《样本及抽样分布》PPT课件.ppt

1、第六章 样本及抽样分布,内容提要,一总体与样本,二 样本分布函数,三统计量,四抽样分布,基本要求,1理解总体,个体,简单随机样本和统计量的概念。,2掌握样本均值,样本方差的计算。,3. 了解 x2分布, t 分布, F 分布的定义和性质,了解分位点的概 念并会查表计算。,4. 掌握正态总体的样本均值和样本方差的分布。,5. 了解直方图的作法。,本章重点: 常用统计量的概念及其分布。,6.1 总体与样本,一. 总体与个体,. 总体: 被研究的对象的全体,例如：考察某工厂生产的电视机显象管的质量, 即考察显象管的 寿命。,其中, 总体:该厂生产的所有显象管的寿命； 个体: 每个显象管的寿命。,2组

2、成总体的各个元素,由于受到人力,物力等的限制, 特别是测定显象管的寿命是一 个破坏性试验, 即当得知显象管寿命时,该显象管的使用价值也消 失了,于是我们采用从总体中抽取若干个体, 由局部了解整体情况。,一般, 代表总体的指标(如显象管寿命)是一个随机变量 X, 所以总体就是指某个随机变量X 可能取值的全体。,二样本,1抽样: 从总体中抽取若干个体的过程。,2样本: 从总体中抽取若干个体, 观察得随机变量的一组试验 数据(观测值), 样本中所含个体的数量称为样本容量。,从总体中抽取样本, 一般假设满足下述条件：,(1) 随机性: 使总体中的每一个个体有同等机会被抽取到；,(2) 独立性: 每次抽

3、样的结果既不影响其他各次抽样的结果, 也不受其他各次结果的影响；,3. 简单随机样本：由随机的, 独立的抽样方法得到的样本, 这种随机的, 独立的抽样方法称为简单随机抽样。,注: 今后凡是提到抽样与样本, 都是简单随机抽样与简单随 机样本。,由于从总体中抽取容量为n的样本, 即是对代表总体的随 机变量X随机的,独立的进行n次试验, 每次试验结果可以看作 一个随机变量, n 次试验结果就是n个随机变量 X1, X2 , X n , 它们相互独立且与总体X同分布。,将样本X1, X2 , X n看作一个n维随机变量(X1, X2 , X n), 则：,当总体X是离散型随机变量时,设 ,则 (X1,

4、 X2 , X n)分布律为：,(2) 当总体X是连续型随机变量时,且概率密度为 ,则 (X1, X2 , X n)概率密度为：,测试题A,一. 填空题。,1. X1, X2 , X n 是总体X的简单随机样本的条件是) ) 。,2. 设X1, X2 , X n是来自 分布的样本, 为未知参数, 则 的分布率为 ,设n=10时样本的一组观测值为 (1,2,4,3,3,4,5,6,4,8),则样本均值为 ,方差为 。,3. 样本(Y1,Y2,Y3)是来自于正态总体N(0,1),又 则的联合概率密度为 。,1. 设X1, X2 , X n是来自均匀分布总体U (a , b)的样本, 求样本 (X1

5、, X2 , X n)的联合概率密度。,二. 计算题。,测试题B,一填空题。,设随机变量X服从正态分布, ,若 X1, X2 , X n可以看作一组简单随机变量,则它应满足的条件 。,2. 设X1, X2 , X n是来自01分布的样本, 且 , p 为未知参数, 则(X1, X2 , X n )的分布率为 , , 。,3. 已知样本容量为8的一个样本值为(0,1,0,1,1,0,1,1), 则样本的 均值为 _ 。(其中样本来自于01分布的总体 且 ),二计算题。,设 X1, X2 , X n 是来自正态总体 的样本,求 样本X1, X2 , X n的联合概率密度。,) X1, X2 , X

6、 n 相互独立 ) X1, X2 , X n 与总体 X 同分布。,测试题A答案：,一填空题。,2.,3.,二计算题。,解: 因为X1, X2 , X n来自均匀分布总体U (a , b),则X1, X2 , X n相互独立. 所以,测试题B答案:,一填空题。,1)满足X1, X2 , X n独立且同分布 2),2.,3. 5/8,二计算题。,6.2 样本分布函数与直方图,一. 样本分布函数,从总体中抽取容量为n的样本, 得到n个观测值, 当n较大时, 相同的观测值可能重复出现若干次, 整理后得到样本频率分布表:,1总体分布函数: 总体X的分布函数,其中：,2样本分布函数,定义: 设函数 则称

