第三讲-变频器的模型及其矢量控制技术

1、.变频器的模型及其矢量控制技术.第一部分：最大风能追踪由空气动力学知道，风力机的输入功率为：P0R 2V 3（ 2.2.1）2式中： 空气密度，一般为1.251.29kg / m3 ；R 风轮半径（单位：m）； V 风速（单位：m/s ）根据著名的贝兹（Betz ）理论，风力机的输入功率不能全部被风轮吸收利用，其利用率（即风能利用系数C p ）在理论上的极限值为0.593 ，实际上的风力机最大风能利用率通常在0.45 左右。所以，风力机的机械输出功率为：PmC pR 2V 3（ 2.2.2 ）2风能利用系数 C p 是表征风力机效率的重要参数，它与风速、风轮转速、风轮半径、 桨叶节距角均有关系

2、。 和 C p 密切相关的还有另外一个重要参数叶尖速比 ，即风轮的叶尖线速度与风速之比：R w / V 2 Rnw /V（ 2.2.3 ）式中：w 风轮旋转角速度nw 风轮的转速风力机在最佳功率曲线上将会输出最大功率Pm ax ，其值为：Pmax2C p max R2 ( w R) 3k ww3（ 2.2.4 ）opt式中 kwC p maxR532optP mv 1v 2v 3v 4v 5P optv 1v 2v 3v 4v 50w图2.4定桨距风力机功率特性曲线.为实现最大风能追踪， 应依据风力机最佳功率曲线和风力机转速w 来实时计算交流励磁发电机的参考输出有功功率P1* 。令式 2.2.

3、5 中的 Pm 与式2.2.4 中的 Pmax 相等，即令风力机按最佳功率曲线输出最大机械功率，可得：P1*Pmaxk w3w（ 2.2.6 ）1 s1s按照 P1* 控制交流励磁发电机的输出有功功率，就可实现最大风能的追踪与捕获。由于 PTg wPmaxToptwToptkw g w2追踪最大风能的过程可用图2.7 来做定性说明：假设原先在风速V3 下风力机稳定运行在 Popt 曲线上的 A 点，风力机稳定运行在转速1 上。如果某时刻风速升高至 V2 ，因为风力机的转速不能突变，所以其运行点就会由A 点跳变至 B 点，风力机输出功率由PA 突增至 PB 。由于风力机输出功率突增，出力增大，则

4、发电机的输入转矩增大，将导致发电机的转矩失衡，于是发电机机械转速m 开始上升。在转速上升的过程中，风力机将沿着BC曲线增速。当到达风力机功率曲线与其最佳功率曲线相交的C 点时，功率再一次平衡，转速稳定为2 。2 就是对应于风速V2 的最佳转速。.PmEPEPCCV1PBBPDADPAV2V3w123图2.7 最大风能追踪原理同理也可分析从风速V1 到 V2 的逆调节过程： 假设原先风力机稳定运行在E 点，风力机稳定运行在转速3 上。如果某时刻风速由V1 降低至 V2 ，则风力机运行点由E 点跳变至 D 点。由于风力机输出功率突减，出力变小，发电机的输入转矩减小，转矩失衡导致发电机机械转速m 下

5、降。在转速下降的过程中，风力机沿着DC 曲线减速，到达风力机功率曲线与其最佳功率曲线相交的 C 点时，功率再一次平衡，转速稳定为2 。第二部分：双馈风力发电机本章的主要内容是讲述双馈感应发电机 （Doubly-Fed Induction Generator ，简称 DFIG）的工作原理及其励磁控制，我们通常所讲的双馈异步发电机实质上是一种绕线式转子电机，由于其定、转子都能向电网馈电，故简称双馈电机。双馈电机虽然属于异步机的范畴，但是由于其有独立的励磁绕组，可以像同步电机一样施加励磁，调节功率因数，所以又称为交流励磁电机（ Alternating Current Excitation Gener

