勾股定理中蕴含的数学思想

1、勾股定理中蕴含的数学思想河北张家口市第十九中学贺峰数学思想方法是对数学的认识内容和所使用的方法的本质的认识，是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁，有了数学思想方法为灵魂，数学才有了魅力。在学习数学的过程中，既要掌握基础知识，又要注重挖掘题目中蕴含的数学思想和方法，从而不断提高数学素养，增强探索创新能力，激发学习数学的兴趣，本文着重将勾股定理中蕴含的数学思想为同学们加以分析：一、 特殊到一般的思想例1图1如图1所示的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为、，则第n个等腰直角三角形的斜边长为_。析解：观察图象，第、个等腰直角三角形的斜边长分别为、，由此类推，第n个等腰直角三角形的斜边

2、长为。说明：猜想型问题是近几年各地中考试题的热点问题，根据问题提供的信息，通过观察、类比、推理、猜想、验证得出一般性规律和结论是解决这类问题一般方法，解题时要注意数形结合。二、 分类思想例2如果三条线段的长分别为6cm、xcm、10cm，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么x_。析解：本题分两种情况解答（1）当以6cm、xcm为直角边，10cm为斜边时，10262x2，x8（舍负）（2）当6cm、10cm均为直角边时，62102x2，x2（舍负）因此，x为4或。说明：在利用勾股定理解答某些数学问题时，常见的分类情况有以直角边、斜边分类，按等腰三角形的腰与底分类，依三角形的形状分类，按展开方

3、式的不同分类等，同学们在解题须注意这一点，以避免出现丢解或遭成错解。三、 整体思想BCA图2例3 如图2，已知RtABC的周长为2，其中斜边AB2，求这个三角形的面积。析解：在RtABC中，根据勾股定理，得BC2AC222即(BCAC)22BCAC4又由已知得BCAC 所以()22 BCAC4解得BCAC1所以SBCAC说明：若要直接求出BC与AC的值，再求三角形的面积，比较繁杂，但由SBCAC联想到运用整体思想（将BCAC 视为一个整体），问题便可顺利获解。四、 转化思想图3例4如图3，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线，若一只小虫从A点出发，从

4、侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 _(结果保留根式)AABDDC图4析解：将圆柱的侧面展开，如图4，由“两点之间，线段最短”可知线段AC为小虫爬行的最短路线，由勾股定理可得AC，又因为AB22，BC2，所以AC2。说明：在解决立体图形的最短路径问题时，通常是将立体图形向平面图形进行转化，利用平面内两点之间线段最短、勾股定理知识最终将问题解决。图4ADBCEF五、 方程思想例5如图4，折叠矩形ABCD，使它的边AD落在AF处，F在边BC上已知AB8cm，BC10cm，求EC的长析解：连结AE，则ADEAFE，所以AFAD10，DEEF设CEx，则EFDE8x，BF6，CF4在RtCE

5、F中，EF2CE2+CF2，即（8x）2x216，故x3.说明：方程是解决数学问题的重要工具，也是重要的数学思想，在几何计算和几何证明中常常通过布列方程使问题得到解决。六、 数形结合思想例6印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 图5xx2渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.析解：根据题意，画出图形，如图5，设湖水深x尺，则露出水面部分为尺，结合图形，由勾股定理得，(x)2x222，解这个方程得x，x（尺），所以湖水深尺。说明：数形结合的基本

6、思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案七、 类比思想例7ABC中，BCa，ACb，ABc，若C=90，如图6，根据勾股定理，则a2b2c2，若ABC不是直角三角形，如图7和图8，请你类比勾股定理，试猜想a2b2与c2的关系，并证明你的结论。ACBABCABC图7图6图8解：若ABC是锐角三角形，则有a2b2c2 若ABC是钝角三角形，C为钝角，则有a2b2c2 当ABC是锐角三角形时，BAC图9abcD证明：过点A作ADCB，垂足为D。设CD为x，则有DBax 根据勾股定理得 b2x2c2(ax) 2即 b2x2c2a22axx 2a2b2c22ax a0，x02ax0a2+b2c2ABCDacb图10当ABC是钝角三角形时，证明：过点B作BDAC，交AC的延长线于点D。设CD为x，则有DB2a2x2 根据勾股定理得 (bx)2a2x 2c2即 b22bxx2a2x