一元函数积分学.ppt

1、第三章 一元函数积分学,31 不定积分的概念、性质及基本积分公式,31 不定积分的概念、性质及基本积分公式,一、不定积分的概念 1原函数的概念 2不定积分的概念 二、基本积分公式 三、不定积分的性质 四、直接积分法,定义 1设函数 y = f (x) 在某区间上有定义，,如果存在函数 F (x)，,对于该区间上任一点 x，,使,F (x)= f (x) 或 dF(x) = f (x)dx ，,则称函数 F (x) 是已知函数 f (x) 在该区间上的一个原函数.,一、原函数与不定积分,( x3 + C ) = 3x2 (C 为任意常数)，,所以 x3 + 1，,x3 + C 都是 3x2 在区

2、间 ( , ) 内的原函数.,例如，因为在区间 ( , ) 内有(x3) = 3x2，,所以 x3 是 3x2 在区间 ( , ) 内一个原函数，,又因为(x3+1)= 3x2，,一般地，,若 F(x) 是 f (x) 在某区间上的一个原函数，,则函数族 F(x) + C (C 为任意常数)都是 f (x) 在该区间上的原函数.,移项得, (x) = F(x) + C .,因为 (x) 是 f (x) 的任一个原函数，,因为 (x) - F(x) = (x) F (x) = f (x) - f (x) = 0，,由微分中值定理的推论得, (x) -F(x) = C (C为常数)，,设 F(x)

3、 是 f (x) 在区间 I 上的一个确定的原函数， (x) 是 f (x) 在区间 I 上的任一个原函数，,F (x) = f (x)，, (x) = f (x).,所以 F (x) + C 是 f (x) 在区间 I 上的全体原函数的一般表达式.,即,其中符号 称为积分号，,f (x) dx 称为被积表达式，或称被积分式，,x 称为积分变量，,定义 2若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数，,即,则 F(x) + C (C为任意常数)称为 f (x) 在该区间上的不定积分，,记为,f(x) 称为被积函数，,C 称为积分常数.,例 1求下列不定积分,解根据不定积分的定义，只

4、要求出被积函数一个原函数之后，再加上一个积分常数 C 即可.,(1)被积函数 f ( x ) = 2x，,因为 ( x2 ) = 2x，,即 x2 是 2x 的一个原函数 ，,所以，不定积分,(2)被积函数 f (x) = sin x，,因为 (- cos x) = sinx，,即 - cos x 是 sin x 的一个原函数，,所以，不定积分,所以得,所以得,当 x 0 时，,所以,当 x 0 时，,所以,合并以上两种情况，当 x 0 时，得,例 2求不定积分,解,(2),或,二、不定积分的基本性质,(1),基本积分表,例 3求不定积分,解先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基本积分公式，,

5、(1),(2),得,例 4求不定积分,解,性质 1两个函数和的不定积分等于各个函数不定积分的和，,三、不定积分的性质,即,性质 1 可推广到有限多个函数代数和的情况，,即,性质 1 称为分项积分.,证根据不定积分定义，只须验证上式右端的导数等于左端的被积函数.,性质 2被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外，,(k 为不等于零的常数),证类似性质 1 的证法，,有,即,例 5求不定积分,即各积分常数可以合并.,其中 C = C1- 2C2 + 2C3，,因此，求代数和的不定积分时，,解,只需在最后写出一个积分常数 C 即可.,例 6求,解,例 7求,解,四、不定积分的几何意义,若 y =

6、 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，,则称 y = F (x) 的图形是 f (x) 的积分曲线.,因为不定积分,是 f (x) 的原函数的一般表达式，,所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族.,积分曲线族 y = F (x) + C 的特点是：,当 C 0 时，向上移动；,(1)积分曲线族中任意一条曲线，,可由其中某一条(例如，曲线 y = F(x) ),沿 y 轴平行移动|C|单位而得到.,当 C 0 时，向下移动；,(2)由于 F (x) + C,= F (x) = f (x)，,即横坐标相同点 x 处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，,都等于 f (x)，,从而使

