复变函数复习

1、复变函数复习1、复数的相关知识1.0预备知识复数域、代数基本定理1.1基本知识模、辐角（符号规定）、辐角主值、共轭复数 （ 、 、 、 、 ）辐角： 不定义辐角欧拉公式： 公式： 扩充复平面： 复球面 同构（球极射影）补充：1.2复数的基本运算加减法：乘除法：取共轭：1.3不等式复数加法的几何定义以及三角形两边长之和不小于第三边三角不等式： 推论： 柯西不等式： 1.4直线、圆与对称性（暂不考虑）2、区域与曲线2.1区域开集与闭集给定集合 ，如果 使得 ，则称 为 的内点，由 的所有内点组成的集合，称为 的内部，记为 。开集： 关于开集有如下结论：1） 与 为开集；2）有限个开集的交集为开集；

2、3）任意个开集的并集为开集；4）集合 的内部为开集，即 若对 ，总有 ，则称 为 的极限点。由集合 所有极限点组成的集合，称为 的导集 。属于 但不属于 的点，称为 的孤立点，由 的所有极限点和独立店组成的集合，称为 的闭包 。闭集： 关于闭集有如下结论：1） 与 为闭集2）有限个闭集的并集为闭集；3）任意个闭集的交集为闭集；4）闭集的闭包为闭集。称 为 的边界，记为 2.2曲线连续曲线：可求长曲线：光滑曲线：逐段光滑曲线： 曲线（简单闭曲线）：无自交点2.3连通性单连通区域： 曲线收缩到一点（任意的），那一点仍在区域内，记为 多连通区域： 3、复变函数3.1定义单值函数：多值函数：单叶：EX

3、： = 0点处无定义，其余点无穷多值反函数：原、反函数的单、多值并无必然联系3.2函数的极限3.3函数的连续性若则称在 点连续定理： 在有界闭区域 上连续，EX： 零点处的极限不存在4、解析函数与初等函数4.1导数与解析导数定义同实变函数 函数解析： 在 的一个实心邻域内处处可到导，则称 在 处解析， 为解析点，否则为奇点。整函数：在C上解析的函数称为整函数若 为奇点，可能的情况如下：1）该点无定义；2）该点有定义但不连续；3）连续但不可导；4） 可导但不解析。定理：两个在D上解析函数的和差积商（除去分母为零点）仍在D上解析定理：设 在D上解析 在 上解析。解析函数将开集映射为开集。EX：1）

4、 2） 解析但是 在零点可导但不解析3）同样在零点可导但不解析利用导数定义，判断极限存在与否，分类讨论（等于零、不等于零）4.2解析的充要条件定理：设 在区域 内定义，则其在 点可微（解析）的充要条件为： 和在 点可微，且该点的偏导满足 方程： 定理：若 在区域 内解析，则 在 内有各阶导数推论1：函数 在区域 内处处解析，则 和 为 内的调和函数推论2：若 为单连通区域， 为 内的调和函数，则一定存在共轭调和函数 使得 在 内解析。 和 在 处有偏导数且在该点满足C-R方程，不能推出 在 处可导。EX： 在零点不连续其他解析函数的刚性：解析函数的模为常数，则他为常数解析的传递性：解析性对任意

5、阶导数均成立，一个解析函数的实虚部任意阶可微*形式导数：4.3初等函数4.3.1指数函数定义：满足以下条件的函数1）为整函数；2） 3） 时，存在性：唯一性：解C-R方程性质：1）是整函数，求导等于本身；2） 3） 4） 无界（注意定义域）5） 对 4.3.2对数函数指数函数的反函数称为对数函数 （多值函数）Def： 性质：1）解析性： 在 上解析2）导数3）运算关系： 4.3.3幂函数4.3.4三角函数4.3.5诺克夫斯基函数性质：1）三角公式，保持；2）奇偶性，周期性均保持；3）有界性，不保持，无界，模的意义下也无界；4）可导性，保持，且为整函数；5）欧拉公式： 5、复变函数的积分5.1积

6、分的概念5.1.1有向曲线正方向的确定：沿着区域的正向走，区域在左边5.1.2积分的定义5.1.3积分存在的条件以及计算方法 当C为光滑或逐段光滑曲线 时，有公式 该积分有以下性质：1） 2） 3） 4） 5.2 定理根据 公式与C-R方程 定理：设 是单连通区域，函数 在 内解析，C是任意一条可求长 曲线，则： 定理推广1：设区域D是可求长 曲线C的内部，函数在D内解析，在 上连续，则 定理推广2：设可求长 曲线族 围成区域D，函数在D内解析，则： 推论:：设可求长 曲线族围成无界区域D 在 内解析，满足 ， 在 上连续，则 定理：若函数 在区域 内连续，C为D内任意一条可求长简单闭曲线，且

