高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件(理).ppt

1、第十章 计数原理、概率、随机变量 及其分布 第一节分类加法计数原理与分步 乘法计数原理,【知识梳理】 两个计数原理:,m+n,mn,【特别提醒】 1.分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任意一种方法都可以完成这件事. 2.分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.,【小题快练】 链接教材练一练 1.(选修2-3P12习题1.1A组T1改编)一购物中心销售某 种型号的智能手机,其中国产的品牌有20种,进口的品 牌有10种,小明要买一部这种型号的手机,则不同的选 法有() A.20种 B.10种 C.30种 D.200种,【解析】选C.分

2、类完成此事,一类是买国产品牌,有20种选法,另一类是买进口品牌,有10种选法.由分类加法计数原理可知,共有20+10=30(种)选法.,2.(选修2-3P10T1改编)乘积(a+b+c)(d+e+f+h)(i+j+k+l+m) 展开后共有项. 【解析】由(a+b+c)(d+e+f+h)(i+j+k+l+m)展开式各项 都是从每个因式中选一个字母的乘积,由分步乘法计数 原理可得:其展开式共有345=60(项). 答案:60,3.(选修2-3P12习题1.1A组T2改编)如图, 从A城到B城有3条路;从B城到D城有4条路; 从A城到C城有4条路,从C城到D城有5条路, 则某旅客从A城到D城共有条不

3、同的路线. 【解析】不同路线共有34+45=32(条). 答案:32,感悟考题试一试 4.(2016郑州模拟)某项测试要过两关,第一关有3种 测试方案,第二关有5种测试方案,某人参加该项测试, 不同的测试方法种数为() A.3+5 B.35 C.35 D.53,【解析】选B.根据题意,某人参加该项测试,第一关有3种测试方案,即有3种测试方法,第二关有5种测试方案,即有5种测试方法,则有35种不同的测试方法.,5.(2016洛阳模拟)某位同学逛书店,发现有三本 喜欢的书,决定至少买其中一本,则购买的方案有 种.,【解析】至少买其中一本的实质是买一本或买两本或买三本,故分三类完成.第一类:买一本有

4、3种;第二类:买两本有3种;第三类:买三本有1种.共有3+3+1=7(种)买法. 答案:7,6.(2016广州模拟)在三位正整数中,若十位数字小 于个位和百位数字,则称该数为“驼峰数”.比如 “102”,“546”为“驼峰数”,由数字1,2,3,4可构 成无重复数字的“驼峰数”有个.,【解析】十位上的数为1时,有213,214,312,314, 412,413,共6个,十位上的数为2时,有324,423,共 2个,所以共有6+2=8(个). 答案:8,考向一分类加法计数原理的应用 【典例1】(1)(2016衡水模拟)满足a, b-1,0,1,2,且关于x的方程ax2+2x +b=0有实数解的有

5、序数对(a,b)的个数为. (2)(2016太原模拟)在所有的两位数中,个位数字大 于十位数字的两位数的个数为.,【解题导引】(1)分a=0和a0两类情况讨论. (2)按十位数字分八类进行计算. 【规范解答】(1)由于a,b-1,0,1,2, 当a=0时,有 为实根, 则b可取-1,0,1,2,有4种可能.,当a0时,方程有实根, 所以=4-4ab0,所以ab1.(*) 当a=-1时,满足(*)式的b可取-1,0,1,2,有4种可能. 当a=1时,b可取-1,0,1,有3种可能. 当a=2时,b可取-1,0,有2种可能. 所以由分类加法计数原理,有序数对(a,b)共有 4+4+3+2=13(个

6、). 答案:13,(2)根据题意,将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情 况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别是8 个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36(个). 故共有36个. 答案:36,【一题多解】解答本题,还有以下解法: 分析个位数字,可分以下几类: 个位是9,则十位可以是1,2,3,8中的一个, 故共有8个;个位是8,则十位可以是1,2,3,7中的一个, 故共有7个;,同理个位是7的有6个;个位是2的有1个.由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+

7、2+1=36(个).故共有36个.答案:36,【易错警示】解答本例题(1)有三点容易出错(1)将方程ax2+2x+b=0误认为二次方程,没有讨论 当a=0时的情况.(2)容易漏掉a与b相等的情况.(3)不能分清是分步还是分类,造成结论错误.,【母题变式】 1.若本例题(2)条件变为“个位数字不小于十位数字”, 则两位数的个数为.,【解析】分两类:一类:个位数字大于十位数字的两位数;由本例(2)知共有36个;另一类:个位数字与十位数字相同的有11,22,33,44,55,66,77,88,99,共9个.由分类加法计数原理知,共有36+9=45(个). 答案:45,2.若本例题(2)条件变为“个位

