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1、平面的方程,一、复习回顾,二、探索与研究,1、问题:,过空间中一点可以作多少个 平面与一已知直线垂直?,有且仅有一个,2 、平面的法向量,与平面垂直的任意一个非 零向量叫做平面的法向量,空间中一个平面可以用它上 面的一个点和与它垂直的一个 非零向量来确定。,(一)平面的点法式方程,3、平面的点法式方程的推导,为,平面上任一点,,则,由已知可得,即,方程(1)依赖定点,4、讲解例题,解,由平面的点法式方程,得所求的平面方程为,即,(二)平面的一般方程,若在平面的点法式方程中令,可改写(1)式为,这里 不同时为零。,来表示。,思考:,任意一个系数 不全为0的一次方程 是否表示一平面?,任取一个满足
2、方程,则,(2)式减去(3)式 ,,可得与,等价的方程为:,的平面的方程。,的点,1、定理,表示的图形是一个平面。,方程(2)叫做平面的一般方程,,以3个一次项的系数,注:,在平面解析几何中,一次方程表示一条直线; 在空间解析几何中,一次方程表示平面。,2、平面的几种特殊情况,不妨假设,,此时平面的方程为,同理:,这个平面平行y 轴,这个平面通过y 轴,这个平面平行z 轴,这个平面通过z 轴,不妨假设,,此时平面的方程为,同理:,这个平面垂直y 轴,这个平面垂直x 轴,3、讲解例题,解,由于,可知,不共线,,则,三点不共线,,因此它们可唯一确定一个平,面。,设所求的平面的方程为,可得,再代入平面的方程得,即,这就是所求的平面的方程。,解二,由于平面的法向量,都垂直,,的外积为,由于,再由点,根据平面的点法式方程,得,即,解,因为所求的平面过z轴,,所以设其方程为,得,所以,再代入平面的方程得,因此所求的方
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