7、相应点的切线相互平行(如图),例 8已知曲线上任一点的切线斜率等于该点处横坐标平方的 3 倍，且过点 (0,1)，求此曲线方程.,按题意，得,得,由条件 y|x = 0 = 1 得 C = 1，,y = x3 + 1.,解设所求曲线为 y = f (x).,于是所求曲线为,例 9设一质点以速度 v = 2cos t 作直线运动，开始时，质点的位移为 s0，求质点的运动规律.,解质点的运动规律是指位移 s 是时间 t 的函数 s = s(t)，,按题意有,得,由条件 s|t=0 = s0，,代入上式中，得 C = s0，,s = 2sin t + s0 .,于是质点运动规律为,第二节 不定积分的

8、计算,一、换元积分法 1、第一类换元积分法（凑微分法） 2、第二类换元积分法 二、分部积分法 三、积分表的使用,引例,(因为 d(3x) = 3dx).,一、第一换元法(或称凑微分法）,令 u = 3x，,则上式变为,那么，,也就是说上述结果正确.,一般地，能否把公式,定理 1 回答这个问题.,定理 1(第一换元法),且 u = j (x) 为可微函数，,证已知 F (x) = f (x)，,u = j (x)，,则,所以,则,用上式求不定积分的方法称为第一换元法或称凑微分法,定理 1 常写成：, 式就是把已知的积分,中的 x,所以说把基本积分表中的积分变量,换成可微函数 j (x) 后仍成立

9、 .,其中 u = j (x) 可微.,换成了可微函数 j (x) .,例 1求,解对照基本积分表，,如果把 dx 写成了 d(3x + 2)，,那么就可用定理 1 及,为此将 dx 写成,代入式中，,那么,令 3x + 2 = u 则,a, b 均为常数，且 a 0.,例 2求,解上式与基本积分表中,相似，,为此将 dx 写成,那么,令 4x + 5 = u，,例 3求,解上式与基本积分表中,为此将 dx = d(x + 1) 代入式中，,那么,解上式与基本积分表,解,等等.,例 6求,解将被积分式中的 xdx 因子凑微分，,则,经求导验算，,结果正确 .,即,即,例 7求,解,凑微分，即,

10、则,例 8求,解,解,例 10求,例 11求,解,3.利用三角函数的恒等式.,例 12 求,解,例 13求,解,例 14求,解,例 15求,解,例 16求,解,4.利用代数恒等式,例 17求,(a 0 常数).,解,例 18求,解,例 19求,解,例 20求,解,例 21求,解,二、第二换元法,定理 2(第二换元法),设函数 f (x) 连续，,函数 x = j (t) 单调可微，,且 j (t) 0，,则,1.简单根式代换,例 22求,解为了去掉被积函数中的根号，,则 dx = 2tdt ，,于是有,回代变量，,得,例 23求,解被积函数含根式,为了去掉根号，,于是有,则 dx = 4t3

11、dt，,回代变量，,得,例 24求,解为了去掉被积函数中的根号，,于是有,2.三角代换,例 25求,于是有,则 dx = acost dt，,把变量 t 换为 x . 为简便起见，,画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图.,于是有,x,a,t,例 26求,解,则 dx = asec2 tdt ，,于是有,作辅助三角形，,得,a,x,t,其中 C = C1 - lna .,例 27求,解令 x = a sec t，,则 dx = a sec t tan t dt，,于是有,作辅助三角形，,得,其中 C = C1 lna .,作三角代换 x = a sin t 或 x = a cos t；,作三

12、角代换 x = a tan t 或 x = a cot t；,作三角代换 x = a sec t 或 x = a csc t.,例 28求,解法一三角代换法.,令 x = tan t，,于是得,则 dx = sec2 tdt，,根据 tan t = x，,作辅助三角形，,得,= ln |csc t cot t | + C,解法二凑微分法.,于是有,解法三根式代换法.,于是有,例 29求,解,三分部积分法,设函数 u = u(x)， v = v(x) 具有连续导数：,u = u(x)， v = v (x)，,根据乘积微分公式,于是有,即,d(uv) = udv + vdu，,例 1求,解,解,例

13、 2求,解,例 3求,解,例 4求,解,例 5求,解,例 6求,对新积分,继续用分部积分法，得,代入原式中，得,解,例 7求,对上式中的右端积分继续利用分部积分法，,得,代入，得,解,例 8求,等式右端出现了原积分，把等式看作以原积分为未知量的方程，解此方程，得,解,例 9求,于是有,即,解先用第二换元法，再用分部积分法.,例 10求,则 dx = 3t2dt ，,于是有,代回原变量，得,解,例 11求,求上式右端的不定积分,用第二换元法.,则 dx = 2tdt ，,于是有,= 2(t arctan t) + C,代入，得,四积分表的使用方法,1.在积分表中能直接查到的,例 1查表求,解被积

