弹塑性力学-塑性极限分析[详细]

1、第11章 结构的塑性极限分析,梁的弹塑性弯曲 塑性极限分析定理和方法 梁的极限分析,111 梁的弹塑性弯曲,一基本假定 平截面假设：在变形过程中，变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且与变形后梁的轴线垂直。,纵向纤维互不挤压：不计挤压应力，横截面上只有正应力。,小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。,二弹性阶段,Mises：屈服条件：,弹性极限弯矩,弹性极限载荷,三弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）,塑性区扩展,弹塑性区交界线：,弹塑性区交界线：,四全塑性阶段,塑性极限弯矩,塑性极限载荷,确定塑性区位置,塑性铰：在全塑性阶段，跨

2、中截面的上下两塑性区相连，使跨中左右两截面产生像结构（机械）铰链一样的相对转动塑性铰。 特点： 塑性铰的存在是由于该截面上的弯矩等于塑性极限弯矩；故不能传递大于塑性极限弯矩的弯矩。 塑性铰是单向铰，梁截面的转动方向与塑性极限弯矩的方向一致。否则将使塑性铰消失。,P,x,z,例题：悬臂梁在自由端受集中力，求弹性极限载荷、塑性极限载荷、弹塑性分界线。,解：,一有关塑性极限分析的基本概念,弹塑性分析方法的缺点：,112 塑性极限分析定理与方法,（1）分析三个状态：弹性状态、弹塑性状态、塑性状态。 （2）了解整个加载过程。 （3）材料本构关系是非线性的，只能求解简单问题。,塑性极限状态：,理想塑性体承

3、受的载荷达到一定的数值时，即使载荷不再增长，塑性变形也可自由发展，整个结构不能承受更大的载荷，这种状态称为塑性极限状态。,塑性极限载荷：,塑性极限状态对应的载荷。,塑性极限分析的基本假定：,（1）材料是理想刚塑的，不计弹性变形和强化效应。 （2）变形是微小的。 （3）比例加载。（所有外载荷都按同一比例增加。）,结构在塑性极限状态应满足的条件：,（1）平衡条件：平衡微分方程和静力边界条件。 （2）极限条件：达到塑性极限状态时内力场不违背的条件（屈服条件。） （3）破坏机构条件：塑性极限状态下结构丧失承载能力时形成破坏机构的形式。（表征结构破坏时的运动趋势或规律，要求不引起物体的裂开或重合几何方程

4、，且被外界约束的物体表面上满足位移和速度边界条件。）,塑性极限分析的完全解：,满足平衡条件极限条件破坏机构条件的解。,二虚功原理和虚功率原理,虚功原理：在外力作用下处于平衡的变形体，若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功必等于应力的虚功（物体内储存的虚应变能）。,虚变形（位移）：结构约束所允许的无限小位移。,证明：,平衡方程：,边界条件：,Green 公式：,体力为零时：,虚功率原理：在外力作用下处于平衡的变形体，若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功率必等于应力的虚功率。,体力为零时：,满足平衡方程和面力边界条件（静力允许的应力场）,虚应变率场（机动允许的）,虚速度场（机动允许的

5、）,下限定理： 静力允许的内力场：满足平衡条件（平衡微分方程和面力边界条件），不违背屈服条件的内力场。sPi s : 静力允许载荷系数 放松破坏机构条件（几何方程、位移和速度边界条件） 真实内力场：满足静力平衡条件、屈服条件、破坏机构条件的内力场。 真实内力场一定是静力允许的内力场。 塑性极限载荷系数：l = s,三塑性极限分析定理,下限定理：任何一个静力允许的内力场所对应的载荷是极限载荷的下限。 静力允许载荷系数是极限载荷系数的下限： s l ,证明： s l,极限状态下：,静力允许的内力场：,虚功率原理：,由Druker 公设：极限曲面是外凸的。,Pi 在真实位移速度上的功率为正,s l,

6、2. 上限定理： 机动允许的位移（速度）场：满足破坏机构条件（几何方程和位移、速度边界条件），外力做功为正的位移（速度）场。 放松极限条件，选择破坏机构，并使载荷在其位移场上做功为正,三塑性极限分析定理,上限定理：任何一个机动允许的位移（速度）场所对应的载荷是极限载荷的上限。 机动允许载荷系数是极限载荷系数的上限： k l ,破坏载荷：机动允许的位移场所对应的载荷。k P k ：机动允许载荷系数 破坏机构所对应的内力场不一定满足极限条件，一般情况下： k l 破坏机构是极限状态下的机构，对应的内力场是静力允许的：l = k,证明： k l,设机动允许的位移（速度）场,破坏载荷：,虚功率原理：,

7、由Druker 公设：极限曲面是外凸的。,Pi 在真实位移速度上的功率为正,应力场：,k l,下限定理：任何一个静力允许的内力场所对应的载荷是极限载荷的下限。 静力允许载荷系数是极限载荷系数的下限： s l ,上限定理：任何一个机动允许的位移（速度）场所对应的载荷是极限载荷的上限。 机动允许载荷系数是极限载荷系数的上限： k l ,s l k,s l k ：同时满足三个条件， l 为完全解。,s l ： 下限解静力法。,l k ：上限解机动法。,静力法 （1）取满足平衡条件且不违背屈服条件（极限条件）的应力（内力）场。（建立静力允许的应力场） （2）由静力允许的应力（内力 ）场确定所对应的载荷

