线性代数内容概要

1、线性代数内容概要一、行列式计算（一个定义三个性质）定义其中为元素的代数余子式。性质1：任意对换行列式中某两行（列）元素的位置，行列式的值仅仅改变一个符号。性质2：一个数乘行列式等于这个数乘以行列式中任一行（列）上的每一个元素。性质3：将行列式某一行（列）的倍，对应地加到另一行（列）上，行列式的值不变。例1、含0元素的行列式计算选择，用性质生成0元素的计算方法。性质1的推论：， 例2、求行列式展开后，的系数。例3、计算 例4、计算性质4、例5、计算二、矩阵运算1加法定义：2数乘矩阵定义 3矩阵乘矩阵定义 其中 4矩阵转置定义 （注：） 5矩阵的逆阵定义 设和都是阶方阵，若（单位阵），则称是的逆阵

2、，记作，也称是的逆阵，记作。（显然）例1、已知，试给出下列有意义的矩阵乘积运算结果：、例2、已知，计算定理1 若，则例3、设为四阶行列式，试求、三、矩阵的初等行变换及其应用：以下三种变换，统称为矩阵的初等行变换：1. 任意对换矩阵中两行元素的位置；2. 用非零数乘以矩阵中某一行的每一个元素；3. 将矩阵中某一行元素的倍，对应地加到另一行上。每一个线性方程组都对应一个矩阵，解线性方程组的方法（加减消元法），放在矩阵中解释就是初等行变换。因此，矩阵与其初等行变换后的矩阵等价。 初等行变换及其应用性质1：通过初等行变换，将矩阵化成阶梯型后，矩阵中元素不全为0的行数，便是矩阵的秩。（矩阵秩的定义：若矩

3、阵有一个阶子式，而所有的阶子式都 = 0或不存在，则称矩阵的秩为，记作）例1、求矩阵的秩。秩的其他性质：若，则；性质2：线性方程组有解的充要条件是，通过初等行变换，将增广矩阵化成阶梯型后，增广矩阵中元素不全为0的行数=系数矩阵中元素不全为0的行数。（书中定理：有解的充要条件是）例2、求下列线性方程组的通解：（用初等行变换，顺便提一下克莱姆法则） 例3 试问和为何值时，下列线性方程无解、有唯一解、有无穷多解？ 线性方程组的解的结构：（1）若和都是线性方程组的解，则和都是的解；（2）若和都是线性方程组的解，则是的解；（3）若是的解，是的解，则是的解。（4）若，则的基础解系中的向量个数为。性质3：若

4、，则经过初等行变换成。（另一个计算公式是）例4 求矩阵的逆阵。例5、已知，试求性质4：若经过初等行变换化成阶梯型后，出现一行元素全为0，则向量组线性相关，否则线性无关。（线性相关定义：如果存在一组不全为0的数使得，则称向量组线性相关，否则线性无关。） 例6 判断下列向量组是否线性相关？ 例7、已知向量组线性无关，是判断下面两组向量是否线性相关？ （1） （2） 性质5：若经过初等行变换（未用“对换” ）化成阶梯型后，元素不全为0的行，对应的向量，是向量组的最大线性无关组，元素不全为0的行数，是向量组的秩。（书中定义：若向量组满足下列条件：1. 线性无关；2. 任取，都能够则称是的最大线性无关组

5、，称为向量组的秩。） 例8 求例6中的向量组的最大无关组和该向量组的秩。 四、方阵的特征值与特征向量 定义 设为方阵，若，则称是矩阵的特征值，为矩阵对应于的特征向量。 理解： ，而线性方程组有非0解的充要条件是（称为矩阵的特征方程）。 通过特征方程，能够得到特征值；通过能够得到对应于特征值的特征向量。例1、求的特征值与特征向量。例2、设是矩阵的特征向量，试求下列矩阵的特征向量：， （设可逆）五、矩阵相似变换定义 设和都是阶方阵，若存在可逆阵，使得，则称矩阵与相似，称为把相似变换成，为相似变换矩阵。理解：若与相似，则与相似；为把相似变换成，则为把相似变换成；若与相似，则。性质1 设是矩阵的特征值

6、，且各不相同，则这个特征值对应的特征向量线性无关。定理1 如果都是阶方阵的特征值，对应的个特征向量线性无关，则。性质2 阶实对称矩阵，必存在个线性无关的特征向量。例1 试将矩阵相似变换成对角阵，并给出相似变换矩阵。例2 判断下列哪个矩阵与对角矩阵相似：（1） （2） （3） （4） （5）一元微积分内容概要一、复合函数与分段函数例1 已知，求例2 已知，求，二、极限运算1、如果与都存在，则2、如果，则例3 计算，3、如果，且，。例4 计算， 4、，例5 计算， ，5、若为型，或型，可尝试使用 若为型，或型，可尝试或若为型，可尝试“通分”若为型，或型，或型，可采用例6 计算下列极限（1） （2）

