第13章 静电场中的导体和电介质

1、.思考题13-1 尖端放电的物理实质是什么？答： 尖端放电的物理实质，是尖端处的强电场致使附近的空气分子电离，电离所产生的带电粒子在电场的作用下急剧运动和相互碰撞，碰撞又使更多的空气分子电离，并非尖端所带的电荷直接释放到空间去。13-2 将一个带电+q半径为rb的大导体球b移近一个半径为ra而不带电的小导体球a，试判断下列说法是否正确？并说明理由。图13-37 均匀带电球体的电场能(1) b球电势高于a球。答： 正确。不带电的导体球a在带电+q的导体球b的电场中，将有感应电荷分布于表面。另外，定性画出电场线，在静电场的电力线方向上电势逐点降低，又由图看出电场线自导体球b指向导体球a，故b球电势

2、高于a球。(2) 以无限远为电势零点，a球的电势: va q)的电场中，由于qq ，带负电荷的导体并未明显改变原电场，这时该导体有过剩的负电荷，而其电势为正。13-15 电介质在外电场中极化后，两端出现等量异号电荷，若把它截成两半后分开，再撤去外电场，问这两个半截的电介质上是否带电?为什么?答: 不带电因为从电介质极化的微观机制看有两类：非极性分子在外电场中沿电场方向产生感应电偶极矩；极性分子在外电场中其固有电偶极矩在该电场作用下沿着外电场方向取向。其在外电场中极化的宏观效果是一样的，在电介质的表面上出现的电荷是束缚电荷，这种电荷不象导体中的自由电荷那样能用传导的方法引走。当电介质被裁成两段后

3、撤去电场，极化的电介质又恢复原状，仍各保持中性。13章习题13-1 半径分别为1.0cm与2.0cm的两个球形导体，各带电量1.010-8c，两球心间相距很远，若用导线将两球相连，求：（1）每个球所带电量； （2）每球的电势。解: 两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响，球上电荷均匀分布。设两球半径分别为r1和r2，导线连接后的带电量分别为q1和q2，而 q1+q2= 2q，则两球电势分别是精品. ， 两球相连后电势相等，v1=v2，则有即两球电势图 13-3813-2 a、b、c是三块平行金属板，面积均为200cm2，a、b相距4.0mm，a、c相距2.0mm，b、c两板都接地，如图13-3

4、8所示。设a板带正电3.010-7c，不计边缘效应，求b板和c板上的感应电荷，以及a板的电势。解: a板带正电，b、c两板接地，且两板在a板附近，所以a板上的正电荷电量为q，分布在左右两表面，设b板感应电荷为-q1，c板感应电荷为-q2 ，则q1+q2=q 由于ab间和ac间均可视为匀强电场精品.所以 根据题意得 由 解得q1=1.010-7c， q2=2.010-7c b板上感应电荷为 q1= 1.010-7c c板上感应电荷为 q2= 2.010-7c 精品.图 13-3913-3 两块无限大均匀带电导体平板相互平行放置，设四个表面的电荷面密度分别为、，如图13-39所示。求证当静电平衡时

5、，、。证明 垂直于板作柱状高斯面，如图所示，因为导体内场强为零，两板间场强垂直于板平面，所以有所以 又左边导体板内场强 考虑到于是有 13-4如图13-40所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q。设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内外表面上的电荷。 图13-40 习题13-4图 (2) 球心o点处，由球壳内表面上电荷产生的电势。 (3) 球心o点处的总电势。 精品.解: (1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面上带电荷q+q。 (2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离o点的距离都是a，所以由

6、这些电荷在o点产生的电势为 (3) 球心o点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在o点产生的电势的代数和 13-5有一无限大的接地导体板 ，在距离板面b处有一电荷为q的点电荷。如图13-41所示，试求： (1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布。 图13-41 习题13-5图(2) 面上感生电荷的总电荷。解: (1) 选点电荷所在点到平面的垂足o为原点，取平面上任意点p，p点距离原点为r，设p点的感生电荷面密度为s 精品. 在p点左边邻近处(导体内)场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理， 所以(2) 以o点为圆心，r为半径，dr为宽度取一小圆环面，其上电荷为 总电荷为13-