8、数字小于十位数字”, 则这样的两位数的个数为.,【解析】根据题意,将个位上的数字按0,1,2,3,4,5, 6,7,8的情况分成9类,在每一类中满足题目条件的两 位数分别是9个,8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个, 由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(个). 答案:45,【规律方法】 1.分类加法计数原理的用法及要求 (1)用法:应用分类加法计数原理进行计数时,需要根据完成事件的特点,将要完成一件事的方法进行“分类”计算.,(2)要求:各类的方法相互独立,每类中的各种方法也相互独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.,

9、2.使用分类加法计数原理遵循的原则 有时分类的划分标准有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则. 提醒:对于分类类型较多,而其对立事件包含的类型较少的可用间接法求解.,【变式训练】小明有4枚完全相同的硬币,每枚硬币都 分正反两面,他想把4枚硬币摆成一摞,且满足相邻两 枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有() A.4种 B.5种 C.6种 D.9种,【解析】选B.记反面为1,正面为2,则正反依次相 对有12121212,21212121两种;有两枚反面相对有 21121212,21211212,21212112三种,共有3+2=5(种) 摆法.,【加固训练】1.从

10、集合1,2,3,10中任意选出三个不同的数, 使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为 ()A.3 B.4 C.6 D.8,【解析】选D.当公比为2时,等比数列可为1,2,4或 2,4,8;当公比为3时,等比数列可为1,3,9;当公比为 时,等比数列可为4,6,9.同理,公比为 时, 也有4个.故共有2+1+1+4=8(个).,2.若x,yN*,且x+y6,则有序自然数对(x,y)共有 个.,【解析】当x=1时,y可取的值为5,4,3,2,1,共5个;当x=2时,y可取的值为4,3,2,1,共4个;当x=3时,y可取的值为3,2,1,共3个;当x=4时,y可取的值为2,1,共2个;当x=5

11、时,y可取的值为1,共1个.即当x=1,2,3,4,5时,y的值依次有5,4,3,2,1个,由分类加法计数原理,得不同的数对(x,y)共有5+4+3+2+1=15(个).答案:15,考向二分步乘法计数原理的应用 【典例2】(1)5名应届毕业生报考三所高校,每人报且 仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是() A.35 B.53 C. D.,(2)(2016哈尔滨模拟)用0,1,9十个数字,可以 组成有重复数字的三位数的个数为() A.243 B.252 C.261 D.279,【解题导引】(1)从第一个学生报名到第五个学生报名可分五步来完成,每一步有3种报名方法. (2)用分步乘法计数原理分别

12、求出能够组成的三位数的个数与能够组成的无重复数字的三位数的个数,从而间接获得所求.,【规范解答】(1)选A.根据分步乘法计数原理知,每个学生都有3个可能报名的学校,故应该是33333=35(种)方法. (2)选B.由分步乘法计数原理得,能够组成的三位数的个数是91010=900,能够组成无重复数字的三位数的个数是998=648,故能够组成有重复数字的三位数的个数是900-648=252.,【易错警示】解答本例(1)有三点容易出错(1)按学校来分步得出53,误选B,因为每人报且仅报一所院校,若按学校分,则会出现一个学生报多所学校的情况.(2)误以为5名学生选3个学校的排列问题,错选C.(3)误以

13、为5名学生选3个学校的组合问题,错选D.,【规律方法】 1.分步乘法计数原理的用法及要求 (1)用法:应用分步乘法计数原理时,需要根据要完成事件的发生过程进行“分步”计算. (2)要求:每个步骤相互依存,其中的任何一步都不能单独完成这件事,只有当各个步骤都完成,才算完成这件事.,2.应用分步乘法计数原理的注意点 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,必须要经过几步才能完成这件事. (2)解决分步问题时要合理设计步骤、顺序,使各步互不干扰,还要注意元素是否可以重复选取.,【变式训练】(2016兰州模拟)如图,电路中共有7个 电阻与一个电灯A,若灯A不亮,分析因电阻断路的可能 性共有种情况

14、.,【解析】每个电阻都有断路与通路两种状态,图中从上 到下的三条支线,分别记为支线a,b,c,支线a,b中至少 有一个电阻断路的情况都有22-1=3种; 支线c中至少有一个电阻断路的情况有23-1=7种, 每条支线至少有一个电阻断路,灯A就不亮, 因此灯A不亮的情况共有337=63(种)情况. 答案:63,【加固训练】1.从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻 的选法共有()A.8种 B.12种 C.16种 D.20种,【解析】选B.完成这件事可先选取2个不相邻的平面,有2个面不相邻即有一组对面,共有3组,然后再取与这两个平面都相交的平面,共有4个.由分步乘法计数原理可知,选法为34

