3章相对运动和非惯性系.ppt

1、第三章,相对运动和非惯性系,运动描述具有相对性: 观察小球的运动,匀速运动车上的人观察,地面上的人观察,竖直上抛运动,斜抛运动,运动是相对的，如果我们选择的两个参考系有相对运动，那么我们在这两个参考系中观测同一物体的运动情况是不一样的。在两个作相对运动的参考系中，研究同一物体的运动之间的关系，就是相对运动问题。本章首先讨论相对运动的运动学问题，然后讨论非惯性系中的动力学问题。,3.1 相对运动,3.1.1伽利略变换,取相对于观察者静止的参考系（如地面） 为 静系；相对于 静系匀速平动的参考系（如车厢）为 动系。如图所示 。,位矢,位矢,时刻质点 的位置,3.1,如果在同一个参考系中校准测量用的

2、尺和钟，设 与 重合时为计时起点， 和 表示在两个坐标系中同一个事件发生的时刻。则,系与 系的时空变换关系为,3.2.2 速度和加速度的变换关系,速度：,对 两边求导数得,加速度：,即，绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和。,即，绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。,应用：解决相对运动问题,例题3.1.1 航向与风向 飞机在静止空气中飞行的速率为 , 由南向北飞行。此时风自西南吹来，速率为 ，飞机对地的速率为 ，求风向和飞机头部所指的方向。,（1）选定动系、静系、运动质点； （2）确定绝对速度、牵连速度、相对速度； （3）根据 作出矢量图，可以根据 几何关系求解，也可以列出分量方程

3、求解。,解：取地面为静系、风为动系、飞机为运动质点，如图所示。,由等腰三角形关系得,即，风向北偏东 ，飞机头得指向为北偏西 。,例题 3.1.2 已知运动方程求相对轨迹和速度 自由下落的雨滴其运动方程为 ，同时有人乘车行驶其运动方程为 。求人看到的雨滴的运动轨迹和速度。,由伽利略变换式知,解：取地面为静系、车为动系、雨滴为运动质点，如图所示。,即雨滴相对人的运动学方程为,轨迹方程为,雨滴相对人的速度为,（抛物线）,例题 3.1.3 一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，其加速度为a，他沿车前进的斜上方抛出一球，设抛球时对车的加速度的影响可以忽略，如果使他不必移动他在车中的位置就能接住

4、球，则抛出的方向与竖直方向的夹角应为多大？,球的位移：,解：设抛球时,车速为 球相对于车的速度为 .则接球时,车的位移：,小孩接住球的条件为：,两式相比得：,因此有,3.2 平动参考系,3.2.1 伽利略相对性原理,设 系相对于 系以速度 匀速平动,伽利略变换式,在两个惯性系中,在牛顿力学中，力与参考系无关，质量与运动无关。,惯性系有一个重要性质：一切相对于惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。,牛顿力学规律在伽利略变换下形式不变,3.2,力学的相对性原理：宏观低速物体的力学规律在任何惯性系中形式相同。或者说，在研究力学规律时,一切惯性系都是等价的。,力学相对性原理告诉我们：无法借助力学实验

5、的手段确定惯性系自身的运动状态。,伽利略在1632年出版的关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话中，以萨尔瓦蒂作为代言人，对封闭船舱中出现的力学现象作出了精辟而生动的描述。,如：动量守恒定律,3.2.2 平动参考系中的惯性力,牛顿定律只在惯性系中成立，要在非惯性系中用牛顿定律求解物体的运动问题，只要引进适当的惯性力就可以。,特例： 如图1所示，在静止的火车箱内的光滑台面上，放一小球，当火车加速前进时，因小球水平方向不受力，它应相对于地面静止，故相对于火车加速后退。即,牛顿定律成立。,牛顿定律不成立。,若设想小球受一力,这样，在平动非惯性系中牛顿第二定律也成立 。,如图2所示：当火车加速前进时，小

6、球在弹力的作用下，相对于地面加速前进，而相对于火车静止。即,牛顿第二定律成立。,牛顿第二定律不成立。,若设想小球受一力,同样，牛顿第二定律在平动非惯性系中也成立 。,一般描述：设 动系 相对于静系 以加速度 作平动，物体相对于动系以加速度 运动。根据相对性原理有,则,称为惯性力,可见，引入惯性力后，就可以在非惯性系中应用牛顿定律求解物体的运动问题。,惯性力是虚拟力，和真实力不同，它不是物体与物体间的相互作用力，没有施力物体，因而没有反作用力。,引力场与惯性力场等效。在平动非惯性系中，每个物体都受到惯性力的作用，惯性力分布于非惯性系中的每一个空间，形成惯性力场。它与引力场相似。,如图所示，在静止

