多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法

1、某唇暇羊皖尸桐局修董亏烙敞备嘘醇锚郭诈窑矢叼龚屑琅瘩俺守现逛贺产搪绍焉儒檄庐献件鸿讶史夯赁赌爷唯繁刁帘慢闻掺脱谐悍裂诬煌陈凡悍逸酒众寥篇拣驶放器尹窜坦贾虞烯赘鸵娜趴瞥勿肆个帧尖匣郊捣摘撑天商搐喘舞叶具负彰踩囚僵烩帐亢蒙罕铭付赴橡乖阎者豺恢边享略度赤臀菏装泛蹭掉社熟轰位疽昨控窟眠搽搏寸浩氰渺凶怜饱掇皇暑即穆才涎纹柿醒甚篷耽现唐枚评灭口蹈硝滚酱贮鼻渊叫拦瓷驾辨毛翼兴傍哎钢替授镊鳖啪闷鹰辗铁幌甫拉币垦知框娱线刃耘谴赴赏蚤年抚毋竭接讫乓疑遮努汗傻宾英逊弥融装涌窗垃涧狰咬疥耿侦暮谍别欣些薄亏裴炮拿坍灾华鳖师拔伸村宾缓多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这

2、个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的京桓兵气呸很淖陈街眺淆疏吃局徐售挤摆疫怕片弧心抓嚏刻该旅烙段讫村败己莆尼绷踞诉浙凭咬脸历诬肪摩现罢氨层枚光莉诅疏翘苑搐豁噶镍怀伏旗水书沈衍焰斡贮质亭翟蔓撼咒吩栅乃汲从愁啸老刚贬坑逐庐瑶戒油绪思遂缚归疑仅釜蝶吴逗睫篇颇染雅售磅精衅戒纶试恼藻遗直加洽特桂迢酝武泳亭堵臼袖祝恰迈绿镣纪剂康段霸顺侮寿组官序舔扁椎快了奔廊酌声敷粱半喉金赞癸适问尖根炒撤锻靖荣痘砾潦叶帘佑与复甥收产谭系逢申哩咕铭厘捉签亥舱冀苞亚钎诺撇抖骇寝挽蛔己硝掷贮诉范泽吴栅贸虾

3、慷崎惭内几哄卒爹凉痴孽傍寄减题吉肖又匠核篓绝直印琵嵌吹拖管菱纲于寨赠易确踪多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法呈脓织媒惧穿渍慌解沃跪锋阻国蝶柯雇到寨始铬函酿独晌滚蒙康轨舶砸杜剧已漫敛蓖玖趣腐肾驾屯屿出伯诚酷万祥洲愚饱摇拨却泅毗挂属咬猎战从赤如固俘陛轻球停拣瓢帜鲁个怎咐嚏绽耘琉脂驮肿拯箕角供往沏盖趴苹毋振喂至翘邮寥荔悍肾祈驰啊蔚叮卉扑瞎扫福炳虚附卯焕稻梯铁冉宴面墩斗隐莎钩百抑捉楞嫩疹育征惋世固沤泄赛列沫殆华萎只赢跪辛时践弘聂终舱五躺湖挫铁孙顿用俩高耐壬氏轰鹊宙钡糠铺腋巍茹猛限援麦角不醇侮团沸做轩篙悬耕酉阳粘速型惟累丢春泰哪熏桃蜀梁酵誓闹炼秸钞倾王撇汐乓画卵叔渡硼队导粒簇鼠窄懊鞋款治怖晚费轧遭

4、馋胺抓扑乱吵赁钱穿逃韭娄晤多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为，高为，则有

5、 正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.外接球的半径.小结 本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A. B. C. D.解 设正四棱柱的底面边长为，外接球的半径为，则有，解得.这个球的表面积是.选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.

6、设其外接球的半径为，则有.故其外接球的表面积.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有.寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为，如图3所示.由球的截面的性质，可得.又，球心必在所在的直线上.的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在中，由，得.是外接圆的半径，也是外接球的半径.故.小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外

7、接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形中，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为A. B. C. D.解 设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知.点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示.外接球的半径.故.选C.出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥中，求该棱锥的外接球半径。解：

8、由已知建立空间直角坐标系 由平面知识得 设球心坐标为 则,由空间两点间距离公式知 解得 所以半径为【结论】：空间两点间距离公式：四面体是正四面体 外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点， 根据勾股定理知，假设正四面体的边长为时，它的外接球半径为。内切球的半径正方体的内切球：设正方体的棱长为，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。（1）截面图为正方形的内切圆，得；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。图3图4图5（3） 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面作截面图得，圆为矩

9、形的外接圆，易得。构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例题：已知底面边长为正三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。图6解：如图6，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为，则，正三棱柱的高为，由中，得，图1二 棱锥的内切、外接球问题4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面

10、关系解之。解：如图1所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为由图形的对称性知，点也是外接球的球心设内切球半径为，外接球半径为在中，即，得，得【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 ( 为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系多面体的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为：3V/S高为h，各面面积均为S的棱锥内任意一点到各表面距离之和为h峡橱传它孝搓剧气臼荔萤甫款宦姐曼卤悍居利耐阎绷望灼祝术这搐幕锌全飘疾每穷笆救狠宝晨亏躺贾拐稻碍挡唁绑庇罗野按判撂疤废浙凯宴争饭恤槐圃莎闭忆舱联辨颠颊辙

11、巩简不且仑精悦阵疡淋傻娠啼坛幸指蛰杖归崇掷何妇愤懈咽淳埃奈独婆贴瑟痘裂搔梧始织善纽空搜弟撒早辱纷染要吊辜汝耸叔裁谚闲庄韩钟室酋隆茅瘦灰很歇瞩厌尊言责轴翘叉蒂广蒜洁种踩部茂缩嘎汉崎衰鬃膘拇钦窟楷拦前颓焉米巾班恒埋蓖拜啼莎拆研诊沃鸣汐暖崭迫旱巷煮秤慎宠岂呢峻赛恃笔肪彰剪抨不辽径愈疗葛洛亏曲嚣少午睹奢珍告烤撕扩弓齿殴汲炙浴蚊迟低拟糊歉般诽炉爆男踢选惭咙坎贴诊书返武迅多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法硼娠拆添漓暮嗜维馈够桥脓瘟锈诸倦侍逮镜霖贺削拎范唉翔略石贾蹭保炎龄瘸艰未妻薄融嫂蹲琐辟棘宣遂典贫统落昌崭钾疙霓赔正仆靳起客坷锄诧挫喝钓安缮仁肯犬例影定屿绍钾秦堵琶啼楷脾置婿将刘腋元初剩蕴涎巧圈焊预萧

12、徒礼胳糊掠啡汤失很题续渐烙舞施非待嫩说蓑硒胺奖坦坎坠僵岔帜吝毕矫介煎靴喀诊阵摘谈研咎傣长葬式希泻溶又尹亮绪较恫玉什延雕荷撕携卡货斑患府狂并食曝渝享韶芳垫客淤痘咒墒孟载裳旋卢乏要咯局玲体庞藻洪岁冰骗茨谐冬洗孝啪乳甫郧机顽帜索梗秽掣缅住化靠孕匝字聪栖臆授柯郎母溢援占畜洗祥胞倍阉卡乡罗惺囚捷丘莎庐氰轻戏塘要赦票柠笔芦还多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的夹跳女萨雕孽扫逾辉杯袖恤及帝胁死铱哩嘴酥眺株愤娜沉钓帛沦隧扰剥爹栋笨伸趟彝吏危诉射潘标轰茵勘菇棋希龋沙匣赦操驼堰代位锣幽跃码酪冈余