7、6如图13-42所示，中性金属球a，半径为r，它离地球很远在与球心o相距分别为a与b的b、c两点，分别放上电荷为qa和qb的点电荷，达到静电平衡后，问： (1) 金属球a内及其表面有电荷分布吗？ 图13-42 习题13-6图(2) 金属球a中的p点处电势为多大？(选无穷远处为电势零点)精品.解: (1) 静电平衡后，金属球a内无电荷，其表面有正、负电荷分布，净带电荷为零。 (2) 金属球为等势体，设金属球表面电荷面密度为s 因为所以13-7 半径为r1的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着，其内外半径分别为r2、r3，使内球带电q，球壳带电q，试求：（1）电势分布的表示式；（2）用导线连接球和

8、球壳后的电势分布；图13-43 习题13-7图（3）外壳接地后的电势分布。 精品.解:（1）根据静电平衡条件，导体内场强为零。可知球壳内表面感应电荷为q，且均匀分布；导体球所带电量q均匀分布在导体球表面。由电荷守恒得导体球壳外表面均匀分布电量(q+q)，所以静电平衡后空间电势分布可视为三个均匀带电球面的电势叠加。均匀带电球面电势为所以当，（2）导体连接后，导体球带电量q与球壳内表面感应电荷q中和，导体壳与导体球等势，电荷分布在导体壳外表面，电量为，所以，精品.，（3）外壳接地后，外表面电荷q+q被中和，则为两均匀带电球面电势叠加，13-8 已知导体球半径为r1，带电量为q。一导体球壳与球同心，

9、内外半径分别为r2和r3，带电量为q，如图13-44所示。求：（1）场强的分布；（2）球和球壳的电势v1和v2以及它们的电势差；（3）若球壳接地，v1和v2以及电势差；（4）用导线连接球与球壳后v1和v2的值。精品.图13-44 习题13-8图解: （1）先确定电荷的分布：因内球表面带电量为q，则球壳内表面的感应电荷为-q；又因球壳所带的电量为q，根据电荷守恒定律，球壳外表面的带电量一定为q+q。下面用两种方法求此带电系统的场强分布。方法一：用高斯定理求解。因电荷分布具有球对称性，可用高斯定理求场强。取以半径为r的同心球面为高斯面。当rr1时：，所以，即；当r1rr2时：，所以，即；当r2rr

10、3时：，所以，即。方法二：利用场强叠加原理求分布。空间任意一点的场强都可以看为三个带电量分别为q、- q和q+q的带电球面在该点产生的场强的矢量和。设三个带电球面产生的场强大小分别为e1、e2和e3，利用均匀带电球面的场强公式可得根据场强的叠加原理，空间任意一点的总场强所以，场强大小分布为精品.（2）求球体和球壳的电势及它们的电势差。方法一：用电势定义式计算。球的电势： 球壳的电势：球与球壳的电势差：方法二：用电势叠加原理计算。空间任一点的电势都可以看作这三个带电球面在该点所产生的电势的代数和。利用均匀带电球面产生电势的公式同样可以得到精品.， ，所以（3）若导体球接地，球壳外表面电荷中和。用

11、高斯定理可求得场强分布所以得，所以（4）用导线联结球与球壳时，球与球壳内表面电荷中和，导体球壳外表面带电量为q+q。这时场强的分布为因球和球壳相联，所以它们的电势相等，即球与球壳的电势差为 13-9一半径为r的带电介质球体，相对介电常量为er，电荷体密度分布r = k / r。 (k为已知常量)，试求球体内、外的电位移和场强分布。 精品.解:取半径为+d的薄壳层，其中包含电荷 应用的高斯定理，取半径为r的球形高斯面球内： d1 = k / 2 ，( 为径向单位矢量)e1 = d1 / (e0er) = k / (2e 0er)， 球外： , ， 13-10半径为r的介质球，相对介电常量为er、