7、于地球的升降机中观察物体的运动。小球受到引力为,在远离地球以加速度 而加速上升的升降机观察物体的运动。小球受到的惯性力为,根据实验现象，观察者无法区分引力场和惯性力场。1911年爱因斯坦曾指出，至少在一个有限的区域内，一个引力场的惯性系中和一个加速运动的非惯性系中所发生的物理现象相同。即引力场与惯性力场等效。它是广义相对论的基础。,应用: 在非惯性系系中解决物体的运动问题,理论依据:,方法: 先分析真实力,后分析惯性力，其他做法同前。,例 3.2.1 非惯性系中的摆,汽车以加速度 向前行驶，在车中用线悬挂一个小球。求稳定时悬线与竖直方向的夹角。,解：取汽车为参考系，稳定时小球所受的合力为零，如

8、图所示。,解得,例 3.2.2 滑快与光滑斜面的相对运动,光滑楔子以加速度 沿水平地面滑动,质量为 的滑快沿楔子的光滑斜面滑下。求滑快相对于地面的加速度和对斜面的压力。,解：取楔子为参考系，沿斜面建立直角坐标系，对滑快进行受力分析，如图所示。,滑快的运动方程为,由方程（1）解得,由方程（2）解得,滑快对斜面的压力的大小与 相等。,滑快相对于地面的绝对加速度矢量为,如图所示，由几何关系可得绝对加速度的大小为,绝对加速度与水平方向夹角 为,例题3.2.3 如图所示，升降机内有一倾角为的光滑斜面。当升降机以匀加速度a相对地面上升时，一物体m正沿斜面下滑。求物体m相对于升降机的加速度。,解 以升降机为

9、参考系(非惯性系)，物体m受三个力作用：真实力mg和N,惯性力ma，方向如图。沿斜面方向应用牛顿定律,有 m(g+a)sin=ma 解得： a=(g+a)sin,可见，采用非惯性系，解题步骤非常简捷！,3.3 转动参考系,绕定轴匀速转动的参考系也是非惯性系，在这种非惯性系中表现出两种惯性力：离心惯性力和科里奥利力。,3.3.1离心惯性力,如图所示，设一圆盘绕固定轴在水平面内作匀速转动。沿盘径向开一细槽，槽内放一小球，用细线系于转轴上，小球相对于圆盘静止。,牛顿第二定律成立,相对于静系（地面），小球作匀速圆周运动。,3.3,若计入适当的惯性力：,牛顿第二定律不成立,牛顿定律成立。,注意：当转速发

10、生变化的时候，还应计入切向惯性力.,称为离心惯性力，方向沿径向向外。,相对于动系（圆盘），小球静止。,例 3.3.1 旋转液面的形状,解: 取桶为参考系, 建立直角坐标系, 在液面上取一质元 ，受力分析如图所示。它处于平衡状态时的动力学方程为,由上面三式可得,一桶水以角速度 绕自身的铅直轴旋转,求水面的形状。,3.3.2 科里奥利力,上例中，若小球相对于圆盘沿径向以速度 作匀速运动， 如图1所示。取转盘为非惯性系,，小球处于平衡状态，沿水平方向受力分析如图2 所示。除了离心惯性力外，还应考虑一个惯性力科里奥利力 。即,三矢量 、 和 服从右手螺旋法则。,（科里奥利力）,推导：采用相对运动关系进

11、行讨论,小球的运动可视为横向随盘的转动与径向相对于盘的匀速运动的合成。考察小球相对于地面的绝对速度和绝对加速度。如图所示：,绝对速度,而,所以有,由于这两个加速度都是在惯性系中看到的，在转动非参考系中，与向心加速度对应的是离心惯性力，与科里奥利加速度对应的就是科里奥利力。即,结论：在匀速转动参考系中，若物体相对于参考系静止，只有离心惯性力；若物体相对于参考系作匀速运动，同时存在离心惯性力和科里奥利力。,例 3.3.2 小环沿转动大环的运动,质量为 的小环套在半径为 的光滑的大环上,大环在水平面内以匀角速 绕一固定点转动。试分析小环在大环上运动时的切向加速度和在水平面内所受的约束力。,解：设大环