7、 为样本分布函数或经验分布函数。,其中 是对小于或等于 的一切 的频率 求和。,3. 样本分布函数的性质,(1),(2) 是非减函数,(3),在每个观测值 处是右连续的,点 是 的跳跃间断点, 在点 的跃度就是频率,样本分布函数 的图形如下：,对于任意实数x,由样本分布函数定义知, 表示事件 的频率, 由伯努利大数定理知,当 时,对于 ,有,二. 直方图,当总体X是连续型随机变量时, 可用直方图来处理数据,即 作出样本的频率直方图。,找出样本观测值x1 , x2 , , x n中的最小值与最大值, 分别 记为 与 .即,步骤：,(2) 适当选取略小于 的数a 与略大于 的数 b,得到适当的 作

8、图区间a , b,并在区间a , b中插入分点 则得到子区间,以n i 表示落入第i个小区间 内样本观测值的频数 为频率.,在直角坐标系内, 以各个小区间为底, 以 为高作小 矩形,即使各个小矩形的面积 等于样本观测值落在该 子区间内的频率.所有小矩形的面积之和为1。,通常如此步骤作出的所有小矩形就构成了直方图。,注意：(1) 各个区间长度可以相等, 也可以不等。,(2) 由大数定理知, 当样本容量n充分大时,并按区间183.5, 192.5), , 219.5, 228.5)分成5组,列出毛坯 重量的频率分布表,并作直方图。,解：我们把数据的分布区间确定为183.5, 228.5, 并等分为

9、5 个子区间: 183.5, 192.5), 192.5, 201.5), 201.5, 210.5) 210.5, 219.5) , 219.5, 228.5)。,例1. 测得20个毛坯重量(单位: g)列成简单表如下：,由此得到毛坯重量的频率分布表如下：,直方图如下：,6.3 统计量,一统计量,定义: 设X1, X2, , X n是来自总体X的一个样本, 若样本函 数g (X1, X2, , X n)中不含任何未知量, 则称这类样本函数 为统计量。,注： 统计量是完全由样本确定的量,是样本的函数。,例如： ,其中 已知, 未知. 为总体的一个样本, 则 是一个统计量, 不是统计量。,2常用

10、统计量及其观测值,(1) 样本均值: 观测值为:,(2) 样本方差: 观测值为:,(3) 样本标准差: 观测值为:,(4) 样本k阶原点矩: 其观测值为:,(5) 样本k阶中心矩: 其观测值为:,显然, 样本一阶中心矩恒等于零。,例1. 已知X1, X2, , X n 是来自总体X的一组样本, 且总体X的 k阶矩 存在, 记为 ,试证:,证明: 由于X1, X2, , X n 独立且与X同分布,所以X1k, X2k, , X n k独立且与X k同分布.,于是,由辛钦大数定理知: 对于 , 有,即: 证毕。,由例1结论及依概率收敛的序列的性质知: 对于连续函 数 g, 有,此为下章矩估计法的理

11、论依据。,例2. 设 及 为两个样本观察值, 它们有 如下关系: a , b为常数,求样本 平均值 与 ,样本方差 与 之间的关系。,解: 由 , 得,又,即:,又,例3. 若样本观测值 的频数分别为 , 试写出计算样本均值 与样本方差 的公式, 其中,若写出样本二阶中心矩 , 显见当充分 大时， 和 是近似相等的。,解:,测试题A,设 是来自总体的样本, 则有( )。 (A) (B) (C) (D)都不对,2. 设 是来自总体 的样本,其中 , 为未 知参数, 问下列诸量哪个是统计量, 哪个不是统计量? (1) (2) (3) (4) (5),3. 已知样本观测值为: 15.8, 24.2,

12、 14.5, 17.4, 13.2, 20.8, 17.9, 19.1, 21.0, 18.5, 16.4, 22.6; 计算样本均值, 样本方差及样本二 阶中心矩的观测值。,测试题B,设 取自总体X的样本, 为已知, 为未知, 则下列随机变量中不是统计量( )。 (A) (B) (C) (D),2. 设(-2,-1,3,3,4)是容量为5的一个样本观测值, 试求经验分 布函数,3. 设从总体中抽取两组样本, 其样本容量分别为n1和n2, 设两 组的样本均值分别为 和 , 样本方差分别为 和 , 把 两组样本合并成一组容量为 的联合样本。 证明: (1)联合样本的样本均值为: (2)联合样本的