6、ator ACEG ） 也 有 称 为 异 步 化 同 步 电 机 （ AsynchronizedSynchronous Generator）同步电机由于是直流励磁，其可调量只有一个电流的幅值，所以同步电机一般只能对无功功率进行调节。交流励磁电机的可调量有三个：一是可调节励磁电流幅值；二是可改变励磁频率；三是可改变相位。这说明交流励磁电机比同步电机多了两个可调量，通过改变励磁频率，可改变电机的转速，达到调速的目的。这样，在负荷突变时， 可通过快速控制励磁频率来改变电机转速，充分利用转子的动能，.释放或者吸收负荷，对电网扰动远比常规电机小。改变转子励磁的相位时，由转子电流产生的转子磁场在气隙空间

7、的位置上有一个位移，这就改变了发电机电势与电网电压相量的相对位置，也就改变了电机的功率角。这说明电机的功率角也可以进行调节。所以交流励磁不仅可以调节无功功率，也可以调节有功功率。交流励磁电机之所以有这么多优点，是因为它采用的是可变的交流励磁电流。但是，实现可变交流励磁电流的控制是比较困难的，本章的主要内容讲述一种基于定子磁链定向的矢量控制策略，该控制策略可以实现机组的变速恒频发电而且可以实现有功无功的独立解耦控制，当前的主流双馈风力发电机组均是采用此种控制策略。双馈电机的基本工作原理设双馈电机的定转子绕组均为对称绕组，电机的极对数为p , 根据旋转磁场理论，当定子对称三相绕组施以对称三相电压，

8、有对称三相电流流过时，会在电机的气隙中形成一个旋转的磁场，这个旋转磁场的转速n1 称为同步转速，它与电网频率f1 及电机的极对数p 的关系如下：60 f1n1（ 3-1 ）p同样在转子三相对称绕组上通入频率为f 2 的三相对称电流，所产生的旋转磁场相对于转子本身的旋转速度为：n260 f 2（ 3-2）p由式（ 3-2 ）可知，改变频率 f 2，即可改变 n2, 而且若改变通入转子三相电流的相序，还可以改变此转子旋转磁场的转向。 因此，若设 n1 为对应于电网频率为 50 Hz 时双馈发电机的同步转速，而 n 为电机转子本身的旋转速度，则只要维持 n n2=n1=常数，见式（ 3-3 ），则双

9、馈电机定子绕组的感应电势，如同在同步发电机时一样，其频率将始终维持为 f 1 不变。（3-3 ）nn =n =常数21双馈电机的转差率 Sn1n ，则双馈电机转子三相绕组内通入的电流频率应为n1f 2pn 2p(n1n) pn1n1n（ 3-4 ）606060n1f1S公式（ 3-4 ）表明，在异步电机转子以变化的转速转动时，只要在转子的三相对称绕组中通入转差频率（即 f 1 S）的电流，则在双馈电机的定子绕组中就能产生 50Hz 的恒频电势。所以根据上述原理，只要控制好转子电流的频率就可以实现变速恒频发电了。.根据双馈电机转子转速的变化，双馈发电机可有以下三种运行状态：（ 1）亚同步运行状态

10、。在此种状态下nn1, 改变通入转子绕组的频率为f 2 的电流相序，则其所产生的旋转磁场的转速n2 的转向与转子的转向相反，因此有n-n 2=n1。（ 3）同步运行状态。此种状态下n=n1, 转差频率 f 2=0,这表明此时通入转子绕组的电流频率为0 ，也即直流电流，与普通的同步电机一样。双馈发电机的基本方程、等效电路和向量图下面从等效电路的角度分析双馈电机的特性。首先，作如下假定： （1）只考虑定转子电流的基波分量， 忽略谐波分量；（2）只考虑定转子空间磁势基波分量；（ 3）忽略磁滞、涡流损耗和铁耗； （4）变频电源可为转子提供能满足幅值、频率及功率因数要求的电源，不计其阻抗与损耗。发电机定