12、绕固定点 在水平面沿逆时针转动，小环绕大环转动。取大环为参考系，小环共受三个水平力，受力分析如图所示。,约束力：,离心惯性力：,其中,小环的动力学方程为：,由以上两式解得,负号表示大环对小环的约束力沿半径指向环心。,3.4 地球自转的影响,当考虑地球自转时，地球参考系为非惯性系。因此，在地球上观测物理现象时，会看到离心惯性力和科里奥利力的影响。,3.4.1 地球自转对重力的影响,设质量为 的物体悬挂于线的末端且相对于地球静止。受力分析如图所示。,取地球为参考系，则有,物体的重力为,3.4,可见，物体的重力为地球引力和离心惯性力的合力。物体所在的纬度不同，离心惯性力不同，因此重力的大小和方向均随

13、纬度的变化而变化。,由正弦定理,解得,其中,（1）重力的方向 随纬度的变化,则,已知,所以,在纬度 的地方， 。可见，重力偏离引力的角度很小，一般情况下可以忽略不计。,（2）重力的大小随纬度的变化,由余弦定理,其中,可见，重力加速度随纬度的变化而变化。,3.4.2 地球上的科里奥利力效应,根据,在北半球，科里奥利力总是指向物体运动的右方；在南半球，科里奥利力总是指向物体运动的左方。因此北半球可以观察到许多有趣的力学现象：,（1）河流冲刷右岸；（2）落体偏东；（3）在低纬低层形成东北信风；（4）水漏流场逆时针旋汇。,信风（trade wind）指的是在低空从副热带高压带吹向赤道低气压带的风。南、

14、北半球副热带高压近赤道一侧的偏东风。在北半球为东北信风，南半球为东南信风。北半球副热带高压中的空气向南运行时，由于受地球自转偏向力的影响，空气运行偏向于气压梯度力的右方，形成东北风，即东北信风。南半球反之形成东南信风。在对流层上层盛行与信风方向相反的风，即反信风。信风与反信风在赤道和南北纬2035之间构成闭合的垂直环流圈，即哈德莱环流。由于副热带高压在海洋上表现特别明显，终年存在，在大陆上只冬季存在。故在热带洋面上终年盛行稳定的信风，大陆上的信风稳定性较差，且只发生在冬半年。两个半球的信风在赤道附近汇合，形成热带辐合带。信风是一个非常稳定的系统，但也有明显的年际变化。有人认为，东太平洋信风崩溃

15、，可能对赤道海温激烈上升有影响，是厄尔尼诺形成的原因。其增强、减弱是有规律的，厄尔尼诺时信风大为减弱，致使赤道地区的纬向瓦克环流也减弱。反厄尔尼诺时，信风增强，瓦克环流增强并向西扩展。,信风稳定出现，很讲信用，大概这是它被称为“信风”的原因。也就是因为这样，古代商人们就利用了这个不变的规律，借助信风吹送，往来于海上住行贸易，因此信风又被称做贸易风。,3.5 相对论的时间和空间,1905年，爱因斯坦以“相对性原理”和光速不变原理为基础，提出了狭义相对论，1915年又以“等效原理”为基础提出了广义相对论。这两个理论给出了一个崭新的时空观和物质观。这里我们将两个理论中的基本概念仅作简单介绍。,3.5

16、,爱因斯坦: Einstein 现代时空的创始人,二十世纪的哥白尼,伽利略变换遇到困难：,1) 电磁场方程组不服从伽利略变换,2) 光速C 与参考系无关 由迈克耳逊-莫雷的实验证实,3) 高速运动的粒子不服从伽利略变换,3.5.1 狭义相对论的基本原理、洛伦兹变换,19世纪末，爱因斯坦提出了狭义相对论的两条基本原理：,1）一切物理规律在任何惯性系中形式相同 - 相对性原理 2）光在真空中的速度与发射体的运动状态无关 光速不变原理,显然，相对性原理是伽利略相对性原理的推广，光速不变原理看起来与常识矛盾，但是在天文观测中找到了有利的证据。,1、两条基本原理：,2、洛仑兹变换,寻找,重合,一光源发出

17、闪光，经一段时间，光传到 P点。,可见：在洛伦兹变换中时间和空间密切相关，它们不再是相互独立的。,（1）当 很小时，洛仑兹变换变成伽利略变换，牛顿力学是狭义相对论力学的特例 。,（2） 时，变换无意义，速度有极限：不能超过真空中的光速。,3.5.2 狭义相对论的时空观,狭义相对论提出一种完全不同于经典力学的新时空观 。,1、同时性是相对的,设 相对于 以速度 运动，在 系中看到两个事件同时发生在两个不同地点，而在 系中却看到这两个事件发生在不同时刻，由洛仑兹变换可推出 系中看到的两个事件发生时间间隔为,以爱因斯坦火车为例,地面参考系,放置光信号发生器,中点,爱因斯坦火车,研究的问题： 两事件发