13、方差,测试题A答案,D 统计量: (3) (5); 非统计量: (1) (2) (4),3解: 即其观测值,测试题B答案,1. C,2. 解:,3. 证明: 设两组样本为:,则,合并后的样本均值为:,样本方差：,6.4 抽样分布,统计量是样本的函数, 它也是一个随机变量。 统计量的分布称为抽样分布。,一. 三个重要分布,1. x2 分布,设X1,X2, , X n 是来自正态总体N(0,1)的样本, 则称统 计量 服从自由度为n的x2分布, 记为 。,此处自由度指 包含的独立变量的个数。,(1) 分布的概率密度为:,f ( y )图形如下所示:,(2) x2分布的性质,() 设 ,且 相互独立

14、， 则,证略. 此结论推广为:,设 ,且相互独立, 则,() 设 , 则,证明: 由于 , 则 所以,而 又,因为 相互独立, 所以 也相互独立， 于是,(3) 分布的分位点,定义: 设有分布函数F (x),对于给定的 ,若有 ,则称点 为F (x) 的上分位点。,当F (x)有密度函数 f (x)时, 于是得x2(n)分布的上分位点为: 对于 称满足条件 的点 为分布 的上 分位点。,对于不同的 , n ,上 分位点可查表得。,当n充分大时, 近似有 是标准正态分布的上 分位点。,表中列出了n=45内的上 分位点的值, n 45时, x2(n)分布的 上 分位点的近似值由上式决定。,例如:

15、若 ,则 若 ,则,2. t 分布,设 ,且X, Y相互独立, 则称随机变 量 服从自由度为n的t分布, 记为,(1) t (n)分布的概率密度为：,h ( t )图形如下图所示：,显见h (t)的图形关于t=0对称, 当n充分大时, 其图形类似 于标准正态分布的概率密度的图形, 事实上, 当n足够大时, t 分布近似于N(0,1)分布.即:,(2) t分布的分位点,对于给定的,称满足条件 的点 为t (n)分布的上 分位点.如下图：,显见,t分布的上 分位点可由附表3查得, 当n45时, 有,3. F 分布,设，且相互独立,则称随 机变量 服从自由度为(n1, n2)的分布, 记为:,(1)

16、 F分布的概率密度：,的图形如下：,由定义知, 若 , 则,(2) F分布的分位点,对于给定, 称满足条件 的点 为 分布的上 分位点。,F分布的上分位点见附表5。,由于若 , 则,于是 , 即,于是可得: 所以,所以,二. 正态总体统计量的分布,定理：设X1, X2, , X n是来自正态总体 的一个简单 随机样本, 与 分别为样本均值和样本, 则有,(1),(2) 与 相互独立,(3),证明: (1) 由于X1, X2, , X n是来自总体 的一个简单 样本, 则X1, X2, , X n相互独立, 且与总体服从相同分 布 。,由正态分布的性质知, 也服从正态分布 且,所以,(2) (3

17、)的证明略。,例1. 设X1, X2, , X10是来自正态总体 的简单随机 样本, 记 试确定a, b, c, d , 使Y服从 x2(k) 分布, 并求出k 值。,解: 因为 , 则,又 , 则 ,又 , 则,又 , 则,由x2分布的可加性知:,即:,所以,例2. 设 是来自总体 的样本, 则统计量,证: 由于统计量,又因为 , 相互独立. 所以 与 也相互独立。,于是,即:,例3. 设 , 试确定 服从什么分布。,解: 因为 ,存在有 ,且 相互独立.使,显见,于是 , 即:,例4. 设 是来自 , 是来自 的两个独立样本(即 与 相互独立),设,则统计量,证明: 由定理知 ,且 相互独

18、立.,由正态分布的性质知:,即:,又因为:,所以,由于 与 , 与 相互独立, 所以 与 也相互独立. 于是,即:,例5. 设 是来自 , 是来自 的两个独立样本, 证明:,其中:,证明：由定理知：,则,注: 当 时, 即,例6. 设总体X服从正态分布N (20, 52) , 总体Y服从正态分布 N(10, 22), 从总体中分别抽取容量为n1=10, n2=8的样本。求: (1) 样本均值差大于6的概率； (2) 样本方差比小于23的概率。,解: (1) 由例4知:,于是,查表2得: ,即:,(2) 由例5知: ,即,于是:,查附表5得:,即:,例7. 某市有100000个年满18岁的居民,

19、 他们中10%年收入超 过1万, 20%受过高等教育, 今从中抽取1600人的随机样本, 求： (1) 样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率； (2) 样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。,解: (1) 引入变量,由题知: ,又因为 ,故可近似看成 放回抽样, 相互独立。,则 , ,(2) 同(1) 法: 设 其中,由于n=1600 较大, 故由中心极限定理得: 且 , 即为样本中年收入超过1万的比例。,答：样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918。 样本中19%至21%的人受过高等教育的概率为0.6826。,近似服从 , 且 为样本中受过高等教育的比例。,由