11、子侧电压电流的正方向按发电机惯例， 转子侧电压电流的正方向按电动机惯例，电磁转矩与转向相反为正， 转差率 s 按转子转速小于同步转速为正，参照异步电机的分析方法，可得双馈发电机的等效电路，如图（ 3-1 ） 所示根据等效电路图，可得双馈发电机的基本方程式：.U 1E1 I 1R1jX 1.U 2.R2jX 2E 2 I 2ss（3-5 ）.E1E 2I m( jX m ).I 1 I 2I m式中， R1 、 X1 分别为定子侧的电阻与漏抗R2 、 X2 分别为转子折算到定子侧的电阻和漏抗Xm 为激磁电抗.U 1 、 E1 、 I 1 分别为定子侧电压、感应电势和电流.E 2 、 I 2 分别

12、为转子侧感应电势，转子电流经过频率和绕组折算后折算到定子侧的值.U2 转子励磁电压经过绕组折算后的值，U 2 / s 为U 2 再经过频率折算后的值.A.U 1X.R1X1R2 / sX 2.I1.I2EEX mU 2I m12s图（ 3-1 ）双馈发电机的等值电路图AR1X1R2 / sX2 a.I1.I2EEX mU 1Im12Xx图（ 3-2）普通绕线式转子发电机的等值电路图普通的绕线式转子电机的转子侧是自行闭合的根据基尔霍夫电压电流定律可以写出普通绕线式转子电机的基本方程式.U 1E1I 1R1 jX 1.R2E 2I 2jX 2s（3-6 ）.E1E 2I m( jX m ).I 1

13、I 2I m从等值电路和两组方程的对比中可以看出， 双馈电机就是在普通绕线式转子电机的转子回路中增加了一个励磁电源， 恰恰是这个交流励磁电源的加入大大改善了双馈电机的调节特性， 使双馈电机表现出较其它电机更优越的一些特性。 下面我们根据两种电机的基本方程是画出各自的相量图， 从相量图中说明引入转子励磁电源对有功和无功的影响。.U 2 / sE1E2U 1U 1E2I 1E1E2I 1I 2I 211mmI mI m.E1E 2E1E 2图（ 3-3）转子中不加励磁时的相量图图（ 3-4）转子中加入励磁电源后的相量图从相量图中可以看出对于传统的绕线式转子电机， 当运行时的转差率 s 和转子参数确

14、定之后， 定转子各相量相互之间的相位就确定了， 无法进行调整。 即当转子的转速超过同步速之后， 电机运行于发电机状态， 此时虽然发电机向电网输送有功功率，但是同时电机仍然要从电网吸收滞后的无功进行励磁。 但是从图（3-4 ）中可以看出在引入了转子励磁电压之后， 定子电压和电流的相位发生了变化， 因此使得电机的功率因数可以调整， 这样就大大改善了发电机的运行特性， 对电力系统的安全运行就有重要意义。双馈发电机的功率传输关系风力机轴上输入的净机械功率（扣除损耗后）为Pmech ，发电机定子向电网输出的电磁功率为 P1 ，转子输入 / 输出的有、电磁功率为P2 ，s 为转差率，转子转速小于同步转速时

15、为正， 反之为负。 P2 又称为转差功率， 它与定子的电磁功率存在如下关系（数值关系）P2s P1如果将 P2 定义为转子吸收的电磁功率，那么将有P2sP1此处 s 可正可负，即若 s0 ，则 P20 ，转子从电网吸收电磁功率，若s 0 ，则P20 ，转子向电网馈送电磁功率。下面考虑发电机超同步和亚同步两种运行状态下的功率流向（ 1）超同步运行状态，顾名思义，超同步就是转子转速超过电机的同步转速时的一种运行状态，我们称之为正常发电状态。 （因为对于普通的异步电机，当转.子转速超过同步转速时，就会处于发电机状态。）电网P1PmechP2s P1图（ 3-5）超同步运行时双馈电机的功率流向根据图中

