力学1单元.ppt

1、运动学,例：玩具车的速度与加速度。一小孩自B点手拉绳的一端沿人行道的边缘以恒定速度u行走，小车放在粗糙的水平街面上。求当绳与人行道成 角时，小车的速度与加速度。设绳长为l，绳始终处于拉直状态。 提示：小车只能沿绳的方向运动。,解：,求加速度：,考虑相对运动，P相对于B作圆周运动 v= v u,P点的加速度：,一半径为R的圆环在水平面内以匀角速度 绕圆周上的一点P作逆时针方向的转动。圆周上的M点有一个甲虫相对于圆环以恒定的相对速率沿圆周爬行, ，运动方向同为逆时针方向。当M点（甲虫）运动到与圆心O的连线OM与OP成以下两个相对位置时，分别求M点的速度与加速度： (1) OM与OP在一条直线上；

2、(2) OM与OP相互垂直。,例：,解1：极坐标,解2：相对运动,解3：相对运动,解4：,2007复赛1. 一块长为L=1.00m的光滑平板PQ固定在轻质弹簧的上端,弹簧的下端与地面固定连接.平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间(图中未画出), 从而只能在竖直方向运动.平板与弹簧构成的振动系统的振动周期为T=2.00s.一小球B放在一光滑的水平平台上，台面的右侧边缘正好在平板P端的正上方，到P端的距离为h=9.80m。平板静止在其平衡位置。小球B与平板PQ的质量相等。现给小球一水平向右的速度u0，使它从水平台面抛出。已知小球与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计.要使

3、小球与平板PQ发生一次碰撞,而且只发生一次碰撞, u0的值应该在什么范围内?(g=9.8m/s2),解：设第一次落点距离板左端x1, 第二次落点距离第一次落点x2,2007复赛2. 图示为用三根刚性细杆连成的平面连杆结构图. AB杆和CD杆可分别绕过A, D的垂直于纸面的固定轴转动, A,D两点位于同一水平线上. BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连,可绕连接处转动.当AB杆绕A轴以恒定的角速度转到图中所示的位置时, AB杆处于竖直位置, BC与CD杆都与水平方向成45度角, 已知AB杆的长度为l, BC和CD杆的长度由图给定.求此时C点的加速度.,解1：,解2：,静力学,力平衡 力矩平衡 几

4、种力： 张力（拉伸）绳子，处处相等吗？ 有摩擦，离心力场，有自重等 弹力（挤压）刚性物体，无形变，垂直于接触面 弹性物体，有形变，满足胡克定律 摩擦力静摩擦（有无，大小，方向的判断） 动摩擦 重力（引力）非接触力,例1.在光滑水平面上，直立一个半径为R的中空直圆筒。在筒内放两个相同的匀质球，球半径为r (R/2rR),重量为P.求两球对圆筒的压力。,A球：x方向， y方向， B球：x方向， y方向，,列方程： A 球 B球,细杆靠在另一根杆的端点，伸出来的长度可以忽略不计。两者之间摩擦系数是 。两者单位长度的质量相等，由铰链与地面连接。求杆子维持不倒的最小角度 。,f,N,应用力矩平衡，可以避

5、免求解铰链上的作用力。,细杆单位长度的质量为 。靠在半径为R的圆环上，上端与球相切。假设所有接触点皆有足够的摩擦，以使系统保持静止，求地面与圆环之间的摩擦力。,寻找关键关系，不需要列出所有方程。 杆的力矩平衡：,球的力平衡（水平方向),关键：球的力矩平衡，两个接触点摩擦力相等！,光滑曲线上有一匀质链条，求链条上任意位置的张力。证明如果链条两端处于同一水平高度则链条保持静止。,解： 取一小段长为dl的线元， 质量dm=ldl 两端张力之差（净张力） dT=(dm)gsinq=ldlgsinq=lgdy,例题：均匀弹簧在重力场中的伸长问题。 M, K 引例：弹簧串联。哪个伸长更大？,n个弹簧串联，

6、从下向上数 x1=mg/k, x2=2mg/k, x3=3mg/k, X=x1+x2+x3+xn=n(1+n)mg/2k M=nm X=Mg(1+n)/2k n无穷大, 1+n=n, k/n=K(n个串联弹簧的等效弹性系数) X=Mg/2K (M均匀弹簧的总质量，K弹性系数）,可以进一步考虑，均匀弹簧悬挂小球的伸长，振动。,26届复赛2：图示正方形轻质刚性水平桌面由完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A、B、C、D处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生微小形变。现于桌面中心点O至角A的连线OA某点P施加一竖直向下的力F，令OP/OA=c, 求桌面对桌腿1的压力F1。,