14、函数含 a + bx 因式，,在积分表(一)类中，查到公式 9 ，,当 a = 3，b = 2 时，,得,例 2查表求,解被积函数含 a + bsin x 因式，,在积分表(十一)类中，查到公式 103 或 104，,因为,a = 5，b = 4， a2 b2 .,所以用公式 103， 得,2.先进行变量代换，再查表,例 3查表求,解该积分在积分表中直接查不到，要进行变量代换，,令 3x = t，,于是有,上式右端积分的被积函数中有,在积分表(五)类中，查到公式 39，,代入原积分中，得,当 a = 2(x 相当于 t)时，得,3.用递推公式,例 4查表求,解被积函数中含三角函数，,在积分表(

15、十一)类中查到公式 97，,递推公式为,当 n = 4 时，原积分为,等，,都不能用初等函数表示.,第三节 定积分的概念和性质,一、定积分的实际背景 1、曲边梯形的面积 2、变速直线运动的路程 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质,一、引进定积分概念的两个例子,1.曲边梯形的面积,曲边梯形：在直角坐标系下，,由闭区间a, b上的连续曲线 y = f (x) 0，,直线 x = a，x = b 与 x 轴围成的平面图形 AabB.,基于这种想法，,可以用一组平行于 y 轴的直线,把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，,只要分割得较细，,每个小曲边梯形很窄，,则其高 f (x) 的

16、变化就很小.,这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底，,底上某点函数值为高的矩形，,曲线 y = f (x) 是连续的，,所以，当点 x 在区间 a, b 上某处变化很小时，,则相应的高 f (x) 也就变化不大.,显然，分割越细，,近似程度就越高，,当无限细分时，,则所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.,用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，,进而用所有小矩形面积之和近似代替整个曲边梯形面积.,(1) 分割,在区间a, b内任意插入 n 1 个分点：,a = x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn = b，,把区间a, b分成 n 个小区间：,x0, x1，x1

17、, x2， ，xi-1, xi ， ，xn-1, xn.,这些小区间的长度分别记为,xi = xi xi -1 (i = 1, 2, , n).,过每一分点作平行于 y 轴的直线，,它们把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形.,根据以上分析，可按下面四步计算曲边梯形面积.,a = x0,x1,xi-1,xn= b,xi,(2) 近似代替,在每个小区间 xi-1, xi(i = 1, 2, , n)上取一点 xi (xi-1 xi xi),以 f(xi)为高，xi 为底作小矩形，,用小矩形面积 f (xi)xi 近似代替相应的小曲边梯形面积 Ai ，,即,Ai f (xi) xi (i = 1, 2,

18、 , n) .,x1,x2,xi,xn,(4) 取极限,当分点个数 n 无限增加，,即,(3) 求和,把 n 个小矩形面积加起来，,它就是曲边梯形面积的近似值，,即,且小区间长度的最大值 (即 = maxxi)趋近于 0 时，,上述和式的极限就是曲边梯形面积的精确值，,2.变速直线运动的路程,设一物体作直线运动，,已知速度 v = v(t) 是时间 t 的连续函数，,求在时间间隔T1,T2上物体所经过的路程 s .,(1) 分割,在时间间隔 T1,T2内任意插入 n - 1 个分点：,T1 = t0 t1 t2 ti-1 ti tn-1 tn = T2 ，,把T1,T2分成 n 个小区间：,t

19、0, t1，t1, t2， ，ti-1, ti ， ，tn-1, tn.,这些小区间的长度分别为：,ti = ti ti 1 (i = 1, 2, , n) .,相应的路程 s 被分为 n 段小路程：si (i = 1, 2, , n) .,(2) 近似代替,在每个小区间上任意取一点 xi (ti-1 xi ti),用 xi 点的速度 v (xi),近似代替物体在小区间上的速度，,用乘积 v (xi) ti,近似代替物体在小区间 ti-1 , ti 上所经过的路程 si ，,即,si v(xi) ti (i =1, 2, , n) .,(3) 求和,(4) 取极限,二、定积分的定义,定义设函数

