_20200910_175016彦徽的选修2-1空间向量

1、空间向量1. 理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘 2. 了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算 3. 掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌握空间两点间的距离公式 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直 一、空间向量及其运算空间向量是平面向量的推广在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广 本节知识点是： 1空间

2、向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积； (1)(2)(3)(4)(5)向量：具有 和 的量 向量相等：方向 且长度 向量加法法则： 向量减法法则： 2线性运算律(1)(2)(3)加法交换律：ab 加 法 结 合 律 ： (a b) c 3共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 基础过关知识网络高考导航求距离 求空间角 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算数量积 坐标表示：夹角和距离公式证明平行与垂直 考纲导读(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量 a、b(b 0)，ab 等价于存在实数l ， 使 (3) 直线的向量参数方程：设直线 l 过定点 A 且

3、平行于非零向量 a，则对于空间中任意一点 O，点 P 在 l 上等价于存在t R ，使 4共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量 (2) 共面向量定理：两个向量 a、b 不共线，则向量 P 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对( x, y )，使 P 共面向量定理的推论： 5空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量 (2) 空间向量基本定理：如果 a，b，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x, y, z ，使 空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点 P， 都存在唯一的有序实数组 x, y,

4、 z ，使 6空间向量的数量积 (1)(2)(3)空间向量的夹角： 空间向量的长度或模： 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量 a、b，则 ab 空间向量的数量积的常用结论： (a) cosa、b ； (b) a2 ； (c) a b (4)(a)(b)空间向量的数量积的运算律： 交换律 ab ； 分配律 a( bc) 例 1已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 F 是侧面CDD1C1 的中心，若AF = AD + xAB + y AA1 ，求 xy 的值.解：易求得 x = y = 1 , x - y = 02变式训练 1. 在平行六面体 ABCD- A1B1C1D1 中，M 为

5、 AC 与 BD 的交点，若 A1B1 = a， A1D1 =b， A1 A = c，则下列向量中与 B1M 相等的向量是 ()A- 1 a 1 bc22C 1 a- 1 bc22解：AB 1 a 1 bc22D- 1 a- 1 bc22A1C1B1D例 2.底面为正三角形的斜棱柱 ABCA1B1C1 中，D 为 AC 的中点，CAB典型例题求证：AB1平面 C1BD.证明：记 AB = a, AC = b, AA1 = c, 则 AB1 = a + c, DB = AB - AD = a - 1 b, DC1 = DC + CC1 = 1 b + c 22DB + DC1 = a + c =

6、 AB1 , AB1, DB, DC1 共面.B1 平面 C1BD, AB1/平面 C1BD.变式训练 2：正方体 ABCDEFGH 中，M、N 分别是对角线 AC 和 BE 上的点，且 AM EN (1)(2)(3)求证：MN平面 FC； 求证：MNAB； 当 MA 为何值时，MN 取最小值，最小值是多少？ 解：(1) 设 NB = MC = k,则MN = (k -1)BC + k BF.EBAC(2) MN AB = (k -1)BC AB - k BF AB = 0.(3) 设正方体的边长为 a,MN = (2k2 - 2k +1)a2,即当k = 1 ,22 a也即 AM = 1 A

7、C时 ， MN=22min例 3. 已知四面体 ABCD 中，ABCD，ACBD， G、H 分别是ABC 和ACD 的重心 求证：(1) ADBC； (2) GHBD 证明：(1) ADBC AD BC = 0 因为 AB CD AB CD = 0 ， AC BD AC BD = 0 ，而AD BC = (AB + BD) (BD + DC) = 0 所以 ADBC (2) 设E、F 各为 BC 和 CD 的中点欲证GHBD，只需证 GHEF， GH = GA+ AH 23( EA+ AF ) 2 EF 3变式训练 3：已知平行六面体 ABCD- A1B1C1D1，E、F、G、H 分别为棱 A