16、的功率流向和能量守恒原理：流入的功率等于流出的功率PPs P(1s) Pmech111因为发电机超同步运行，所以s0 ，上式可以进一步写成P(1s) Pmech1将上述式子归纳得：超同步速，s 0 ， Pmech P1定子转子P1P2Pmech机械功率图（ 3-6）超同步速时双馈电机的功率流向示意图（ 2）亚同步运行状态，即转子转速低于同步转速时的运行状态，我们可以称之为补偿发电状态 （在亚同步转速时， 正常应为电动机运行， 但可以在转子回路中通入励磁电流使其工作于发电状态）电网P1PmechP2 s P1图（ 3-7）亚同步运行时双馈电机的功率流向根据图中（ 3-7）以及能量守恒原理，流入的

17、功率等于流出的功率Ps PPmech11由于亚同步运行时 s0 ，所以上式可以化成P(1s) Pmech1将上述式子归纳得到：亚同步速，s0 ， PmechP1.定子转子P1P2Pmech机械功率图（ 3-8）亚同步运行时双馈电机的功率流向示意图综合超同步和亚同步两种运行状态可以得到下面的一般关系Pmech与 P1 的关系为Pmech (1 s)P1P2与P1的关系为1P2 sP超同步时有 PmechP1 ，亚同步时有 Pmech P1双馈电机的数学模型上一节我们从双馈电机稳态等效电路以及功率流向的角度分析了双馈电机的工作原理，但这对于控制来说是远远不够的， 本节我们将通过从数学模型的角度来分

18、析双馈电机为下一步的控制做准备。双馈电机的数学模型与三相绕线式感应电机相似，是一个高阶、 非线性、强耦合的多变量系统。为了建立数学模型，一般作如下假设：a) 三相绕组对称，忽略空间谐波，磁势沿气隙圆周按正弦分布。b) 忽略磁路饱和，各绕组的自感和互感都是线性的。c) 忽略铁损。d) 不考虑频率和温度变化对绕组的影响。在建立基本方程之前，有几点必须说明：1、首先要选定好磁链、电流和电压的正方向。图（3-9 ）所示为双馈电机的物理模型和结构示意图。图中，定子三相绕组轴线A、 B、 C 在空间上是固定的， a、 b、 c 为转子轴线并且随转子旋转，r 为转子 a 轴和定子 A 轴之间的 电角度 。它

19、与转子的机械角位移m 的关系为mr / np ， np 为极对数。各轴线正方向取为对应绕组磁链的正方向。定子电压、电流正方向按照发电机惯例标示；转子电压、电流正方向按照电动机惯例标示。2、为了简单起见，在下面的分析过程中，我们假设转子绕组各个参数已经折算到定子侧，折算后定、转子每相绕组匝数相等。于是，实际电机就被等效为图（3-9 ）所示的物理模型了。双馈电机的数学模型包括电压方程、磁连方程、运动方程、电磁转矩方程等。.BuBi BbuaaiaibmAubiAicucuAci CuCC图（ 3-9 ）双馈电机的物理结构图电压方程选取下标s表示定子侧参数，下标 r 表示转子侧参数。定子各相绕组的电

20、阻均取值为 rs ，转子各相绕组的电阻均取值为rr 。于是，交流励磁发电机定子绕组电压方程为：uArsi AD A ； uBrsiBDB ； uCrsi CD C转子绕组电压方程为：uarr i aDa ； ubrrDb ； ucrr icD c可用矩阵形式表示为：uArs00000i AD AuB0rs0000i BD BuC00rs00 0 iCD C(3-7)ua000rr00i aD aub0000rr0ibD buc00000rri cD c或写成：u=Ri +D式中： uA ， uB ， uC ， ua ， ub ， uc 定子和转子相电压的瞬时值；i A ， i B ， i C

21、， ia ， i b ， ic 定子和转子相电流的瞬时值；A ，B ，C ，a ，b ，c 各相绕组的全磁链；rs ， rr 定子和转子的绕组电阻；D 微分算子d 。dt.磁链方程定转子各绕组的合成磁链是由各绕组自感磁链与其它绕组互感磁链组成，按照上面的磁链正方向，磁链方程式为：ALAALABLACLAaLAbLAci ABLBALBBLBCLBaLBbLBci BCLCALCBLCCLCaLCbLCciC(3-8)LaALaBLaCLaaLabLaci aabLbALbBLbCLbaLbbLbcibcLcALcBLcCLcaLcbLcci c或写成： =Li式中的电感L 是 6 6 的矩阵，