20、 f (x) 在区间 a, b 上有定义,任意取分点,a = x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn = b,把区间a, b分成 n个小区间 xi-1, xi，,称为子区间，其长度记为,xi xi xi - 1 (i = 1, 2, , n),在每个子区间 xi-1, xi上, 任取一点 xi (xi-1 xi xi )，,得相应的函数值 f (xi )，,作乘积,f (xi ) xi (i = 1, 2, , n)，,把所有乘积加起来，得和式,当 n 无限增大，,且子区间的最大长度 l (即 l = maxxi ) 趋于零时，,如果上述和式的极限存在，,则称函数 f (x) 在区间

21、a, b上可积，,并将此极限值称为函数 f (x) 在 a,b 上的定积分，,记作,即,f (x) ：被积函数；,x：积分变量；,a 与 b：积分下限与上限 .,符号,读作函数 f (x) 从 a 到 b 的定积分.,f (x)dx：被积表达式或称被积分式；,其中：,a, b ：积分区间；,关于定积分定义的几点说明：,(1) 所谓和式极限,(即函数 f (x) 可积)，,是指无论对区间 a, b 怎样分法，,也不论对点 xi (i = 1, 2 , , n) 怎样取法，,极限都存在且有相同的极限值.,(2) 可以证明，闭区间上连续函数,(3) 因为定积分是和式极限，,它是由函数 f (x) 与

22、区间a, b所确定的，,因此，它与积分变量的记号无关，,即,或只有有限个第一类间断点的函数是可积的.,(4) 该定义是在积分下限 a 小于积分上限 b 的情况下给出的，,此时，只要把插入分点的顺序反过来写,a = x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn = b,由于 xi-1 xi ， xi = xi - xi-1 0，,于是有,特殊地，当 a = b 时，,如果 a b ，同样可给出定积分,即可，,根据定积分的定义，上面两个例子都可以表示为定积分：,(1) 曲边梯形面积 A 是曲边函数 f (x) 在区间a, b上的定积分，,即,(2) 变速直线运动的路程 s 是速度函数 v (x

23、) 在时间间隔 T1,T2 上的定积分，,即,例 1用定义计算,解被积函数 f (x) = e-x，,在区间 0, 1 上连续，,所以 e-x 在 0, 1 上可积 .,为了计算方便起见，,把区间 0, 1 等分成 n 份，,分点为,每个子区间的长度都是,在每个子区间,上都取左端点为 xi ，,于是和式为,当 l = maxxi0 + 时，即 n + 有,于是有,三、定积分的几何意义,当 f (x) 0 时，,定积分在几何上表示,曲边 y = f (x)在区间 a, b 上方的曲边梯形面积，,如果 f (x) 0 ，,曲边梯形在 x 轴下方，,此时该定积分为负值，,它在几何上表示 x 轴下方的

24、曲边梯形面积是负值，,当 f (x) 在 a, b 上有正有负时，,x 轴上方的曲边梯形面积减去 x 轴下方的曲边梯形面积,定积分,四、定积分的性质,下面各性质中的函数都假设是可积的.,性质 1 (1) 两个函数和的定积分等于它们定积分的和，,即,(2) 被积函数的常数因子可以提到积分外面，,即,证 只证性质 1 .,根据定积分的定义，,有,性质 1 (1) 可推广到有限多个函数代数和的情况，即,性质 2 如果在区间 a, b 上 f (x) 1 ，,那么,性质 3(积分对区间可加性)如果积分区间 a, b 被点 c 分成两个区间 a, c 和 c, b，那么,当点 c 不介于 a 与 b 之

25、间，,即 c a b 或 a b c 时，,结论仍正确.,性质 4 如果在区间 a, b 上有 f (x) g (x)，,那么,证由性质 1 与定积分的定义，知,由题设得知 f (xi) g (xi)，即 f (xi) - g (xi) 0，且 xi 0 (i = 1, 2, , n)，,移项，得,推论 由性质 4 可得,所以上式右端的极限值非正，,从而有,性质 5(估值定理)如果存在两个数 M，m，,使函数 f (x) 在闭区间 a, b有 m f (x) M，,那么,该性质的几何解释是：,曲线 y = f (x) 在 a, b 上的曲边梯形面积,介于与区间a, b 长度为底，,分别以 m