8、1D1, D1C1,C1C和AB的中点求证：E、F、G、H 四点共面 解： HG = HC + CG HC + GC1 HC + GF + FC1 A1F + FC1 + GF 2EF + GF ，所以 EF, EG, EH 共面，即点 E、F、G、H 共面例 4. 如图，平行六面体 AC1 中，AE3EA1，AFFD，AG 1 GB ，过 E、F、G 的平面 2与对角线 AC1 交于点 P，求 AP:PC1 的值 C1B1D1A1C EBPGDFA解：设 AP = mAC1Q AC1 = AB +BB1 +B1C1 = AB + AA1 + AD= 3AG + 4 AE + 2AF 3 AP

9、 = 3mAG + 4 mAE + 2mAF3又E、F、G、P 四点共面， 3m + 4 + 2m = 1m3319APPC1316 m =变式训练 4：已知空间四边形OABC 中，M 为 BC 的中点，N 为 AC 的中点，P 为 OA 的中点，Q 为 OB 的中点，若 ABOC，求证 PM QN 证明：法一： OM = 1 (OB + OC)2ON = 1 (OA + OC)2PM = PO + OM = 1 (AB + OC)2QN = QO + ON = 1 (OC - AB)2 PM QN = 1 ( OC 2 - AB 2 ) = 04故 PM QN法二： PM QN ( PQ Q

10、M )( QM MN ) 1 ( AB + OC) 1 (OC + BA)22 1 (OC2 - AB ) 0241立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明对于垂直，一般是利用 ab ab0 进行证明对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明 2运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果 小结归纳3利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便其一般方法是将所求a b的角转化为求两个向量的夹角，

11、而求两个向量的夹角则可以利用公式 cos 4异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线 l1、l2，AB 为其公垂线段，C、D 分别为 l1、l2 上的任意一点， n 为与 AB 共线的向量，则 AB | CD n | .| n |5设平面 的一个法向量为n ，点 P 是平面 外一点，且 Po，则点 P 到平面 的距离 是 d | Po P n | .| n |二、空间向量的坐标运算设 a (a1 , a2 , a3 ) ，b (b1 , b2 , b3 )(1) ab (2) l a (3) ab (5)设 A = (x1, y1, z1), B = (x2 , y2 , z2 )= 则 AB

12、 ，ABAB 的中点 M 的坐标为 例 1. 若a (1,5,1)， b (2,3,5)（1）若(k a + b )( a 3 b )，求实数 k 的值；（2）若(k a + b )( a 3 b )，求实数 k 的值；（3）若 ka + b 取得最小值，求实数 k 的值解：(1) k = - 1 ；3(2) k = 106 ；827(3) k = -3已知O 为原点，向量OA = (3, 0,1),OB = (-1,1, 2),OC OA, BC OA ，求变式训练 1.AC 解：设OC = (x, y, z), BC = (x +1, y -1, z - 2)，典型例题基础过关ab OC

13、OA, BC OA ， OC OA = 0 ， BC = lOA(l R) ，3x + z = 0,x +1 = 3l,3x + z = 0,，即 ()()x +1, y -1, z - 2 = l 3, 0,1y -1 = 0,z - 2 = l.7211解此方程组，得 x = -, y =1, z =, l =。1010107213711OC = -,1,， AC = OC - OA = -,1,。 1010 1010 例 2. 如图，直三棱柱 ABC- A1B1C1 ，底面DABC 中，CACB1， BCA = 90o ，棱 AA1 = 2 ，M、N 分别 A1B1、A1A 是的中点 (

14、1)求 BM 的长；(2)求cosBA1 , CB1 的值；求证： A1B C1 N (3)zC1B1NA1CMyBAx解：以 C为原点建立空间直角坐标系O- xyz .(1) 依题意得 B（0，1，0），M（1，0，1） BM = (1- 0)2 + (0 -1)2 + (1- 0)2 = 3 .依题意得 A1（1，0，2），B1（0，1，2）.(2)B（0，1，0），C（0，0，0）， BA1 = (1,-1,2), CB1 = (0,1,2), BA1 CB1= 3, BA1 = 6, CB1 = 5cos = BA1 CB1 = 30 .10BA1 CB11 11 1证明：依题意得 C

