花，每个图案花盆的总数是s。 n=2，s=3 n=3，s=6 n=4，s=9按此规律推断，s与n的关系式是_。3参考答案:n2345ns369123n-3所以 , S=3n-3.二、等比型(kn+a型）问题：如图是一幅“五角星图”，第一行有1 个，第二行有2个，第三行有4 个,你是否发现五角星的排列规律?猜猜看,第十行有_个五角星。 分析:先找到五角星与行数之间的关系如下:行数第1行第2行第3行第4行第n行五角星数1248此时

7、,差不再相等;而有: 21=2, 42=2 , 84=2 也就是说,后一行的五角星数总是前一行的五角星数的2倍.请观察: （1）20=1 即 2(1-1)=1（2）21=2 即 2(2-1)=2（3）22=4 即 2(3-1)=4（4）23=8 即 2(4-1)=8所以,第n行的五角星数为:2n-1个。一般地，如果数列后一个数总是前一个数的倍（等比数列），则第n个数为kn+a(a为待定的已知数)。例3：下面规律排列的数：1，2，4，8，16，第2007个数应是_.解:列表序号12345n序列数124816 有: 21=2 42=2 84=2 168=2 即k=2. 于是,猜想第n个数为2n+a

8、 ,而当n=1时, kn+a=2n+a=2a+1=1.解得, a=-1.即第n个数为2n-1.检验:当n=2时,2n-1=22-1=2,当n=3时,2n-1 =23-1=22=4,均能成立.因此,第n个数为2n-1. 当n=2007时,2n-1=22007-1=22006. 所以,第2007个数应为22006。例4：有人编了条手机短信：“鬼节快到了，壹福、贰禄、叁寿、伍财、陆路妖怪都来保佑你。你要转给六个好友，两天后定有好运临头，如删除或是不发背运一年！发吧，不发被逼哦！”发给了一个朋友，这位朋友不想被诅咒，于是就转发给了6个朋友，这6个人又各转发给6位朋友假设收到此短信的人都各转发给6 位朋

9、友;那么,第一次转发共发6条,第二次转发共转发66=36条,第三次转发共发366=216,第10次转发共发_条短信,第n次呢?解:列表表示转发次数与短信条数的关系如下:转发次数1234n短信条数6362162166有: 366=6 2166=6 (2166)6=6即=6,于是猜想第n次共转发6n+a条短信,当n=1时, 6n+a=61+a=6,解得, a=0.即第n次转发的短信条数共6n条.检验:当n=2时, 62 =36;当n=3时, 63 =216符合要求.所以,第n次转发的短信条数共为6n条.当n=10时，6n =610=条，第十次转发共发条。三、平方型(n2+a型)问题：如图，第（1）

10、个图形的点数是1 ，第（2）个图形的点数是1+3 ，第（3）个图形的点数是1+3+5 ，那么第(n)个图形的点数是_。 （1） （2） （3） 分析:数出图形点数如下表序号第1个第2个第3个第4个N点数11+3=41+3+5=91+3+5+7=16根据等差型，得到第个图的点数为：1+3+5+(2n-1)请看,(1):12=1 (2):22=4 (3):32=9 (4):42=16因此，猜想（n）：1+3+5+(2n-1)=n2证明:1+3+5+7+(2n-1)=1+3+5+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)=(1-1)+(3-3)+(5-5)+(2n+2n+2n) 0.5n 个2n =2

11、n0.5n =n2所以，第(n)个图形的点数是n2点。观察数列1，4，9，16,4比1多3,9比4多5,16比9多7,又观察数列0，3，8，15，24,3比0多3,8比3多5,15比8多7,且有: (1)12-1=0, (2)22-1=3, (3)32-1=8, (4)42-1=15,猜想第n个数为n2-1。一般地,如果数列后一个数与它的前一个差逐渐大2,那么,可猜想这排列的第n个为n2+a(a为待定的已知数).例5:如图是由一个三角形，连结各边的等分点而得到的小三角形，根据下列图形的变化规律，求得第n个图形中共有_个最小三角形. (1) (2) (3) 解:数出图中的小三角形,第一个图有1个

12、小三角形,第二个图有4个小三角形,第三个图有9个小三角形,可以画出第四个图形数出有16个小三角形观察,有:4-1=3,9-4=5,16-9=7,3,5,7,是一列相差2的奇数,于是猜想第n个图形中共有(n2+a)个最小三角形.当n=1时, n2+a=1,解得,a=0.当n=2时,当n=3时经检验成立,所以第n个图形有n2个最小三角形。试一试:下表是由自然数组成的金字塔式的排列,先观察其规律,再猜测第25行右往左第26个数是_;第38行有_个数. 412 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25分析：通过观察数表发现：第

13、二行最右边数4=22，第三行最右边数9=32，第四行最右边数16=42，第五行最右边数25=52，从而可知, 第n行最右边数为n2.其实,本题最右和最左都满足平方型。参考答案:第n行最右边的数必为n2,从而第25行最右边数秘为252=625,向左第26个数为600,第38行最右边数为382,第37行最右数为372,其差为382-372=75,所以第38行数目个数为75个。四、大胆猜想型问题: 借助计算器在草稿上计算下列式子: , , ,仔细观察结果。试猜想 =_ 5分析：在草稿上算出：=5, =55 , =555，,观察抽象出计算结果各位上的数字都是5,且其位数与左边两个幂的底数位数都相同,所

14、以猜想 = 555 。像这样的题型就得仔细观察并抽象出特征，大胆的猜想出其结论。一般地，在初中阶段大多猜想结论是无法证明的，但我们可以仔细的观察并抽象出特征，从而大胆的猜想出其结论。例6：请观察思考下列计算过程：因为112=121 ，所以， =11； 同样，：因为，1112=12321，所以， =111；由此猜想: =_。6解:观察并抽象出被开方数为自然数先升高后降低,其结果每位数都是1,共有位数和最大的自然数相同,从而大胆猜想=.试一试:1.研究下列等式,你会发现什么规律?(1)13+1=4=22 (2)24+1=9=32 (3)35+1=16=42 (4)46+1=25=52请你将第n个等

15、式用公式表示为_.参考答案; n(n+2)+1=(n+1)2通过这种训练，进一步确信了猜想作为一种思维思维方法的正确性。同时，也进一步激发了学生对猜想思维方法实践的兴趣。由上看出，凡考察猜想方面的问题，均先要给出一些具体有限的事物，通过对这些具体有限的事物进行观察，并抽象出特征，观察问题不但要深刻、透彻；而且角度大都不是唯一的，除了上述个绍的方法外，对于每个题目大都有其特殊性，根据这种特殊性往往也能方便、快捷地达到所要完成的效果。例如对例2除上述解答外，还可以从给出图形中观察出另一特征：每两个相邻三角形有一个公共边，且公共边的条数比三角形的个数少1，因此猜想出第n个图形的火柴棒数是3n-（n-1）=2n+1。又如例5中的数列1、4、9、16可直接扑看出:12=1、22=4、32=9、42=16,因此抽象出第n个数是n2.参考文献：1.周安平.名校中考数学.M西南师范大学出版社,贵州人