22、主对角线元素是与下标对应的绕组的自感，其它元素是与下标对应的两绕组间的互感。由于各相绕组的对称性，可认为定子各相漏感相等，转子各相漏感也相等，定义定子绕组每相漏感为Lls ，定子每相主电感（定子互感）为Lms ，转子绕组每相漏感为Llr ，转子每相主电感 （转子互感） 为 Lmr ，由于折算后定、转子绕组匝数相等，且各绕组间互感磁通都通过气隙，磁阻相等，故可认为LmsLmr定子各相自感为：L AALBBLCCLlsLms转子各相自感为：LaaLbb Lcc Llr L mr两相绕组之间只有互感。互感可分为两类：1）定子三相彼此之间和转子三相彼此之间的位置都是固定的，故互感为常值；2）定子任一相

23、和转子任一相之间的位置是变化的，互感是r 的函数。先看其中的第一类互感，由于三相绕组的轴线在空间的相位差是120，在已经假设气隙磁通为正弦分布的条件下，忽略气隙磁场的高次谐波，互感值为：( LmsLls ) cos12001 Lms2于是：L ABLBCLCALBALCBLAC1 Lms2LabLbcL caLbaLcbLac1 Lmr2至于第二类定、转子间的互感，当忽略气隙磁场的高次谐波，则可近似.为是定、转子绕组轴线电角度r 的余弦函数。当两套绕组恰好处于同轴时，互感有最大值L sr （互感系数），于是：L AaLaAL BbLbBLCcLCcL sr cos rL AbLbALAcLcA

24、LBcLcBLsr cos(L AcLcA LBa LaB LCb LbC L sr cos(rr2 )32 )3代入磁链方程，就可以得到更进一步的磁链方程。这里为了方便起见，将它写成分块矩阵的形式：ABCLssLsri ABCabcLrsLrriabc其中：ABCABCT；abcabcTi ABCi Ai Bi CT ； iabci a i bicTL msLls1L ms12Lms2L ss =1 LmsLmsLls1 Lms221 Lms1 L msL msLls22L mrLlr1 L mr1 Lmr22L rr=1 L mrLmrLlr1 Lmr2121L mrL mrLmrLlr2

25、2cosrcos( r2)cos( r2)33LrsL T2)cos rcos( r2)=sr = Lsr cos( r33cos( r2)cos( r2)cos r33Lrs 和 Lsr 两个分块矩阵互为转置，且与转角位置r 有关，他们的元素是变参数，这是系统非线性的一个根源。为了把变参数转化为常参数需要进行坐标变换，这将于后面讨论。需要注意的是：2转子绕组经过匝数比变换折算到定子侧后，定、转子绕组匝数相等，.且各绕组间互感磁通都通过气隙，磁阻相同，故可以认为转子绕组主电感、定子绕组主电感与定转子绕组间互感系数都相等，即 Lms Lmr Lsr 运动方程交流励磁电机内部电磁关系的建立，离不开

26、输入的机械转矩和由此产生的电磁转矩之间的平衡关系。简单起见，忽略电机转动部件之间的摩擦，则转矩之间的平衡关系为：TmJ d（ 3-9 ）Tenp dt式中， Tm 为原动机输入的机械转矩，Te 为电磁转矩，J 为系统的转动惯量，n p 为电机极对数，为电机的电角速度。从磁场能量根据机电能量转换原理，可以得出电磁转矩方程：Te1 np ir TLrs isisT Lsr ir2rrnp Lsr iA iaiB ibiCic sin ri Ai bi BiciCia sin2（ 3-10）r3iA iciB iaiC ib sinr23应该指出，上述公式是在磁路为线性、磁场在空间按正弦分布的假定条