15、1（0，0，2），(3)N ( , ,2), AB = (-1,1,-2),C N = ( , ,0) .112 22 2 A1BC1N = - 1 + 1 + 0 = 0, A1B C1N2 2变式训练 2. 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA底面 ABCD，AB 3 ，BC1，PA2，E 为 PD 的中点 (1) 在侧面 PAB 内找一点 N，使 NE面 PAC，并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离；(2) 求(1) 中的点N 到平面 PAC 的距离 P EDCAB解：(1) 建立空间直角坐标系 ABDP，则 A、B、C、D、P、E 的坐标分别是 A(0,

16、0, 0)、 B( 3 , 0, 0)、C( 3 , 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, 1 , 1)，依题设 N(x, 0, z)，则 NE ( 2x, 1 , 1z)，由于 NE平面 PAC，2NE AP = 0NE AC = 01 (-x, ,1 - z) (0, 0, 2) = 0z -1 = 0 2即-3x +1= 021(-x, ,1 - z) ( 3,1, 0) = 02 3 x = 3，即点 N 的坐标为(, 0, 1)，66z = 13 .从而 N 到 AB、AP 的距离分别为 1，6(2) 设N 到平面 PAC 的距离为 d，则 d | NA

17、NE | NE |33 1| ( , 0, 1) (- , , 0) | 662=| (-, , 0) | 6 2 1 123 .123 =3 1例 3. 如图，在底面是棱形的四棱锥 P - ABCD中， ABC = 60o , PA = AC = a, PB = PD =2a ，点PE 在 PD 上，且 PE : ED 2:1证明 PA 平面 ABCD；求以 AC 为棱， EAC 与 DAC 为面的二面角q 的大小； 在棱 PC 上是否存在一点 F，使 BF 平面 AEC ？证明你的结论(1)(2)(3)EAD解：（1）证明略； （2）易解得q = 30o ； BC（3）解 以 A 为坐标原

18、点，直线 AD, AP 分别为 y 轴、z 轴，过 A 点垂直于平面 PAD 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系（如图）由题设条件，相关各点的坐标为 31A(0,0,0), B(a,- a,0),C(a, a,0)312222D(0, a,0), P(0,0, a), E(02, a,1a)333121 ， AC = ( a, a,0) ， 所以 AE =(0, a, a)3322AP = (0,0, a), PC = ( 3 a, 1 a,-a)22BP = (- 3 a, 1 a, a) ，设点 F 是棱 PC 上的点， PF = l PC = ( 3 la, 1 la,-la) ，其中

19、0 l 1 ，则 222233a(1- l) =al122 1 BF = BP + PF = ( a(l -1), a(1 + l),a(1 - l) 令 BF = l AC + l AE 得a(1+ l) = al + 2 al1311212 222231- l) = al2a(13解得l = 1 ,l1 = - 1 ,l2 = 3 ，即l = 1 时， BF = - 1 AC + 3 AE 亦即，F 是 PC 的中点时， 222222BF, AC, AE 共面，又 BF 平面 AEC ，所以当 F 是 PC 的中点时， BF 平面 AEC 例 4. 如图，多面体是由底面为 ABCD 的长方

20、体被截面 AEFG 所截而得，其中 AB4，BCF1，BE3，CF4.Z(1)(2)(3)求 EF 和点 G 的坐标； 求GE 与平面 ABCD 所成的角；求点 C 到截面 AEFG 的距离 GE DyC解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)， AE(1，4，3)，F(0，4，4) EF = (-1, 0, 1)Bx又 AG = EF ，设 G(0，0，z)，则(1，0，z)(1，0，1)z1G(0，0，1)(2)平面 ABCD 的法向量 DG = (0, 0, 1).GE = (1, 4, 2) ，设 GE 与平面 ABCD 成角为q ，则 cos(p-q ) = DG G

