北师大版初二(上)第一章勾股定理中的旋转问题

1、专题：勾股定理中的旋转问题【例1】如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ,连接BQ,若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为_【例2】阅读下面材料：小阳遇到这样一个问题：如图(1),O为等边ABC内部一点,且OA:OB:OC=1:2:3，求AOB的度数。小阳是这样思考的：图(1)中有一个等边三角形,若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60,会得到新的等边三角形,且能达到转移线段的目的。他的作法是：如图(2),把ACO绕点A逆时针旋转60,使点C与点B重合,得到ABO,连接OO.则AOO是等边三角形,故OO=OA,至此,通过旋转将线

2、段OA、OB、OC转移到同一个三角形OOB中。(1)请你回答：AOB=_(2)参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：已知：如图(3),四边形ABCD中,AB=AD,DAB=60,DCB=30，AC=5，CD=4.求四边形ABCD的面积。【跟踪练习】1. 如图,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE、BE、CE,将ABE绕点B顺时针旋转90到CBE的位置。若AE=1,BE=2,CE=3,则BEC=_度。2. 在ABC中,A=90,点D是BC的中点,点E,F分别在AB,AC上,且EDF=90,连接EF,证明：BE2+CF2=EF2.3. 如图,P为正ABC内的一点,PA=2,PB=4,PC=23，

3、求正三角形ABC的面积。4. 已知ABC是等腰三角形，AB=AC.(1)特殊情形：如图1,当DEBC时,有DB_EC.(填“”,“”或“=”)(2)发现探究：若将图1中的ADE绕点A顺时针旋转(0180)到图2位置,则(1)中的结论还成立吗?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。(3)拓展运用：如图3,P是等腰直角三角形ABC内一点,ACB=90，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的度数。5.如图,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和C的距离分别为1,2,3,将ABP绕点B旋转至CBP,连接PP.(1)求证：BPP是等腰直角三角形；(2)求APB的度数。6. 如图,四边形AB

4、CD是正方形,ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点，连结AM、CM.(1)当M点在何处时，AM+CM的值最小；(2)当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；(3)当AM+BM+CM的最小值为3+1时，求正方形的边长。7. 如图1，在ABC中，BAC=120，AB=AC，将FAG绕着顶点A旋转，边AF、AG分别交线段BC于点D、E，且FAG=60.（1）如图2，当CAF=30时，请直接写出BE+CD与DE之间的等量关系式，等量关系式是：_；（2）观察猜想：如图1，当0CAF”或“”）；（3）如果DE2+CD2=BE2，求CAF的度数.8. (1)探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：如图在等边ABC内部,有一点P,若APB=150.求证：AP2+BP2=CP2证明：将APC绕A点逆时针旋转60,得到APB,连接PP,则APP为等边三角形APP=60PA=PPPC=_APB=150BPP=90PP2+BP2=_即PA2+PB2=PC2(2)类比延伸：如图在等腰三角形ABC中,BAC=90,内部有一点P,若APB=135，试判断线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明。