直线的参数方程及其应用(学案)

1、.直线的参数方程及应用目标点击：1掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；2熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题；基础知识点击 ：1、直线参数方程的标准式的直线 l 的参数方程是(1)过点 P ( x0 , y0 )，倾斜角为0xx0t cos（t 为参数） t 的几何意义： t 表示有向线段P0 P 的数量， P( x , y )yy0t sinP0P=tP0P =t为直线上任意一点 .(2)若 P、P 是直线上两点，所对应的参数分别为 t 、 t2，12 P P =t t 1则 P P =t t11221

2、221t、t、t(3)若 P 、 P 、P 是直线上的点，所对应的参数分别为312312则 P1P2 中点 P3 的参数为 t3t1 t2, P0P3=t1t 2220 时，点 P 在点 P 的上方；0当 t 0 时，点 P 与点 P0 重合；当 t0 时，点 P 在点 P0 的右侧；lP0P( x, y )当 t 0 时，点 P 与点 P0 重合；当 t0 时，点 P 在点 P0 的左侧；0x问题 2：直线 l 上的点与对应的 参数 t 是不是一l对应关系？y我们把直线 l 看作是实数轴，P0以直线 l 向上的方向为正方向，以定点0P为原点，以原坐标系的单位长为单位长，Px这样参数 t 便和

3、这条实数轴上的点P 建立了0一一对应关系 .问题 3： P1、2 为直线l上两点所对应的参数分别为t1、2，Pt则 P1P2？， P1P2=？P1P2P1P0 P0P2 t1 t2 t2 t1， P1P2=问题 4：若 P0为直线l上两点 1、 2的中点， 1、2所对应的、tPPPP参数分别为 t2，则 t 、t之间有何关系？112y根据直线 l 参数方程 t 的几何意义，P1Pt1，P2Pt2， P0 为直线 l上两点 P 、 P 的中点， | P P| | P P|121 212P1 2，即t12PP Pt ,tt 0, 设这个二次方程的两个根为 t1、2由韦达定理得t1t21 2 25，

4、由M为线段AB的中点，t ,8, t t4根据 t 的几何意义，得 | PM| t1t2 15216中点 M 所对应的参数为 t M = 15 ,将此值代入直线的标准参数方程* ，16M 点的坐标为 x 23?1541即M （41 ， 3 ）51616y4 ? 1531645164.(3)|AB| t 2t 1(t1t 2 ) 24t 1 t 2 5738点拨：利用直线 l 的标准参数方程中参数t 的几何意义， 在解决诸如直线 l上两点间的距离、 直线 l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线 l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷 .例 7：已知直线 l 经过点 P（ 1,33

5、）, 倾斜角为，3(1)求直线 l 与直线 l ： yx 23 的交点 Q 与 P 点的距离 |PQ| ；(2)求直线 l 和圆 x2y 2 16 的两个交点 A ，B 与 P 点的距离之积 .解： (1)直线 l 经过点 P（1,33 ）, 倾斜角为,直线 l 的标准参数方13x1t cosx程为3，即1t（t 为参数）代入直线 l ：2y33 t sin3y3 33 t2y x2 3得 (11 t )( 333 t)2 30 整理，解得 t=4+2322t=4+23 即为直线 l 与直线 l的交点 Q 所对应的参数值，根据参数 t 的几何意义可知： | t| =|PQ|,| PQ|= 4+

6、23 .x1t(2)把直线 l 的标准参数方程为1（ t 为参数）代入圆的方程23y33t2x 2y2 16，得 (11 t )2(3 33 t) 216 ,整理得： t2 8t+12=0，222 -4 120, 设此二次方程的两个根为t1、t2则1 2=8t t =12根据参数 t 的几何意义， t1、 t2 分别为直线和圆 x 2y2 16 的两个交点A, B 所对应的参数值，则 | t1| =| PA|,| t2| =| PB|, 所以 | PA| | PB| =| t1 t2|=12点拨： 利用直线标准参数方程中的参数 t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的

7、普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便 .例 8：设抛物线过两点A( 1,6)和 B( 1,2)，对称轴与 x 轴平行，开口向右，直线 y=2 x +7 被抛物线截得的线段长是410 ，求抛物线方程 .解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（a ，2）方程为 (y2) 2=2P(x a ) (P0)点 B(1, 2)在抛物线上， ( 2 2) 2=2P(1 a )a P= 8 P代入 得(y 2) 2=2Px 2P+16将直线方程 y=2 x +7 化为标准的参数方程tg=2,为锐角，.12x11tcos=, sin=得25（ t 为参数）5