21、E = 2 21221| DG | | GE | q = arcsin 22121(3)设n0 面 AEFG， n0 (x0，y0，z0) n0 AG ， n0 AE ， 而 AG (1，0，1)， AE (0，4，3)x0 =z 0-x +z = 0 300= - 3 z n = (z , - z , z ) 00004 y +3z = 0y 040004取 z04，则n0 (4，3，4) CF = (0, 0, 4), d = | CF n0 | = 16 4141| n0 |即点 C 到截面 AEFG 的距离为1641 41变式训练 4. 如图四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平

22、行四边形，PG平面 ABCD，垂足为 G，G 在 AD 上，且 PG4， AG = 1 GD ，BGGC，GBGC2，E 是 BC 的中点 3(1) 求异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值； (2) 求点 D 到平面 PBG 的距离； (3)若 F 点是棱 PC 上一点，且 DFGC，求 PF 的FCP值解：(1)以 G 点为原点， GB 、GC 、GP 为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则 B(2，0，0)，C(0，2，0)，FGADP(0，0，4)， 故 E(1，1，0)， GE (1，1，0)， PC (0，2，4)。BCEGE PC210cos =，2 20| GE

23、 | | PC |1010GE 与 PC 所成的余弦值为10(2)平面 PBG 的单位法向量 n(0，1 ，0) GD = 3 AD = 3 BC = (- 33 ， ， 0) ，4422点 D 到平面 PBG 的距离为| GD n | 3 .2(3)设 F(0，y，z)，则 DF = (0，y，z) - (- 3 ， ，30) = ( 3 ，y- 3 ，z)。2222 DF F GC = 0 ， 即( 3 ，y - 3 ，z) (0，2，0) = 2y - 3 = 0 ， 2 y =2323又 PF = lPC ，即(0， ，,z4)(0，2，4)， z=1，23 52故 F(0， 3 ，1

24、)， PF231PF= (0， ，- 3)，FC = (0， ，- 1) ，= 3 。22PC52对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问 题；(4) 距离问题；(5) 探索性问题 小结归纳运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决在寻求向量间的数量关系时，一个 基本的思路是列方程，解方程 空间向量章节测试题1在正

25、三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 AB=2，A A1=1，则点 A 到平面 A1BC 的距离为（ ）34323 3D 3ABC 42在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 AB=2BB1,则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为A.60B. 90C.105D. 753正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 AA1 与 CC1 的中点，则直线 ED 与 D1F 所成角的大小是（）11132AB。 C。 D。5324 设 E，F 是正方体 AC1 的棱 AB 和 D1C1 的中点，在正方体的 12 条面对角线中，与截面 A1ECF 成 60角的对角线的数目是（）A0B2C4D6

26、5棱长都为 2 的直平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，BAD=60，则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成角的正弦值为（ ）122338B 4ACD26 在棱长为 2 的正方体 ABCD- A1B1C1D1中，O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是 CC1 、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于 ） （105255155B ACD37 棱长为 a 的正四面体中，高为H，斜高为 h，相对棱间的距离为 d，则 a、H、h、d 的 ）大小关系正确的是AaHhd（ DahHdBadhHCahdH8将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使平面 ABD

27、平面 CBD，E 是 CD 中点，则 AED 的大小为A. 45（）B. 30C. 60D. 909三棱锥 ABCD 的高 AH = 3 3a ，H 是底面BCD 的重心若 AB=AC，二面角 ABCD 为 60，G 是ABC 的重心，则HG 的长为（）A 5aB 6aC 7a10aD10PA，PB，PC 是从 P 引出的三条射线，每两条的夹角都是 60，则直线 PC 与平面 PAB所成的角的余弦值为（）1323363A B。C。D。211已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等，D 是 A1C1 的中点，则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为 。 12。如图，正方体的棱