15、=12(种).,2.设集合A=-1,0,1,集合B=0,1,2,3,定义A*B =(x,y)|xAB,yAB,则A*B中元素的个数 是()A.7B.10C.25D.52,【解析】选B.由题意知本题是一个分步乘法计数原 理,因为集合A=-1,0,1,集合B=0,1,2,3,所以 AB=0,1,AB=-1,0,1,2,3,所以x有2种取法, y有5种取法,所以根据分步乘法计数原理得25=10.,考向三两个原理的综合应用 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:组数、组点、组线、组队及抽取问题 【典例3】(2015湖北高考)已知集合A=(x,y)|x2+y2 1,x,yZ,B=(x,y)|x|2,|

16、y|2,x,yZ,定义集合 AB=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B,则AB中 元素的个数为() A.77 B.49 C.45 D.30 (本题源自A版2-3P12A组T5),【解题导引】先化集合A,B为最简形式,分别求出x1+x2与y1+y2的值,然后根据所给信息,利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理确定AB中元素的个数.,【规范解答】选C.由题意知,A=(x,y)|x2+y21, x,yZ=(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),B=(x, y)|x|2,|y|2,x,yZ,所以由新定义集合 AB可知,x1=1,y1=0或x1=0,y1=1.当x1

17、=1, y1=0时,x1+x2=-3,-2,-1,0,1,2,3,y1+y2=-2,-1, 0,1,2,所以此时AB中元素的个数由分步乘法,计数原理得,有:75=35个;当x1=0,y1=1时,x1+x2= -2,-1,0,1,2,y1+y2=-3,-2,-1,0,1,2,3,这种情形下和 第一种情况下除y1+y2的值取-3或3外均相同,此时由分 步乘法计数原理得,有52=10个,由分类加法计数原理 知,AB中元素的个数为35+10=45个.,命题方向2:涂色、种植问题 【典例4】(2016珠海模拟)如图,用6种不 同的颜色把图中A,B,C,D四块区域分开,若 相邻区域不能涂同一种颜色,则不同

18、的涂法 共有() A.400种 B.460种 C.480种 D.496种,【解题导引】可按使用颜色的种数分类来完成此事. 【规范解答】选C.完成此事可能使用4种颜色,也可能 使用3种颜色.当使用4种颜色时:从A开始,有6种方法, B有5种,C有4种,D有3种,完成此事共有6543 =360(种)方法;当使用3种颜色时:A,D使用同一种颜色, 从A,D开始,有6种方法,B有5种,C有4种,完成此事共有 654=120(种)方法.由分类加法计数原理可知:不同 涂法有360+120=480(种).,【技法感悟】 1.组数、组点、组线、组队及抽取问题的解题思路 (1)组数、组点、组线、组队问题:一般按

19、特殊位置由谁占领分类,每类中再分步计数,当分类较多时,也可用间接法求解. (2)有限制条件的抽取问题:一般根据抽取的顺序分步或根据选取的元素特点分类,当数目不大时,可用枚举法,当数目较大时,可用间接法求解.,2.涂色、种植问题的解题关注点和关键 (1)关注点:分清元素的数目,其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素. (2)关键是对每个区域逐一进行,分步处理. 提醒:对于较复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当画出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化,以图助解.,【题组通关】 1.(2016长春模拟)现从甲、乙、丙等6名工人中安排 4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工 人中安排

20、1人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排 1人,则不同的安排方案共有() A.24种B.36种C.48种D.72种,【解析】选B.分两类: (1)第一道工序安排甲时有1143=12(种). (2)第一道工序不安排甲时有1243=24(种). 所以共有12+24=36(种).,2.(2015四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重 复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有() A.144个 B.120个 C.96个 D.72个,【解析】选B.首位为5,末位为0:432=24(个); 首位为5,末位为2:432=24(个); 首位为5,末位为4:432=24(个); 首位为4,末位为0

21、:432=24(个); 首位为4,末位为2:432=24(个). 由分类加法计数原理,得共有24+24+24+24+24=120(个).,3.(2014福建高考)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 的展开式 1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、 “a”表示取出一个红球,而“ab”则表示把红球和蓝 球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表,示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别 的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取 出的所有取法的是(),【解析】选A.因为无区别,所以取红球的方法数 为1+a+a2+a3+a4+a5;因