27、件下得出的，但对定、转子的电流的波形没有作任何假定，它们都是任意的。因此，上述电磁转矩公式对研究由变频器供电的三相转子绕组很有实用意义。式（ 3-7）（ 3-10）构成了交流励磁发电机在三相静止轴系上的数学模型。可以看出，该数学模型既是一个多输入多输出的高阶系统，又是一个非线性、强耦合的系统。分析和求解这组方程是非常困难的，即使绘制一个清晰的结构图也并非容易。为了使交流励磁电机具有可控性、可观性，必须对其进行简化、解耦，使其成为一个线性、解耦的系统。其中简化、解耦的有效方法就是矢量坐标变换方法。坐标变换及变换阵交流电机的时空矢量图根据电路原理， 凡随时间作正弦变化的物理量（如电动势、 电压、电

28、流、磁通等）都可以用一个以其交变角频率作为角速度而环绕时间参考轴（简称时轴t ）逆时针旋转的时间矢量（即相量）来代替。该相量在时轴上的投影即为缩小2 倍的该物理量的瞬时值。我们这里介绍的时空矢量图表示法是一种多时轴单相量表示法，即每相的时间相量都以该相的相轴为时轴，而各相对称的同一物理量用一根统一的时间相量来代表。如图（3-10 ）所示，只.用一根统一的电流相量I&1 （定子电流）即可代表定子的对称三相电流。不难证明， I&1在 A 上的投影即为该时刻 i A 瞬时值的 1/ 2 倍；在 B 上的投影即为该时刻 iB 的瞬时值的 1/ 2 倍；在 C 上的投影即为该时刻 iC 的瞬时值 1/

29、2 倍。A 相时轴AI1iBCB相时轴C相时轴图（ 3-10）多时轴单相轴表示法A 相时轴A1FeI 1BmmEBCB相时轴C相时轴图（ 3-11）时空矢量图有了统一时间相量的概念，我们就可以方便地将时间相量跟空间矢量联系起来，将他们画在同一矢量图中，得到交流电机中常用的时空矢量图。在图（ 3-11 ）所示的时空矢量图中，我们取各相的相轴作为该相的时轴。假设某时刻i AI m 达到正最大，则此时刻统一电流相量I&1 应与 A 重合。据旋转磁场理论，这时由定子对称三相电流所生的三相合成基波磁动势幅值应与A 重合，即 F1 应与A 重合，亦即与I&1重合。由于时间相量I&1的角频率跟空间矢量 F1

30、 的电角速度1 相等，所以在任何其他时刻，F1 与 I&1 都始终重合。为此，我们称I&1与由它所生成的三相合成基波磁动势F1 在时空图上同相。在考虑铁耗的情况下， B1应落后于 F1 一个铁耗角Fe ，磁通相量 &m 与 B1重合。定子对称三相电动势的统一电动势相量&应落后于&E1m 为 90。由电机学我们知道，当三相对称的静止绕组A、 B、 C 通过三相平衡的正.弦电流 i A 、 i B 、 iC 时产生的合成磁势F，它在空间呈正弦分布，并以同步速（电角速度）顺着A、 B、 C 的相序旋转。如图（ 3-12-a ）所示，然而，产生旋转磁势并不一定非要三相电流不可，三相、四相等任意多相对称

31、绕组通以多相平衡电流，都能产生旋转磁势。如图（3-12-b ）所示，所示为两相静止绕组 、，它们在空间上互差 90，当它们流过时间相位上相差90的两相平衡的交流电流i 、 i 时，也可以产生旋转磁动势。当图（3-12-a ）和图（ 3-12-b ）的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图（3-12-a) 中的两相绕组与图3-12-b) 中的三相绕组等效。再看图（3-12-c ）中的两个匝数相等且互相垂直的绕组d 和 q，其中分别通以直流电流i d 和 i q ，也能够产生合成磁动势 F，但其位置相对于绕组来说是固定的。如果让包含两个绕组在内的整个铁芯以转速旋转，则磁势F 自然也随着旋转起来