28、长为 1，C、D 分别是两条棱的中点， A、B、M 是顶点，那么点 M 到截面 ABCD 的距离是 .MB13. 正四棱锥 P-ABCD 的所有棱长都相等，E 为 PC 中点，则直线 AC 与截面 BDE 所成的角为 14. 已知边长为4 2 的正三角形 ABC 中，E、F 分别为 BC 和 AC 的中点，PA面 ABC， 且 PA=2，设平面a 过 PF 且与 AE 平行，则 AE 与平面a 间的距离为 AA1= 2E、F 分别15如右下图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB= 4， AD =3， 是线段 AB、BC 上的点，且 EB= FB=1 （1）求二面角 C-DE-

29、C1 的正切值； （2）求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值D1C1A1CFAEB16如图，三棱锥 PABC 中， PC 平面 ABC，PC=AC=2，AB=BC，D 是 PB 上一点，且 CD 平面 PAB (I) 求证：AB 平面 PCB； (II) 求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小；(III) 求二面角 C-PA-B 的大小的余弦值 PDBCA17如图所示，已知在矩形 ABCD 中，AB=1，BC=a（a0）， PA平面 AC，且 PA=1P（1） 试建立适当的坐标系，并写出点 P、B、D 的坐标； （2） 问当实数 a 在什么范围时，BC 边上能存在点 Q， 使得 PQQD

30、？ （3） 当 BC 边上有且仅有一个点 Q 使得 PQQD 时， 求二面角 Q-PD-A 的大小 ADB QCDB1DCA空间向量章节测试题答案1. B。2. B。34A。 C。提示：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系， 1并设正方体的棱长为 1，则 A1(1，0，0)，E(1， ，20)，C(0，1，0)设平面 A1ECF 的法 11向量为 n=(x，y，z)，则由 A1E n =0 及 EC n =0，可得 x=z=y，于是可取 n=(1， ，1) 22AB1= DC1 = (0,1,1) ， D1B1= DB = (1,1,0) ，

31、而且可计算得到这四个向量与向量 n 所成的角 为 30，于是这四个向量与平面 A1ECF 所成的角为 60而其它的面对角线所在的向量均不满足条件 5 D。 6.7.C。 C。8A。 9.10.11.D。D4 。 5212 3 。13设 AC 与 BD 相交于点 O，则OE 与OC 所成的角即EOC 为所求易得大小为 45 14 2 3315（1）如图，以 A 为原点， AB, AD, AA1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系 A-xyz，则有 D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2) 于是， DE = (3, -3,0)

32、, EC1 = (1,3, 2) ， FD1 = (-4, 2, 2) 设向量n = (x, y, z) 与平面 C1DE 垂直，则有 n DE 3x - 3y = 0 x = y = - 1 z n EC x + 3y + 2z = 021 n = (- z , - z , z) = z (-1, -1, 2), 其中 z0 222取 n0=(-1，-1，2)，则 n0 是一个与平面 C1DE 垂直的向量向量 AA1 =（0，0，2）与平面 CDE 垂直， n0 与 AA1 所成的角 为二面角 C-DE-C1 的平面角 -1 0 -1 0 + 2 2n0 AA16 ，3 cosq =| n0

33、 | | AA1 |1+1+ 4 0 + 0 + 42 tan q=2（2）设 EC1 与 FD1 所成角为b，则1 (-4) + 3 2 + 2 2EC1 FD121 14cosb =| EC1 | | FD1 |12 + 32 + 22 (-4)2 + 22 + 2216 (1) PC平面 ABC, AB 平面 ABC， PC AB.CD 平面 PAB， AB 平面 PAB， CD AB又 PCI CD = C，AB 平面 PCB二面角 C-PA-B 的大小的余弦值为 3 3(2 由(I) AB 平面 PCB，PC=AC=2， 又AB=BC，可求得 BC= 2 以 B 为原点， 如图建立坐