7、C围成的区域属于D，若 沿C的积分为零，则 在D内解析。*代数基本定理的证明：5.3 公式定理：设区域D是可求长 曲线C的内部， 在D内解析， 上连续则1）在D内 ，圆域参数形式： 2） 在D内有各阶导数，且在D内 定理：若函数 在圆 内解析，并且 ，则 定理：若函数 为整函数，且有界，则 必为一常数（定理 ） 小定理：若整函数不取两个复值 ，则 为一常数推论1：设可求长 曲线族围成无界区域D，函数在D内解析，且在 上连续则 ，有 ，5.4最大模原理与5.4.1最大模原理定理：若函数 在区域D解析，且不为常数，则 在D内取不到它的最大值，换言之，如果解析函数在区域D内能取到模的最大值，必为常数

8、。推论：设D为有界区域， 在D内解析，在 上连续，则 有 ，若 不为常数，严格不等号成立。*最大模原理的证明： 引理：设函数 在 内解析，且满足条件 5.5解析函数与调和函数定理：若函数 在 上解析，则 为常数6、解析函数的级数展开6.1函数项级数6.1.1数项级数 收敛原理，绝对收敛与条件收敛6.1.2函数项级数与 定理6.2幂级数与泰勒展开式6.2.1幂级数 第一定理：若幂级数在点处收敛，则幂级数 在 内绝对收敛，并且在任意闭圆盘 上一致收敛。推论1：任意一个幂级数都有一个收敛半径 和一个收敛圆盘 ，在收敛圆内幂级数绝对收敛和内闭一致收敛，在收敛圆盘外级数发散。推论2：收敛半径（比值法）若

9、 则 收敛半径（根值法）若 ，则推论3：幂级数的和函数在收敛圆内是解析的，且 其中 第二定理：若幂级数的 的收敛半径 ，且在点 处收敛到s，则1）级数在以 为顶点，以 为角平分线6.2.2 展开定理：若函数 在圆C： 内解析，则 在C内可以展开为幂级数， 1） 是 到最近的奇点的距离，一般来说 （ ）2）幂级数以 为收敛半径，则 在C上至少有一个奇点。反之，如果没有还可以展开3）唯一形式6.2.3零点的孤立性与唯一性m级零点：孤立零点：引理：设 在区域D内解析，则 是函数m级零点的充要条件是存在邻域 且在该邻域内 其中 在邻域内不为零且解析。定理：若函数在区域D内解析，且不恒为零，则函数在D内

10、的零点是孤立的。定理：若函数 在区域D内解析，点集 有一个属于D的极限点 ，若 在集合E上成立，则在D内成立6.3 级数与展开式级数：定理：级数若有收敛域，则其收敛域为圆环 级数在D内绝对收敛和内闭一致收敛，和函数 在D内解析，且可分解为两部分定理：若函数 在圆环内解析，则 ，其中 ，而且展开式唯一。1）积分与 的选取无关2）唯一性证明6.3孤立奇点孤立奇点：若函数在 点的空心邻域 内解析，则称 是 的一个孤立奇点 可以为无穷。这时， 在 内可展开为 级数可去奇点：若 存在（有限复数），则称 是可去奇点极点：，则称 为极点本性奇点：不存在，则称 为本性奇点定理：设 ， 在 内解析，则下面三个命

11、题等价：1） 是 的可去奇点；2） 在邻域上有界；3） 展开式的负幂项系数皆为零证明：定理：设 ， 在 内解析，则下面三个命题等价：1） 是 的极点；2） ，其中 ， 在邻域内解析且不为零；3） 展开式中只有有限多负幂项的系数不为零，或奇异部分为有理函数定理：设 在 内解析， 为本性奇点的充要条件为： 展开式中有无穷多负幂项系数不为零定理：（ 定理）：设 是函数的本性奇点，则对于任意一个有穷复数 和数 在 内总有一点 使得 大定理：解析函数在本性奇点的空心邻域内无穷次地取到每一个有穷复值，至多除去一个例外推论1：设 在内解析，则下面三个命题等价1） 是 的可去奇点2） 在邻域（ ）上有界3） 展开式中的所有正幂项系数皆为零推论2：设 在内解析，则下面三个命题等价1） 是 的极点2） ， 在（ ）内解析且不为零，这时称 是 的 级极点3） 展开式中只有有穷多正幂项系数不为零推论3： 是 的本性奇点的充要条件是 的展开式中有无穷多的正幂项系数不为零，或非？奇异部分是一个无穷级数7、留数定理与幅角原理7.1留数定理7.1.1留数的定义与计算 设函数 在 内解析， 是 的孤立奇点，函数 在孤立奇点的留数，记作 ，定义为 若函数在 内解析，定义 在 点的留数为：7.1.2