第3章附录 样条曲线在3D中的应用.ppt

1、附录 样条曲线在3D中的应用,Bzier曲线、B样条曲线等均由分段参数多项式组成,且造型灵活,拼接容易,适于人机交互式设计,是计算机动画中几何造型设计的有力工具。 另外，在计算机动画中Bzier曲线还用于大量的曲线表达,如运动轨迹线、参数动画曲线、关键帧插值等。,模型表达是计算机动画的基础。图形是模型表达的基本手段，同时也表示模型运动轨迹等的重要手段。 目前直线段和多边形仍然是计算机动画中最常见的图形。圆弧和抛物线以及球面和圆锥面等曲面也是计算机动画的基本图形。 Bzier、B样条和NURBS等自由曲线和曲面为计算机动画注入了新的内容，使得模型的设计和控制变得更加灵活和方便。,样条曲线在3D中

2、的应用, 几何造型(实例见后) 模型的修改 运动轨迹控制 关键帧插值 动画参数曲线的调整,Bzier函数在3D中的应用,Bzier函数曲线,Bzier是法国雷诺汽车公司的优秀工程师，以他的名字命名的Bzier曲线等一套自由曲线造型方法，成为法国雷诺汽车公司第一条工程流水线的数学基础。目前，Bzier曲线已大量用在汽车、飞机造船等高技术含量的应用中。,Bzier曲线由下式给出：,其中n(1,2,3.),称为曲线的次数，i=(0,1,.,n)，Pi为控制点，Bi (u)为Bernstein基函数。,Bzier函数曲线的定义,Bernstein基函数的定义式为:,规定001,(0!)=1。根据二项式

3、定理， Bernstein基函数实际上是1的一个划分，即：,Bzier函数曲线的定义,当n1时,称为以p0,pl为控制点的一次Bzier曲线,将p0,p1作线性组合,得到 Bl(u)=(1-u)P0+uPl；0ul 这说明一次Bzier曲线是连接起点p0和终点pl的直线段。,当n2时,称为以p0,pl,p2为控制点的二次Bezier曲线，即： 二次Bzier曲线的基函数为： B0(u)=u2-2u+1 B1(u)=2u2+2u B2(u)=u2,当n2时,当n3时,得到以p0,pl,p2,p3为控制点的3次Bzier曲线，即： 3次Bzier曲线的基函数为：,3次Bzier函数的曲线空间和基函

4、数空间,三次Bzier曲线在实际应用中是最常采用的(以下讨论均以三次Bzier曲线为例)。参数化的空间曲线可以用四个控制点即P0、P1、P2和P3来定义。当参数u从0到1变化时，我们通过按比例调节或弯曲控制点获得曲线Q(u)上一个点的位置。这就是说，曲线上的每一个点都是通过Bernstein基函数三次多项式对每一个控制点进行比例调节来确定的。,三次Bzier函数曲线,Bzier曲线的性质, 基函数分析,概念一： 从物理的角度看，沿着这条曲线从u=0移动到u=1,我们同时会移动一条基函数空间中的垂直线, 函数空间及垂直线定义了基函数的四个值(权重值)。对于任意的u值(除了u=0和u=1)，所有的

5、函数值都是非零的。这就意味着，所有控制点的位置都对曲线上的每个点有贡献(端点除外)。, 基函数分析,概念二： 通过用控制点对每一个基函数求权重然后求和，可以在曲线空间中得到相应的点，拟合出相近的曲线。, 控制点Pi作用的分析,P1和P2的位置也可以用来控制切向量的大小，如下式所示： 其中Qu是端点处曲线的切向量(一阶导数)。可以看出，曲线随着该值的增加被推向切矢向量， 而这个值的大小由控制点的位置来控制。, 控制点Pi作用的分析,在u=0处， Q(0)=P0 同样地，有 Q(1)=P3 控制点P0和P3称为端点， 将两端点和P1、P2点连接 起来给出所谓的控制多边 形，曲线总是被包含在由 控制

6、多边形所形成的凸包 中。如右图所示。, 控制点Pi作用的分析,移动控制点将产生新的曲线，就会以一种直观的方式改变其形状。如图所示。移动瑞点的作用是很明显的。当移动内部控制点P1、P2时，曲线在端点处的切向量的方向也随之变化。, Bzier曲线性质总结, Bzier 曲线是一个多项式。多项式的阶数为控制点的个数减一。在计算机图形学中, 一般采用三阶。(四阶曲线的灵活性不足, 而且超过三阶时, 复杂性增加) 曲线“遵循”控制点多边形的形状，并且被限制在由控制点形成的凸包内。 控制点并不对“局部”进行控制。移动任何控制点都会影响曲线上的所有点，只是其影响作用或大或小。, Bzier曲线性质总结, 第

7、一个和最后一个控制点是曲线段的端点 移动控制点会改变切向量的大小和方向，这是Bzier 曲线接口的直观感觉的基础。 通过对其控制点表示应用任意的仿射变换(即任意线性变换的组合)，可以变换曲线，在这样的变换下，曲线是不变的(不改变形状)。,表示更复杂曲线的方法是增加多项式的阶数，但是这样做在计算中和在数学上都有缺点，因此一般考虑将其分解成三次片段要容易一些。将一组四个控制点定义的曲线段光滑地拼接起来，以构成比单个曲线段更复杂的曲线。这就导致一种所谓的分段多项式曲线。我们称这种低次分段Bzier曲线为Bzier样条曲线。,Bzier样条曲线, Bzier曲线段的连接,将曲线段连接起来意味着必须对连

8、接点进行限制。一是位置连续性，二是一阶连续性(或称切线连续性)，后者是最好的限制。对于Bzier 曲线来讲，位置连续性和一阶连续性之间的差别如图所示。, Bzier样条曲线的定义,设一条由L段Bzier曲线组成的样条曲线S(u),假设它是一区间序列u0u1uL到R3的连续映射,将区间ui,ui+1映射为第i段Bzier曲线。我们称ui(i=1,2,.L)为一结点,称ui=1L为该Bzier样条S(u)的结点序列。（见下图),Bzier样条的分段构造,Bzier样条曲线S(u)中的第i段曲线Si(t)可表示为：, Bzier样条曲线的定义,例：三次Bzier样条曲线,在计算机动画系统中,经常采用

9、三次Bzier样条来插值生成动画曲线。由前式可知,n次C1Bzier样条的连续性条件如下：(见图3),例：双三次Bzier曲面构造的茶壶,一个Bzier曲面片物体Utah茶壶,1975年, 犹他大学M. Newell开发了Utah茶壶。这是一个非常著名的物体，后来成为计算机图形学中的一类基准物。原始的茶壶现在放在波土顿计算机博物馆中。,Newell通过先绘制出茶壶的轮廓，对其上的双三次Bzier曲面片估算适当的控制点来完成建模。茶壶的壶盖、边以及壶身作为旋转的实体来处理，而壶嘴和壶把建模为延展的实体。这样做最终产生了32个曲面片。,Utah茶壶的绘制,前图中还显示了由多条Bzier曲线构成的线框图像，这些Bzier曲面片的边。同时显示了一个合成的控制点多面体。这个表示由下式组成： 32个曲面片 16个控制点每面片 288个顶点 (大多数曲面片间共享12个控制点) 2883个实数 (假设) 另一方面，一个“合理的”多边形网格表示将需要： 大约1024个多边形 530个顶点 3实数, Bzier曲面建模分析,因此，多边形网格模型(一种不精确的表示)使用几倍于基元表示所用的空间。 在此，我们对这个人们多次讨