34、标系则（, 2,），（0,0,0）， C（ 2,0），P（ 2,2） AP =( 2, 2,2)， BC=( 2,0,0) 则AP BC= 2zPDAP BCAP BC212cos =B2 22pCA异面直线 AP 与 BC 所成的角为 3（3）设平面 PAB 的法向量为 m= (x，y，z) AB =(0,yx 2,0), AP =(2, 2,2)， AB m = 0,- y = 0,2 y =0,令 z= -1, 得 m= ( 2 ，0，-1) 2z则即解得x = -AP m = 0.2x - 2 y + 2z = 0.设平面 PAC 的法向量为 n=(x, y, z). PC (0,0,

35、2), AC =( 2, 2,0)，PC n = 0,-2z = 0,z = 0,则令 x=1,得 n= (1，1，0)解得即x = yAC n = 0.2x -2 y = 0.333.cos = m n2=二面角 C-PA-B 的大小的余弦值为 3 2mn3z17（1）以 A 为坐标原点，AB、AD、AP 分别为 x、y、z 轴建立坐标系如图所示 PA=AB=1，BC=a， P（0，0，1），B（1，1，0）， D（0，a，0） （2）设点 Q（1，x，0），则 DQ = (1, x - a,0),QP = (-1, -x,1) PNyAMDBQ第 10 题答图C由 DQ QP = 0 ，得

36、 x2-ax+1=0x显然当该方程有实数解时，BC 边上才存在点 Q，使得 PQQD，故=a2-40 因 a0，故 a 的取值范围为 a0 （3）易见，当 a=2 时，BC 上仅有一点满足题意，此时 x=1，即 Q 为 BC 的中点 取 AD 的中点 M，过 M 作 MNPD，垂足为 N，连结 QM、QN则 M（0，1，0）， （0，0，1），D（0，2，0） P MN = MD + lMP = (0,1,0) + l(0, -1,1) = (0,1- l,l) 1+ l1+ l1+ l又 PD = (0, 2, -1)，且 MN PD = 0 ，故 (0,1- l,l) (0, 2, -1)

37、 = 2 - 3l = 0 l = 2 1+ l1+ l3(0,1 - 2 , )21 25 53 3于是 MN = (0, , ) 1 + 23故 NQ = NM + MQ = -MN + AB = (1,- 1 , - 2) 55 PD NQ = 0 + 2 (- 1) + (-1) (- 2) = 0 ， 55 PD NQ MNQ 为所求二面角的平面角NM NQ6 ，6 cosMNQ =| NM | | NQ |6 6所求二面角为arccos历届高考中的“空间向量与立体几何”试题选讲理)如图，已知点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1 的对角线 BD1 上， 1.(2008 海南、P

38、DA=60。 （1）求 DP 与 CC1 所成角的大小；（2）求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小。 2.（2008 安徽文）如图，在四棱锥O - ABCD 中，底面 ABCD 四边长为 1 的ABC = p , OA 底面ABCD , OA = 2 , M 为OA 的中点。 4（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ；（）求点 B 到平面 OCD 的距离。 菱形，OA DBC3.（2005 湖南文、理）如图 1，已知 ABCD 是上、下底边长分别为 2和 6，高为 3 的等腰梯形，将它沿对称轴OO1 折成直二面角，如图 2。（）证明：ACBO1； （）求二面角 OACO1 的大

39、小。O1CO1DCDOBAOBA4.（2007 安徽文、理)如图,在六面体 ABCD - A1 B1C1 D1 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,四边形 A1 B1C1 D1 是边长为 1 的正方形, DD1 平面 A1B1C1 D1 , DD1 平面 ABCD， DD1=2。 ()求证: A1C1 与 AC 共面， B1 D1 与 BD 共面. ()求证:平面 A1ACC1 平面B1 BDD1;()求二面角 A - BB1 - C 的大小.5.(2007 海南、理)如图，在三棱锥S - ABC 中，侧面SAB 与侧面 SAC 均为等边三角（）证明： SO 平形， BAC = 90