26、和 M 为高的两个矩形面积之间.,性质 6 (积分中值定理)如果函数 f (x) 在区间 a, b上连续，,= f (x) (b - a),那么在区间 a, b 上至少存在一点 x ，,使下面等式成立：,证因为 b a 0，由估值定理得,由闭区间上连续函数的介值定理知道,在 a, b 上至少存在一个点 x ，,于是得,当 b a 时，,上式仍成立 .,使,该性质的几何解释是：,一条连续曲线 y = f (x) 在 a, b 上的曲边梯形面积,f (x),x,等于区间 a, b 长度为底，a, b 中一点 x 的函数值为高的矩形面积 .,例 2比较下列各对积分值的大小：,解(1) 根据幂函数的性

27、质，在 0, 1 上，有,由性质 4 ，得,(2) 令 f (x) = x - ln(1 + x)，,f (x),函数 f (x) 在区间 0, 1 上单调增加，,所以，,f (x) f (0) = x - ln(1 + x)|x = 0 = 0，,从而有 x ln(1 + x)，,由性质 4 ，得,知,由,在区间 0, 1 上,解,令 f (x) = 0，,得驻点 x = 0.,比较驻点 x = 0，区间端点 x = 1 的函数值，,f (0) = e0 = 1，,其次，根据估值定理得,例 3估计定积分,最大值 M = 1，,第四节 微积分基本定理,一、变上限的定积分 1、变上限的函数 2、

28、变上限的定积分的导数 二、微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）,一、变上限定积分,如果 x 是区间 a, b上任意一点，定积分,表示曲线 y = f (x) 在部分区间 a, x 上曲边梯形AaxC 的面积，,如图中阴影部分所示的面积.,当 x 在区间 a, b 上变化时,阴影部分的曲边梯形面积也随之变化，,所以变上限定积分,是上限变量 x 的函数.,记作 (x)，,即,(x),定理 1 若函数 f (x) 在区间 a, b 上连续，,则变上限定积分,在区间 a, b 上可导，,并且它的导数等于被积函数，,即,证按导数定义，,给自变量 x 以增量 x，x + x a, b，,由 (x) 的定义

29、得对应的函数 (x) 的量 (x)，,即, (x) = (x + x) - (x),x + x,根据积分中值定理知道，在 x 与 x + x 之 间至少存在一点 x ，, (x),又因为 f (x) 在区间 a, b 上连续，,所以，当x 0 时有 x x， f (x) f (x)，,从而有, (x),故,使,成立.,定理 1 告诉我们，,是函数 f (x) 在区间 a, b 上的一个原函数，,这就肯定了连续函数的原函数是存在的，,所以，定理 1 也称为原函数存在定理.,变上限定积分,解根据定理 1，得,例 2,求 F (x).,解根据定理 1，得,例 3,求 (x).,解, (x),例 4,

30、解,二、微积分的基本公式,定理 2 如果函数 f (x) 在区间a, b上连续，,F(x) 是 f (x) 在区间 a, b 上任一原函数，,那么,证由定理 1 知道,f (x) 在 a, b 上的一个原函数，,又由题设知道 F(x) 也是 f (x) 在 a, b 上一个原函数，,由原函数的性质得知，同一函数的两个不同原函数只相差一个常数，,即,把 x = a 代入式中，,则，常数 C = F(a)，,于是得,令 x = b 代入上式中，,移项，得,再把积分变量 t 换成 x，,为了今后使用该公式方便起见，把 式右端的,这样 式就写成如下形式：,得,例 5 计算下列定积分.,解,例 6 计算

31、下列定积分.,解,解把被积函数化简.,例 8 计算,解,第五节 定积分的计算,一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法,一、定积分的换元积分法,定理若函数 f (x) 在区间 a, b 上连续,函数 x = j(t) 在区间 a, b 上单调且有连续导数 j(t)，,当 t 在a, b(或b, a)上变化时，,x = j(t) 的值在a, b上变化，,且 j(a) = a，j(b) = b(或j(a) = b，j (b ) = a ),则,证因为 f (x) 在区间a, b上连续，,所以它可积.,设 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，,则由牛顿 - 莱布尼茨公式得,由不定积分换元法得