20、题知:,测试题A,一填空题。,1. 若 , 则 的概率密度是 。,2. 设随机变量 ,已知 ,则 。,3. 设随机变量X, Y相互独立, 且均服从正态分布N( 0, 32), 而 X1 , X2 , , X 9和Y1, Y2, , Y9,分别是来自总体X和Y的简单随 机样本, 则 服从 分布。,二选择题。,设总体X服从自由度为k的 分布, X1, X2, , X n是来自 总体X的样本, 则 服从 分布, 且自由度为( ) (A) n + k (B) n k ( C) (n-1)(k+1) (D) k+n-2,2. 设随机变量X服从分布F ( n ,n ), 则( ) (A) (B) (C)

21、(D) 无法判断,4. 设随机变量X1 , X2 ,X3, X4是来自正态分布N( 0, 22)的样本, , 则a= , b= 时, 统计量X服从 分布, 其自由度为 。,三. 计算题。,当 时,可用近似公式 (其中 是标准正态分布的上 分位点) 来计算的值, 试计 算,2. 设 相互独立且都是来自正态分 布 , 求,设X1 ,X2 , , X16是来自总体 的一个样本, , 则 服从 ( ) 分布。 (A) (B) (C) (D),测试题A答案,一. 填空题。,1. 2. 3. 4.,二. 选择题。,1. B 2. C 3 . D,三. 计算题。,2.,1.,测试题B,一. 填空题。,1.

22、已知随机变量 X 服从自由度为 n 的 t 分布, 则随机变量 X2 服从分布 。,2. 假设随机变量 ,则 为 时满足,3. 设 是来自正态总体N (0,1)的样本, 和 分别为样本均值和样本方差, 则统计量 服从 。,设总体 , 而 是来自总体 的简 单随机样本, 则 服从分布 ,参 数为 。,二选择题。,设随机变量X 服从自由度为(n , n)的 F 分布, 若已知 满 足 ,则 ( ) 。 (A) 0.95 (B) 0.05 (C) 0.025 (D) 0.975,2. 设 是取自总体 的样本, 则 是服从( ) 分布。 (A) (B) (C) (D),3. 设 是相互独立, 且均服从

23、 , 则 服从( ) 分布。 (A) (B) (C) (D),三计算题。,若随机变量X 是具有自由度为n1, n2的F 分布, 求证: (1) 是具有自由度为n2 ,n1的F 分布; (2) 证明 。,2. 设总体X 服从正态分布N (60, 22), 是该总体的 一个样本, 试求: (1) (2),测试题B答案,一填空题。,F (1, n ) 2. 1.145 3. t (n -1) 4. F (10 , 5) (10 , 5),二选择题。,1. A 2. A 3. B,三计算题。,证(1) ,即: 于是,(2) 因为 则,即: ,所以,2. 解: (1) ,(2),第六章 小结,本章介绍了

24、数理统计的基本概念和基本结论。,一. 总体和样本,对于X1, X2, , X n为来自总体的简单随机样本有：,(1) X1, X2, , X n相互独立；,(2) X1, X2, , X n均与总体 X 同分布；,(3) X1, X2, , X n为Y1, Y2, , Y n的观察值, 即为样本值。,样本均值 和样本方差 是两 个最重要的统计量, 对任何总体均有:,二统计量,三抽样分布,1. 三个重要分布: 分布, t 分布, F 分布。,2. 常见结论：,对正态总体 , 来自总体,则,(1),(2),(3) 相互独立,(4),第六章 测试题A,一填空题。,1. 设总体 分布, 是来自总体的样

25、 本, 又 为样本均值, 则n 时才能使 。,2. 设 , X,Y相互独立, X1, X2, , X n是X 的样本, Y1,Y2, ,Y n是Y 的样本, 则 。,3. 设总体 , 是来自总体的一个样本, 则 服从的分布是 。,4. 已知: , 则 。,二选择题。,1. 设 , 未知, 已知, 是的样本, 则 下列是统计量的是( ) 。 (A) (B) (C),2. 设随机变量 , 是X的样本, 和 分别是样本均值和样本方差, 则下列正确的是( ) 。 (A) (B) (C) (D),3. 设 样本容量分别为 , 相互独立, 则有( )。 (A) (B) 不相互独立 (C),4. 设 是来自 的一个样本, 则 ( )。 (A) (B