40、， O 为 BC 中点面 ABC ； （）求二面角 A - SC - B 的余弦值M6.(2007 四川理）如图， PCBM 是直角梯形， PCB 90， PM BC ， PM 1， BC 2，又 AC 1， ACB 120， AB PC ，直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60.（）求二面角M - AC - B 的大小;（）求证：平面 PAC 平面 ABC ;（）求三棱锥 P - MAC 的体积.7.(2006 全国卷文、理)如图， l1 、l2 是互相垂直的异面直 l2线,MN 是它们的公垂线段.点 A、B 在l1 上，C 在l2 上，AM = MB = MN 。 （）证明 ACNB；

41、 C()若ACB = 60O ，求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值。Hl1ANMB8.（2006 福建文、理）如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点， ACA = CB = CD = BD = 2, AB = AD =2.（I）求证： AO 平面 BCD； （II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；（III）求点 E 到平面 ACD 的距离。 DOCBE历届高考中的“空间向量与立体几何”试题选讲答案1解：如图，以 D 为原点， DA 为单位长建立空间直角坐标系 D - xyz 则 DA = (1，0，0) ， CC = (0，0，1) 连结 BD ， BD

42、 在平面 BBDD 中，延长 DP 交 BD 于 H 设 DH = (m，m，1)(m 0) ， 由已知= 60 ，由 DA DH =DH cos DAz222可得2m =2m +1 解得 m =，所以 DH = 2， ，1 222222 0 + 0 +1122（）因为cos = ，21 2Cy所以= 45 即 DP 与CC 所成的角为45AB（）平面 AADD 的一个法向量是 DC = (0，1，0) x2 0 +2 1+1 0因为cos = 22 = 1 ，1 22所以= 60 可得 DP 与平面 AADD 所成的角为30 2解：作 AP CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所

43、在直线为 x, y, z 轴建立坐标系A(0, 0, 0), B(1,0, 0), P(0,2 , 0),D(-2(1)设 AB 与 MD 所成的角为q ,2 , 0), O(0, 0, 2), M (0, 0,1) ,22 ,2zO AB = (1,0,0), MD = (- 2 , 2 , -1)22p3D1Ac o sq =, q =,P2xyCBp AB 与 MD 所成角的大小为3(2) OP = (0,2 , -2), OD = (-22 ,2 ,-2)22设平面 OCD 的法向量为n = (x, y, z) ,则 n OP = 0, n OD = 0 2y - 2z = 02取 z

44、 =2 ,解得n = (0, 4, 2)即-2 x +y - 2z =0222设点 B 到平面OCD 的距离为d ,则 d 为OB 在向量 n = (0, 4, 2) 上的投影的绝对值,AB MDABMDM HDP23=OB = ( 1 , 0-,d =,.23所以点 B 到平面 OCD 的距离为由题设知OAOO1，OBOO1.3解:（I）证明所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，故可以 O 为原点，OA、OB、OO1即 OAOB.所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 如图 3，则相关各点的坐标是 A（3，0，0）， 3 ）,O1（0，0，3 ）.B（0，3，0），C（

45、0，1，从而 AC = (-3,1, 3), BO1 = (0,-3, 3) ，AC BO1 =-3 +3 3 = 0.所以 ACBO1.（II）解：因为 BO1 OC = -3 + 3 3 = 0, 所以 BO1OC，由（I）ACBO1，所以 BO1平面 OAC， BO1 是平面 OAC 的一个法向量.设 n = (x, y, z) 是 0 平面O1AC 的一个法向量，由n AC = 0 - 3x + y + 3z = 0,得n = (1,0, 3) .取 z = 3,y = 0.n O1C = 0设二面角OACO1 的大小为q ，由n 、 BO1 的方向可知q =， n BO1 =3 .所以 cosq = cos =4| n | | BO1 |4.解