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文档简介

1、1,5 二次型及其标准形,三、用配方法化二次型为标准形,二、二次型在可逆变换下的变化情况,一、二次型的矩阵表示,2,例. 有心二次曲线方程,可取适当的转轴变换:,方程可化成标准方程,一、二次型的矩阵表示,3,特点:,(1). 变换阵,(2). 可逆变换不改变常数(项).,实质:,经变换,二次齐次多项式,有交叉项.,二次齐次多项式, 无交叉项.,4,定义11. 二次型是指,二次齐次函数(二次齐次多项式).,5,f 可写成:,即,6,记,7,註:,(2). A的对角线上的元素是 f 中的平方 项的系数. A的右上角是 f 中交叉项系数的一半.,例1.,例2.,写成矩阵表示.,3,7,3,5,-1,

2、5,5,-1,5,8,例3.,写成矩阵表示.,1,-1,0,1,2,2,-1,0,1,-1,2,2,0,-1,1,-1,A,X,9,(1),A为n 阶实对称阵.,可逆变换:,(2),二、二次型在可逆变换下的变化情况,10,即,P,|P|0,X = PY. (3),要把 f 化成标准形:,11,若把标准形写成矩阵,则,把(3)代入(1), 有,12,证明:,若A为对称阵,註: 性质表明, 经可逆变换 X =PY 后, 二次型 f 的矩阵变为,其秩不变.,性质: 任给可逆阵P,令,若A为对,称阵,则B为对称阵,13,定理十:任给二次型,总有正交,变换X = PY , 使 f 化为标准形,证明:,据定理九,总有正交阵P, 使,14,代入,证毕.,15,例4. 化二次型,为标准形.,解: 利用 f 的矩阵A的特征值写出 f 的标准形.,f 的矩阵为:,16,A的特征多项式:,17,例5.试确定一个正交变换X=PY,将二次型,化为标准形.,解:,f 的矩阵为:,18,可解得A的特征值为:,对应的特征向量为:,19,令,则X =PY 为所求正交变换.,它将二次型 f 化为,注意:,20,例6. 化二次型,成标准形, 并求所用的变换矩阵.,解:,三、用配方法化二次型为标准形,21,所用的变换阵为:,22,例7.化二次型,成标准形, 并求所用的变换矩阵.,解:,令,

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