32、知,于是,例 2计算,解用定积分换元法.,则 x = t2 ，,dx = 2tdt，,于是,例 3计算,解,则 x = ln(t2 - 1) ，,于是,例 4设函数 f (x) 在对称区间- a, a上连续，,求证：,(2) 当 f (x) 为偶函数时，,(3) 当 f (x) 为奇函数时，,证(1) 根据定积分性质 3，,则,则,(1),得,对式右端第一个积分用换元积分法，,令 x = - t，,则 dx = - dt，,于是,把 式代入 式中，得,(2) 因为 f (x) 是偶函数，即 f (- x) = f (x)，,得,(3) 因为 f (x) 是奇函数，即 f (- x) = - f

33、 (x)，,得,例 5计算,解易知,因此,且积分区间对称于原点，,例 6计算,解因为被积函数,且积分区间对称于原点，,令 x = 2sint，,则 dx = 2cos tdt ，,于是,得,例 7证明,证根据三角函数关系,则 dx = - dt ，,于是,特别地，当 f (sinx) = sinnx 时，,n 为正整数，有,设函数 u = u(x)， v = v(x) 在区间 a, b 上具有连续导数，,二、定积分的分部积分法,则,即,由不定积分的分部积分法，,得,即 u = u(x)， v = v(x) 连续，,解根据定积分的分部积分公式得,例 8计算,解根据定积分的分部积分公式得,例 9计

34、算,解先用换元法，然后再用分部积分法.,例 10计算,令 arcsinx = t，,x = sin t，,则 dx = cos tdt，,于是有,解用定积分的分部积分法.,例 11计算,把上式看作以 In 为未知量的方程，,解之，得,即,称它为递推公式.,当 n 为偶数时，有,代入上式中，得,当 n 为奇数时，有,代入上式，得,解令 x = sin t，,例 12计算,则 dx = cos tdt，,于是有,第六节 定积分的应用,一、定积分的元素法 1定积分的微元法 2、应用举例 二、求平面图形的面积 1、直角坐标系下的面积计算 2、极坐标下的面积计算 三、求体积 1、平行截面面积为已知的立体

35、的体积 2、旋转体的体积 四、求平面曲线的弧长,第六节定积分的应用,一定积分的微元法,用定积分表示一个量，,如几何量、,物理量或其他的量，,一般分四步考虑，,我们来回顾一下解决曲边梯形面积的过程.,第一步分割：,将区间 a, b 任意分为 n 个子区间 xi - 1, xi (i = 1, 2, , n)，,其中 x0 = a，xn = b .,第二步取近似：,在任意一个子区间 xi-1, xi 上，,任取一点 xi ，,作小曲边梯形面积 Ai 的近似值，,Ai f (xi)xi .,第三步求和：,曲边梯形面积 A,第四步取极限：,n ， = maxxi 0，,如果把第二步中的 xi 用 x

36、替代，,中的被积分式 f (x)dx 具有类同的形式，,第二步取近似时其形式 f(xi)xi ，与第四步积分,xi 用 dx 替代，,那么它就是第四步积分中的被积分式，,第一步选取积分变量，,例如选取 x，,并确定其范围，,例如 x a, b，,在其上任取一个子区间记作 x, x + dx.,第二步取所求量 I 在子区间 x, x + dx 上的部分量 I 的近似值,I f (x)dx，,得,基于此，我们把上述四步简化为两步：,几点说明：,(1) 取近似值时，,得到的是 f (x)dx 那样形式的近似值，,并且要求 I - f (x)dx 是 dx 的高阶无穷小量，,关于后一个要求在实际问题中

37、常常能满足.,(2) 满足 (1) 的要求后，,f (x)dx 是所求量 I 的微分，,所以第二步中的近似式常用微分形式写出，即,dI = f (x)dx ，,dI 称为量 I 的微元.,上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微元法.,一、直角坐标系中的平面图形的面积,如果 f (x) 在 a, b 上有正有负，,那么它的面积 A 的微元应是以 | f (x) | 为高，,dx 为底的矩形面积，,dA= | f (x) |dx .,于是，总有,即,例 1求由曲线 y = x3 与直线 x = - 1，x = 2 及 x 轴所围成的平面图形的面积,解由上述公式得,也可以先画出 y = x3 与直线 x = - 1， x = 2 及 x 轴所围成的平面图形，如图所示，,就不必用公式了.,则由定积分的几何意义知,由两条曲线 y = f (x)、 y = g (x),与两条直线 x = a， x = b 所围成