8、5y5t5直线与抛物线相交于 A，B, 将代入并化简得：4 t 2122P t 7 0，由= 4( P6) 2350, 可设方程的两根为 t1、t2，55521(t1t2 )24t1t 2 4 10又 |AB|= t t5 (122P) 2435 =( 410) 2化简，得 (6 P)2=10044 P=16 或 P=-4( 舍去 ) 所求的抛物线方程为 (y 2) 2=32x 48点拨： (1)（对称性） 由两点 A( 1,6) 和 B( 1, 2) 的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含 P 一个未知量，由弦长 AB的值求得 P）.(2) 利用直线标准参数方程解决弦长问题 . 此

9、题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些 .例 9：已知椭圆(x 1) 2y2，AB 是通过左焦点 F1 的弦，2 为右焦点，1F4 3求 | F2A| | F2B| 的最大值 .解：由椭圆方程知a 2，b=3 ,c=1,F1(0,0),F2(2,0),设过的弦所在直线的参数方程为xt cos （t 为参数）代入椭圆方程整理得yt sin（3sin2）t2 6 t cos 9=0 ，=36cos2 （ 2）036 3sin此方程的解为 t1、t2，分别为 A 、 B 两点对应的参数，由韦达定理 t1 t2= 6 cost1 t293sin 2

10、3sin 2根据参数 t 的几何意义， t1、 t2 分别为过点 F1 的直线和椭圆的两个交点A, B 所对应的参数值， |F A| | t| F B| | t|1112|AB|= t 2 t 1(t1t2 )24t1 t 212| F1A| | F1B| | t1| | t2|=|t1t2|3sin 24， | F B|+|F B|=2 4由椭圆的第一定义 |F A| |F A| 2aa| F A| |F B|=(4-|1212F A|)(4-|FB|)=16-4|AB|+|F A| | F B|221111=16-4 t 2t 1 +| t1t2|=16-412+9sin 2sin 239

11、33=16-sin 23.222有最大值25当 sin1 时， | F A| | F B|4点拨： 求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解1(0,0),F2(2,0),显然 F1 坐标简单，因此选择过 F1题，此题中两定点 FF B| 转化为 | F A| |FB|.的直线的参数方程， 利用椭圆的定义将 | F A| |2211例 10：（黄冈习题册： P155,第 23 题）（ 2）除书中解法外，补充解法二 .解法二：设过点 P( a ,0) 的直线 l 的参数方程为xa t cos(t为参数yt sin(0,) ，且 )(1)2直线 l 与圆 x2y 2 5 相交于

12、B,C 将直线 l 的方程 (1)代入圆的方程得 t2+2a t cos+ a 2 50，=( 2a cos) 2-4(a 25)0.即 a 2 sin2+50(2)25t BtC=2 a costBtC=a直线 l 与抛物线 y2= x +7 相交于 A,D 将直线 l 的方程 (1)代入抛物线的方程得 (sin2 ) t2 t cos a 70，= cos2-4 (sin2)(-a 7)0即 1+(4 a +27) sin20(3)costB tC=a7t AtD =sin 2sin 2又 |AB|=|CD|线段 AD与线段 BC的中点重合，即tAtD=tBtC cos = - 2a co

13、s即 - 2a =1，sin 2sin 2(0,) , 且 0sin21将 sin21代入 (2) 、(3)22aa100a 必须满足2a270-10a 12a122a点拨： 此题利用直线参数方程形式比普通方程求 a 的范围运算量相对要小，注意使用直线上两个点的中点的参数 .xx0t cos方法总结： 利用直线 l 的参数方程y0（t 为参数），给研究直线与yt sin圆锥曲线 C：F( x, y )=0 的位置关系提供了简便的方法 .一般地，把 l 的参数方程代入圆锥曲线C：F( x, y )=0 后，可得一个关于 t 的一元二次方程， f (t ) =0,1、 (1)当 0 时，.l 与

14、C 相交有两个交点；分别代入 l 的参2、当0 时，方程 f (t ) =0 的两个根分别记为 t 、 t ，把 t 、 t1212数方程即可求的 l 与 C 的两个交点 A 和 B 的坐标 .3、定点 P ( x0 , y0 )是弦 AB 中点t +t =00124、 l 被 C 截得的弦 AB 的长 |AB| | t t | ；P A P B=tt；弦 AB 中点 M120012点对应的参数为t1t20t1t22； | P M |=2基础知识测试2：7、 直线x1t(t 为参数 )与椭圆 x22 y 28 交于 A、B 两点，则 |AB| 等于 ( )y2tA 22B43D6C 2338、直线xx0t cos（ t 为参数）与二次曲线A、 B 两点，则 |AB| 等于 ( )yy0t sinA |t1+t2 | B |t1| | t2|C |t1 t2|Dt1t22x21 t229、 直线2为参数 )与圆 xy1有两个交点 A、B，若 P 点的坐y11 t (t2标为 (2,-1),则 |PA| |PB|=7 ) 的直线x6 2t10、过点 P(6,y72t2(t 为参数 )与抛物线y2=2 x