12、其体电荷密度rr0(1r / r)，式中r0为常量，r是球心到球内某点的距离。试求： (1) 介质球内的电位移和场强分布。 (2) 在半径r多大处场强最大？ 解: (1) 取半径为d的薄壳层，其中包含电荷 应用的高斯定理，取半径为r的球形高斯面 则：精品. ， ， ， 为径向单位矢量(2) 对e(r)求极值 得 且因，所以 处e最大 图13-45 习题13-11图13-11一平行板电容器，极板间距离为10 cm，其间有一半充以相对介电常量er10的各向同性均匀电介质，其余部分为空气，如图13-45所示当两极间电势差为100 v时，试分别求空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量。 (真空介电常

13、量e08.8510-12 c2n-1m-2) 解:设空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量分别为、和、，则 u = e1d = e2d (1)d1 = e0e1 (2)d2 = e0ere2 (3)联立解得 v/m 精品. 方向均相同,由正极板垂直指向负极板 13-12 一平行板空气电容器充电后，极板上的自由电荷面密度s1.7710-6 c/m2将极板与电源断开，并平行于极板插入一块相对介电常量为er8 的各向同性均匀电介质板。计算电介质中的电位移场强和电极化强度的大小。(真空介电常量e08.8510-12 c2 / nm2)解:由的高斯定理求得电位移的大小为 d = s 1.7710-6

14、c/m2 由=e0er的关系式得到场强的大小为 2.5104 v/m 介质中的电极化强度的大小为 p = e0cee = e0 ( er-1 )e1.5510-6 c/m213-13一导体球带电荷q1.0 c，放在相对介电常量为er5 的无限大各向同性均匀电介质中。求介质与导体球的分界面上的束缚电荷q。解:导体球处于静电平衡时，其电荷均匀分布在球面上在球表面外附近，以球半径r作一同心高斯球面按的高斯定理有 4pr2d = q。得到电位移的大小为 d = q / (4pr2)该处的电场强度大小为精品. e = d / (e0er)= q / (4pe0er r2) 电极化强度的大小为 p = e

15、0 (er-1)e 极化电荷面密度为 = pcos180 分界面上的束缚电荷为 = 4pr20.8 c 13-14半径为r，厚度为h (r)的薄电介质圆盘被均匀极化，极化强度与盘面平行，如图13-46所示求极化电荷在盘中心产生的电场强度。 解:建坐标如右图 圆盘均匀极化，只有极化面电荷，盘边缘处极化电荷面密度为s = pcosq图13-46 习题13-14图dq = rdqhsrhpcosqdq精品. dex = decos(p+q)，dey = desin(p+q) 由极化电荷分布的对称性可知 = 0 图13-47 习题13-15图13-15如图13-47所示，一各向同性均匀电介质球，半径为

16、r，其相对介电常量为er，球内均匀分布有自由电荷，其体密度为r 0求球内的束缚电荷体密度r 和球表面上的束缚电荷面密度s。解:因为介质是球对称的，且r0均匀分布，所以 r，s 也必为球对称分布因而电场必为球对称分布用的高斯定理可求得 ， 精品. 略去dr的高次项，则 (与r0异号) , 同号 13-16 有两个半径分别为r1和r2的同心金属球壳，其间各充满一半相对介电常数分别为的各向同性的均匀介质，如图13-48所示。当内球壳带电量为-q，外球壳带电量为+q时，忽略边缘效应。试求：（1）空间中d、e的分布；图13-48 习题13-16图（2）两球壳的电势差。解: （1）作半径为r的同心球形高斯

17、面，根据导体静电平衡后等势即又；忽略边缘效应，电荷分别在上、下半球和球壳均匀分布，根据高斯定理精品.，当即得当， ， （2）由定义即13-17 平行板电容器极板面积为s，间距为d，中间有两层厚度各为d1和d2（d=d1+ d2）、介电常数各为的电介质，计算其电容。精品.解:设两极板各带电荷+q和-q，两极板电势差：13-18三个电容器如图如图13-49联接，其中c1 = 1010-6 f，c2 = 510-6 f，c3 = 410-6 f，当a、b间电压u =100 v时，试求： (1) a、b之间的电容； 图13-49 习题13-18图(2) 当c3被击穿时，在电容c1上的电荷和电压各变为多