18、生的时间间隔,发一光信号,事件1,接收到闪光,事件2,接收到闪光,同时接收到光信号,事件1、事件2 不同时发生,事件1先发生,系中的观察者又如何看呢？,1) 同时性的相对性是光速不变原理的直接结果；,2) 当速度远远小于 c 时，两个惯性系结果相同,迎着光,比 早接收到光,1）固有时间（原时）,一个物理过程用相对于它静止的惯性系上的标准时钟测量到的时间，称为 固有时间（原时）。用 表示。,一个物理过程用相对于它运动的惯性系上的标准时钟测量到的时间，称为 观察时间。用 表示。,2）观察时间,3）原时最短 观察时间膨胀,在 系中看到某一地点发生的事件所经历的时间间隔为 ，则在 系中看到的时间间隔却

19、变为 。,2、运动的时钟变慢,由洛仑兹变换得,对发生事件的地点做相对运动的惯性系S中度量的时间比相对它静止的惯性系 中度量的时间要长。,花开事件：,花谢事件：,处发生两个事件：,系：,（寿命）,在 系中观察者测量花的寿命是：,举例,在S系中观察者总觉得相对于自己运动 的 系的钟较自己的钟走得慢。,双生子效应,古代神话：天上方一日，地上已七年。,结论：对本惯性系做相对运动的钟 （或事物经历的过程）变慢。,在 系中观察者总觉得相对于自己 运动的S系的钟较自己的钟走得慢。,3、运动的尺缩短,研究对运动长度的测量问题：同时测,1）固有长度（原长）,棒相对观察者静止时测得它的长度称为 固有长度用 表示。

20、,2）运动长度（动长）,棒相对观察者匀速运动时测得它的长度称为 运动长度 用 表示。,3）原长最长 运动长度沿运动方向收缩,若在 系中沿 轴方向放一杆， 系观测得到其长度为 ，则在沿杆方向以速度 运动的 系中的观测者测得的长度为 。即,（同时测）,由洛仑兹变换,上式表明，在与物体有相对运动的参考系中，所测得的沿速度方向的物体长度，总是比与物体相对静止的参考系中测得的长度短。至于垂直方向的长度不变。,时刻,4、相对论的质量,在动力学问题上，运用动量守恒定律和相对论速度变换关系可以证明，物体的惯性质量是随速率变化的。,数据：,物体相对于观测者静止时,物体相对于观测者运动时,相对论的质量随速率增大而

21、增大,3.5.3 广义相对性的基本原理,狭义相对论的局限性：只适用于惯性参考系 。而广义相对论则是将狭义相对性原理从惯性系向非惯性系的推广。,爱因斯坦的思考 1)非惯性系与惯性是否等效? 2)时空与物质是否有关?,在引力场内，处在一个自由降落的参考系中，人们无法感觉引力的存在！,1、等效原理,(1) 惯性质量和引力质量相等,对地面附近的物体：,这是爱因斯坦建立广义相对论的基础 !,(2) 惯性力与引力等效,观察小球的运动,惯性力,引力,爱因斯坦理想实验一：,自由空间加速上升的电梯,引力场中静止的电梯,惯性力与引力的力学效应相同 或加速场与引力场等价,观察小球的运动,爱因斯坦理想实验二：,引力场

22、中自由下降的电梯,自由空间中静止或匀速运动的电梯,惯性力可以“抵消”引力 自由下降的参考系等效惯性系,一切参考系都是等价的，物理定律在任何参考系中都具有相同的形式 。,2、广义相对性原理,结论,任何物理实验都不能区分引力和惯性力的效果，也就是说，惯性系和非惯性系不可用物理实验来区分。从这个意义上说，引力场和加速场是等价的。 即在引力场中任一时空小区域，人们总可以建立一个自由下落的局部参考系，称为局部惯性系。在这一局部惯性系中，狭义相对论所确立的物理规律全部有效。,3.5.4 引力场与弯曲时空,1、弯曲空间的概念,平面 是二维平直空间,短程线是弧线,由测量判定空间,短程线是直线,球面 是二维弯曲空间,短程线 两点间的最短路径,三角形内角和,三角形内角和,2、引力场使空间弯曲,牛顿的惯性定律与广义的惯性定律 表述相同 但含义不同,在爱因斯坦舱中观察平抛粒子,（引力的几何作用归结为弯曲空间，非惯性系可视为观性系）,引力场使时空弯曲。引力场越强，钟越慢，尺越缩，时空弯曲愈烈。时空的性质由物质和运动决定。,形象描绘：绷紧的橡皮薄膜上放一重物，引起膜面下陷或弯曲，使放在膜上的其它小球滚向