第十三章 虚位移原理 -2.ppt

1、1,动力学,一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由度，取q1、q2、qk为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。,2,动力学,质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系, 确定这些关系通常有两种方法：,(一) 几何法。由运动学知，质点的位移与速度成正比，即 因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。,3,动力学,(二) 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数（ q1,q2,qk），广义坐标分别有变分 ，各质点的虚位移 在直角坐标上的投影可以表示为,4,动力学,力 在质点发生的虚位移 上所作的功称为虚功，记为 。,5,动力学,13-4 理想约束

2、,如果在质点系的任何虚位移上，质点系的所有约束反力的虚功之和等于零，则称这种约束为理想约束。,质点系受有理想约束的条件：,6,动力学,理想约束的典型例子如下：,1、光滑支承面,2、光滑铰链,3、无重刚杆 4、不可伸长的柔索 5、刚体在粗糙面上的纯滚动,7,动力学,13-5 虚位移原理,一、虚位移原理 具有定常、理想约束的质点系，平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的虚功之和等于零。即,解析式：,8,动力学,二、虚位移原理的应用 1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置； 3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；

3、4、求平衡构架内二力杆的内力。,9,动力学,例1 图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，铰链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力大小P和Q之间的关系。,解：研究整个机构。系统的所有约束都是完整、定常、理想的。,10,动力学,1、几何法：使A发生虚位移 ，B的虚位移 ，则由虚位移原理，得虚功方程：,由 的任意性，得,11,动力学,2、解析法 由于系统为单自由度， 可取为广义坐标。,由于 任意，故,代入到,由速度投影定理,有,代入上式,得,(3) 虚速度法,例2已知：如图所示机构,不计各构件自重与各处摩擦. 求：机构在图示位置平衡时,主动力偶矩与主动力 之间的关系.,解: 1 给虚位移

4、,由图中关系有,代入虚功方程得,2用虚速度法:,代入到,3用建立坐标,取变分的方法,有,解得,16,动力学,解：这是一个具有两个自由度的系统，取角及为广义坐标，现用两种方法求解。,例3 均质杆OA及AB在A点用铰连接，并在O点用铰支承，如图所示。两杆各长2a和2b，各重P1及P2，设在B点加水平力 F 以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角及 。,y,17,动力学,应用虚位移原理，,代入(a)式，得：,解法一：,18,动力学,由于 是彼此独立的，所以：,由此解得：,19,动力学,而,代入上式，得,解法二：,先使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的一组虚位移，如图所示。,20,动力学,再使 保持

5、不变，而使 获得变分 ，得到系统的另一组虚位移，如图所示。,而,代入上式后，得：,图示中：,21,动力学,例4 多跨静定梁，求支座B处反力。,解：将支座B 除去，代入相应的约束反力 。,22,动力学,23,动力学,例5 滑套D套在光滑直杆AB上，并带动杆CD在铅直滑道上滑动。已知=0o时，弹簧等于原长，弹簧刚度系数为5(kN/m)，求在任意位置（ 角）平衡时，加在AB杆上的力偶矩M ？,解：这是一个已知系统平衡，求作用于系统上主动力之间关系的问题。将弹簧力计入主动力，系统简化为理想约束系统，故可以用虚位移原理求解。,24,动力学,选择AB杆、CD杆和滑套D的系统为研究对象。,由虚位移原理，得：,25,动力学,以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。 若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。,应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点：,1、正确选取研究对象：,26,动力学,2、正确进行受力分析： 画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦 力和待求