7、 （3） （4） （5） （6） 例7 已知，求和三、导数与微分1、导数定义 对于，微分公式 例1、已知，求2、导数的基本公式，四则运算下的求导法则（都要熟记）3、复合函数求导法若，则。若，则例2、已知，求例3、已知，求4、参数函数求导法若，则，例4 已知，求5、隐函数求导法例5 求曲线在点处的切线方程。6、高阶导数求导法例5 求下列函数的阶导数：（1） （2） （3）四、导数的应用 1、中值定理 罗尔定理：若在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使得。拉格朗日中值定理：若在上连续，在内可导，则至少存在一点，使得。例1 下列哪一个函数在相应的区间上满足罗尔定理的条件？哪一个函数在相应的区间上

8、满足拉格朗日中值定理条件？（1） （2） （3） （4）2、函数单调性、凹凸性的判断定理1 若在上连续，在内（），则在上单增（单减），或称为的单增（单减）区间。由此得到：或例2 判断下列结论哪个正确：（1）若，则 （2）若，则定理2若在上连续，在内（），则在上下凸（上凸），或称为的下凸（上凸）区间。注：上凸=下凹；下凸=上凹；也有许多书中将上凸称为凸，将下凸称为凹。例3 求函数的单增、单减区间，以及上凸区间和下凸区间。3、极值点、拐点与最值定义1 若存在一个充分小的，使得时，（或），则称为的极小值点（极大值点）。定理1 设可导，则为的极值点的必要条件是。定理2 用单调性判断极值点。定理3 设二

9、阶可导，若，且（），则为的极小值点（极大值点）。定义2 连续函数图像的凹凸分界点，称为的拐点。例4 求函数的极值点和拐点。例5 判断下列结论的真伪（1）点是的拐点，（2）是的拐点。定理4 若在上连续，则在内必有最大、最小值点。最大、最小值点的可能位置是：端点、驻点、不可导点。例6 求函数在内的最大、最小值。例7 如图，找出的单增区间、单间区间、上凸区间、下凸区间、极小值点、极大值点、拐点。五、不定积分与定积分1、积分概念不定积分定义 若在区间上，则称在区间上，是的原函数，称为的不定积分，记作。定积分的定义 （其中） 牛顿-莱布尼兹公式 例1 判断下列哪个等式成立（1） （2）2、积分性质（1）

10、 （2） （3） ， （4） （5）（6）若在上，则推论1若在上，则。推论2若在上，则。推论3 在上 例2 判断下列哪一个不等式正确 （1） （2）3、积分的计算方法（要求熟记积分的基本公式）凑微分法 例3 计算下列积分（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9） 换元法 在被积函数中含有或或或或或同时含有和，又不能用公式或凑微分时，采用换元法。 例4 计算下列积分（1） （2） （3） （4）例5计算下列积分（1） （2） 分部积分法 选顺序：对、反、幂、三、指。 例6计算下列积分（1） （2） （3） 六、定积分的应用例1 求曲线与围成的平面图形的面积。解法1 三角形

11、面积曲边三角形面积解法2 面积元素为，所求面积解法3面积元素为，所求面积例2 求曲线与其在点的切线及轴围成的平面图形的面积。例3 分别求曲线和围成的平面图形绕轴、轴、直线旋转形成的旋转体的体积。例4 求曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转形成的旋转体的体积。（用柱壳法） 排列组合与古典概型加法原理：完成一件事有种不通过途径可选用，如果第种途径上有种不同方法，则完成这件事共有种不同的方法。乘法原理：完成一件事需要分个阶段，如果第个阶段有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法。排列问题：从个不同的数中任取个排成一列，共有种不同的排列结果。记作 组合问题：从个不同的数中任取个，共有种不同的抽取结果。记作古典概率：概率性质： 如果事件与事件互不相容，则；如果事件与事件相互独立，则。独立试验序列概型：如果每一次试验中，事件发生的概率为，则在次独立重复试验中，事件发生次的概率为例1 将5个男生2个女生排成一列共有多少种不同排法？如果2个女生必须相邻，共有多少种不同排法？如果2个女生之间至多夹入一个男生，将有多少种不同排法？如果7个人围成一圈，共有多少种不同的围法？如果2个女生不相邻，共有多