8、，且为极限载荷的下限：Pl- = sP （3）在多个极限荷的下限解中取： Plmax- （4）检查：若结构成为破坏机构，存在一个对应的机动允许的位移场，则：Plmax- =Pl 。否则： Plmax- 为Pl 的一个下限解（近似解）,四塑性极限分析方法,2. 机动法 （1）选择一个破坏机构（几何上允许的、外力做功为正），建立机动允许的位移场。 （2）由内功率等于外功率求破坏载荷，且为极限载荷的上限：Pl+= kP （3）在多个破坏荷中取最小值： Plmin+ （4）检查：若内力场是静力允许的，即不违背极限条件，则：Plmin+ =Pl 。否则： Plmin+ 为Pl 的一个上限解（近似解）,1

9、13 梁的塑性极限分析,一静定梁的极限分析 极限弯矩：梁弯曲时某截面上的正应力值处处等于屈服极限（屈服点），则该截面屈服，它不能继续抵抗弯曲变形，对应的弯矩值称为极限弯矩Mp。 塑性铰：凡弯矩值达到极限弯矩Mp的截面，都将丧失继续抵抗弯曲变形的能力，即在保持弯矩值为Mp的情况下，截面两侧可无限地顺着弯矩的转向相对转动，形成尖角，使挠曲线不光滑，曲率趋于无穷大，这同该截面处两侧杆用铰连接相似，故称为塑性铰。 （1）单向转动。 （2）在塑性铰处有弯矩作用。 静定结构的基本特点： （1）无多余联系，内力可以由静力平衡方程唯一确定，内力与结构的变形无关（小变形）。 （2）在静定结构中，只要有一个（一部

10、分）截面屈服，结构就变成机构（破坏机构），且最先屈服的截面总是内力最大的截面。,静定梁的极限分析方法：,作静定梁的弯矩图。,2. 令最大弯矩等于塑料性极限弯矩，求极限载荷。,静定梁的内力是静力允许的，对应的机构又是机动允许的，得到的极限载荷是完全解。,例：确定下列静定梁的极限载荷。,例：确定下列静定梁的极限载荷。,AB：3Mp BC：Mp,解：,AB与BC段截面不同，塑性铰可能出现在AB段也可能出现在BC段。,作弯矩图。,塑性铰出现在AB段时：,塑性铰出现在BC段时：,超静定结构的基本特点： （1）有多余联系，内力仅由静力平衡方程不能完全确定，内力与结构的变形有关，所以内力与梁的刚度有关。 （

11、2）在超静定梁中，当梁内截面屈服，即出现塑性铰时，由于梁的刚度发生变化，内力会重新分布，所以梁达到塑性极限状态时塑性铰的位置无法预先知道，应按照逐渐加大载荷的方法逐步确定，但计算不便。 （3）工程中采用可直接计算极限载荷的机动法和静力法。 确定方法：,二超静定梁的极限分析,（1）机动法,设定梁的破坏机构图,利用功能有关系计算破坏载荷,对于梁的所有可能的破坏机构，计算相应破坏载荷,Plmin+ =Pl,（2）静力法,根据梁的支承条件及载荷情况画弯矩分布图,使梁内各处弯矩值不超过极限弯矩，此时的载荷为下限值,找出梁的所有可能的静力允许的弯矩分布，计算相应载荷,Plmax- =Pl,例题1：已知图示

12、超静定梁的塑性极限弯矩为M P，试求其塑性极限载荷Pl 。,M1,解： 静力法 作M 图,M1,例题1：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为M P，试求其塑性极限载荷Pl 。,取A、C 处为塑性铰，画破坏机构图（保证外力作正功）,解： 机动法,讨论： 设梁的超静定次数为 n ，形成塑性铰的数目为 r ，一般情况下当：r = n+1 时，形成破坏机构。 塑性铰的位置：弯矩为驻值的截面处（固定端、集中载荷处）。 在确定静力允许的内力场时，若能同时考虑形成破坏机构所需的塑性铰数目，则得到的解答可接近或等于完全解。 若确定的弯矩绝对值等于MP 的截面数目小于塑性铰数目，则还应检查其余弯矩为驻值的截面，其弯矩值应不超过MP ，否则内力场是静力不允许的，求得的载荷也非下限解。,例题2：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为M P，用机动法试求其塑性极限载荷的上限值 。,解： 确定塑性铰位置,计算内力功,计算外力功,求极限载荷,例题3：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为MP，试用静力法和机动法求其塑性极限载荷Pl 。,解： 静力法 作M 图,机动法,（1）单跨破坏,（2）整体破坏,（3）整体破坏,载荷对称，在某些截面同时产生塑性铰,例题4：试用机动法求图示三跨超静定梁的塑性极限载荷Pl 。,解： （1）单跨破坏,（2）两跨破坏,（3）整体破坏,讨论： 一般