18、少？ 解: (1) 3.1610-6 f (2) c1上电压升到u = 100 v，电荷增加到110-3 c 图13-50 习题13-图13-19如图13-50所示，一空气平行板电容器，极板面积为s， 两极板之间距离为d，其中平行地放有一层厚度为t (td)、相对介电常量为er的各向同性均匀电介质略去边缘效应，试求其电容值。 精品.解:设极板上的自由电荷面密度为s应用d的高斯定理可得两极板之间的电位移为 d = s由de关系知，空气中的电场强度为 e0 = s / e0介质中的电场强度为e = s / (e0er)两极板之间的电势差为 u = e0(d - t) + et电容器的电容为 作法二

19、： 看成二个电容串联， ， 图13-51 习题13-20图13-20如图13-51所示，一平行板电容器，极板面积为s，两极板之间距离为d，中间充满介电常量按 e = e0 (1+)规律变化的电介质在忽略边缘效应的情况下，试计算该电容器的电容。精品. 解:设两极板上分别带自由电荷面密度s，则介质中的电场强度分布为 两极板之间的电势差为 该电容器的电容值为 13-21 半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多。今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷q，求：（1）每个球上分配到的电荷数。（2）按电容定义式计算此系统的电容。解:（1） ；即得；（2）系统电容精品.13-22如图13

20、-52所示，一平行板电容器的极板面积s=200cm2，两板间距d=5.0mm，极板间充以两层均匀电介质。电介质其一厚度d=2.0mm，相对介电常数r1=5.0；其二厚度d2=3.0mm，相对介电常数r2=2.0。若以3800v的电势差(va-vb) 加在此电容器的两极板上，求：（1）板上的电荷面密度；（2）介质内的场强、电位移及电极化强度；图13-52 习题13-22图（3）介质表面上的极化电荷密度。解:（1）因为（2）如图作闭合圆柱形高斯面s，根据高斯定理精品.所以有用同样的方法作高斯面s，则介质内电位移所以介质1内场强介质2内场强介质内1电极化强度介质内2电极化强度（3）介质1表面束缚电荷

21、面密度介质2表面束缚电荷面密度13-23 有两个半径分别为r1和r2的同心金属球壳，内球壳带电量为q0，紧靠其外面包一层半径为r、相对介电常数为r的介质。外球壳接地，如图13-53所示。求：（1）两球壳间的场强分布；精品.（2）两球壳的电势差；（3）两球壳构成的电容器的电容值；（4）两球壳间的电场能量。图13-53 习题13-23图解:（1）因为电荷分布是球对称的，介质分布又是与带电球同心的球对称分布，因而不会破坏电场分布的球对称性，所以可用介质中的高斯定理求场强的分布。设介质内（即r1rr范围内），电位移矢量为d1，电场强度为e1，由介质中高斯定理所以， 设介质外，即rrr2范围内，电位移矢

22、量为d2 ，电场强度为e2，由介质中的高斯定理所以， 因此，在两金属球壳之间，场强的分布为精品.（2）两球壳间的电势差（3）两球壳构成的电容器的电容值（4）两球壳间的电场能量 也可以用电容器能量公式计算13-24 用输出电压u作为稳压电源，给一电容为c的空气平行板电容器充电。在电源保持连接的情况下，试求把两个极板间距增大至n倍时外力所做的功。精品. 解: 因保持与电源连接，两极间电势保持不变，而电容值为电容器储存的电场能量由 在两极板间距增大过程中电容器上带电量由q减至q ,电源做功在拉开极板过程中，外力做功为w2，根据功能原理w1+w2=we外力做正功。 13-25如图13-54所示如图所示，一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，筒长都是l，中间充满相对介电常量为er的各向同性均匀电介质内、外筒分别带有等量异号电荷+q和-q设 (b- a) b，可以忽略边缘效应，求： (1) 圆柱形电容器的电容； 图13-54 习题13-25图(2) 电容器贮存的能量。 精品.解:由题给条件 (和，忽略边缘效应, 应用高斯定理可求出两