32、，称为旋转磁势。于是这个旋转磁势的大小和转速与图（3-12-a ）和图（ 3-12-b ）中的磁势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前两套固定的交流绕组等效了。BqFFdFBibiiqdAicAq0id0i0iaCCa) 三相交流静止绕组b ） 两相交流静止绕组c ） 两相旋转直流绕组（ 3-12 ）等效交直流绕组物理模型当观察者站在图 （ c）中的两相旋转绕组 d、q 铁芯上与绕组一起旋转时，在观察者看来这是两个通以直流电流的相互垂直的静止绕组。这样就将对交流电机的控制转化为类似直流电机的控制了。在交流励磁电机中，定子三相绕组、转子三相绕组都可以等效成这样的两相旋转绕组。由于相互垂直的原因，

33、定子两相轴之间和转子两相轴之间都没有互感，又由于定子两相轴与转子两相轴之间没有相对运动（因为定、转子磁势没有相对运动） ，其互感必然是常数。因而在同步两相轴系电机的微分方程就必定是常系数，这就为使用矩阵方程求解创造了条件。习惯上，我们分别称图a、b、c 中三种坐标系统为三相静止坐标系（ a-b-c坐标系）、两相静止坐标系（-0 坐标系）、两相旋转坐标系（d-q-0坐标系）。要想使以上三种坐标系具有等效关系，关键是要确定i A 、 i B 、 iC 与 i 、i 和 i d 、 iq 之间的关系，以保证它们产生同样的旋转磁动势，而这就需要我们引入坐标变换矩阵。.坐标变换的方法有多种，这里我们只介

34、绍根据等功率原则构造的变换阵，可以证明根据等功率原则构造的变换阵的逆与其转置相等，这样的变换阵属于正交变换。三相静止 / 两相静止变换（3s/2s 变换）BN3 iBN2 iN3 iAAN2 iN3 iCC图（ 3-13 ）三相定子绕组与两相定子绕组磁势的空间位置图 3.4 所示为交流电机的定子三相绕组 A、 B、 C 和与之等效的两相电机定子绕组 、 各相磁势的空间位置。当两者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和两相绕组的瞬时磁势沿、轴的投影相等，即：N2i sN3i AN3iBcos2N3iCcos 433N2i s0 N3iB sin24N3 sin33式

35、中， N 3 、 N 2 分别为三相电机和两相电机定子每相绕组匝数。经计算并整理后，用矩阵表示为：ii11iAN312s2iB（ 3.3.1）sN233iC022简记为： i C3s2si为求其逆变换，引入另一个独立于i s 、 i s 的新变量 i0 ，称之为零序电流，并定义： N 2i 0KN 3 i AKN 3i BKN 3i C于是得到：.i0N 3(Ki A Ki B Ki C )（ 3.3.2）N 2式中， K 为待定系数。对两相系统来说，零序电流是没有意义的，这里只是为了纯数学上的求逆的需要而补充定义这样一个其值为零的零序电流（相应的坐标系才称为-0 坐标系）。需要说明的是，这并

36、不影响总的变换过程。式 3.3.1和式 3.3.2合并后， C 3s2s 成为：11122N 333C 3s 2s02N 22K KK将 C3 s 2s 求逆，得到：1012KN 2C 3s121312 s222K3 N 3131222K根据前面所述的等功率原则，要求C3s 2 s1C3 s 2sT 。据此，经过计算整理可得N 32， K1，于是：N 232111222033（ 3.3.3）C3 s 2s223111222.1C 2 s3 sC 3s 2 s10122131（ 3.3.4）3222131222式 3.3.3 和式 3.3.4 即为定子三相 / 两相静止轴系变化矩阵，以上两式同样适用于定子电压和磁链的变换过程。需要注意的是，当把以上两式运用于转子轴系的变换时，变换后得到的两相轴系和转子三相轴系一样，相对转子实体是静止的，但是，相对于静止的定子轴系而言，却是以转子角频率旋转的。因此和定子部分的变换不同，转子部分实际上是三相旋转轴系变换r到两相旋转