复变函数第3讲.ppt

1、5 复变函数的极限与连续性,1.复变函数的定义：设G是一个复数集合,如果对于集合G中 的每一个数z,按照一定的法则，就有一个或几个复数w与 之对应，那么就称复变数w是复变数z的函数，简称复变函 数。记作,则复变函数又可表示为：,注：若记,即一个一元复变函数实际上对应于两个二元实变函数。,几个名词：单值函数，多值函数，定义集合，函数值集合， 定义域等。,如:,2、映射： 映射是现代数学中 的一个常用 概念,定义：若对集合A中的任一元素a，按照某种对应关 系f总有集B中的元素b相对应，则称 f 是集合 A到集合B的一个映射，记为f: ab， a、b分 别称为映射的原象和象,于是，如果,因此，象点与

2、原象点相比，模是原来的平方，幅角是 原来的二倍，这样不难发现，这一映射有这样的特性：,将顶点在原点的角形域映成角形域，只不过夹角扩大为二倍。如：将z平面第一象限映成w平面一、二象限，将单位圆映成单位圆。,用z平面上的点表示自变量z的值,用另一平面（w平面）上的点表示函数w的值，,则函数w=f(z)就可以看作是从z平面上的点集G（定义值集合）到w平面上的一个点G*集（函数值集合）映射（或变换）。,例题2. 函数,把z平面上的曲线,映成w平面什么曲线?,解：原象曲线的复方程为：,代入映射函数中，得到象曲线方程为：,记,则,这就是象曲线 的实参数方程。,消去参数,得,这是一圆周,假定函数f(z)的定

3、义集合为z平面上的集合G，函数值集合为w平面上的集合G*，那么G*中的每一个点w必将对应着G中的一个（或几个）点。按照函数的定义，在G*上就确定了一个单值（或多值）函数z=g(w)，它称为w=f(z)的反函数，也称为映射w=f(z)逆映射。,显然，函数与其反函数之间有如下关系： 对于任意wG*，有w=f g(w)； 当反函数为单值函数时，有 z=gf(z), z G。,为了方便，我们以后不再区分函数与映射。如果映射与其逆映射都是单值的，我们称此映射是一一对应的。,复变函数的的反函数：,3.函数的极限,定义：设函数w=f(z)在z0的去心邻域内有定义，如果对于任意给定的0, 相应地总有0存在，使

4、得当0|z-z0|时，恒有|f(z)-A|成立，则称A为f(z)当z趋向于Z0时的极限。记作：,或者,注：从形式上来看，复变函数的极限定义与一元实函数 是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。主要是因为在复平面上，变量z趋于z0的方式有无穷多种，可以从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。这一点跟二元函数的极限又有相似之处。,所以，如果仅凭某几个特殊方向，还不能判断极限存在。当然了，如果方向不同，变化趋势也不一样，则极限一定不存在。,相关性质,定理的重要意义在于将复变函数的极限问题转化为两个二元实函数的极限问题，这是在高等数学中已经讨论过的问题。,4.函数的连续性,由此，复函数的连续性问题也转化为相应的实问题,本定理的证明可根据定理1立即得到,相关性质,根据定理2和定理3还可推得,定理4. 1)连续函数的和、差、积、商仍是连续函数 2)连续函数的复合函数还是连续函数,2. 在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的 函数f(z)在曲线上是有界的。即存在正数M，在曲 线上恒有|f(z)|M。,3.因一般复数不能比较大小，故实连续函数的最大、 最小值定理，介值定理不再成立。,注,课堂练习：,因而是一椭圆,解：,共有n个,证明根之和为0，直接