7、分析：力平衡，力矩平衡，对称性， F1F2F3+F4F F2F4 F3cFF1,差一个方程，弹性形变，X1=F1/k, X2=X4=F2/k, X3=F3/k 从侧面看1、2（4）、3腿构成梯形，形变量满足 X1X32X2 即F1F32F2,以上方程解得 F1(2c+1)F/4, F3=(1-2c)F/4 讨论： c1/2, F30? 取F30，重新解，以上哪个方程不必满足？ F1F2F3+F4F F2F4 F3cFF1 X1X32X2？ 化成 F1cF 总结: F1(2c+1)F/4， 0c1/2 F1=cF, 1/2c1,动力学定律 一般问题 引力问题 两体问题,一般问题,质点动力学问题,

8、典型问题： I：已知作用于物体（质点）上的力，由力学规律来决定该物体的运动情况或平衡状态； II：已知物体（质点）的运动情况或平衡状态，由力学规律来推出作用于物体上的力。,解题十六字诀： 隔离物体，具体分析，选定坐标，运动方程。 中心问题在于正确地列出代数方程组； 关键问题有在于正确地进行具体分析(F,ma)。,例 一升降机内有一光滑斜面。斜面固定在升降机的底版上，其倾角为 。当升降机以匀加速a0上升时，物体m从斜面的顶点沿斜面下滑。求物体m相对于斜面的加速度以及相对于地面的加速度。,解：,受力分析：,加速度分析： a= a+a0 X方向: Y方向:,列方程：,解得:a=(g+a0)sin ,

9、 N= m(g+a0)cos,练习:,分析： M: m: 加速度： a1(+x方向） a=a1+a2,列方程： m: M:,IPhO4-1 (1970) 在质量M=1kg的木板上有质量m=0.1kg的小雪橇。雪橇上的马达牵引着一根绳子，使雪橇具有速度v0=0.1m/s。忽略桌面与木板之间的摩擦。木板与雪橇之间的摩擦系数0.02。把住木板，起动马达。当雪橇达到速度v0时，放开木板。在此瞬间，雪橇与木板端面的距离L=0.5m。绳子拴在 （a）远处的柱子，(b)木板的端面上。 试描述两种情形下木板与雪橇的运动。雪橇何时达到木板端面？,解：（a）木板速度达到v0之前匀加速， 雪橇在木板上经过的距离为

10、此后两者没有相对运动，马达空转，雪橇不能达到端面。,（b）系统动量守恒，设放开后木板的速度为V,雪橇为V+v0，,V=0。所以木板不动，雪橇以原有速度继续前进。t=L/v0,受力分析？,引力问题,球壳的万有引力,地球内部物体受到的万有引力,兰色部分：不贡献引力 红色部分：贡献引力，恰如位于球心的一个质点M，M是红色部分的总质量,球体的万有引力,O,R,F,r,原型： 假定巴黎和伦敦之间由一条笔直的地下铁道连接着。在两城市之间有一列火车飞驶，仅仅由地球的引力作动力。试计算火车的最大速度和巴黎到伦敦的时间。设两城市之间的直线距离为300km, 地球的半径为6400km，忽略摩擦力。 考察知识点：1

11、.球对称引力场 2.简谐振动。 考题（2004复赛第三题） 有人提出了一种不用火箭发射人造卫星的设想。沿地球的一条弦挖一通道，在通道的两个出口处A和B ，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时释放，只要M比m足够大，碰撞后质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道。设待发卫星上有一种装置，在卫星刚离开出口B时，立即把卫星速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小，这样卫星便有可能绕地心运动，成为一颗人造卫星。若卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？ 已知M=20m，地球半径为6400km。假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间

12、的碰撞是弹性的。 考察知识点：1.球对称引力场 2.简谐振动。 3.弹性碰撞 4. 机械能守恒 5.有心力场里的运动（第一宇宙速度）,竞赛题与常规考题的区别： 1. 考察的问题原型相同，但是综合性或复杂性更强 对策：熟悉各种原型问题。 2. 在试题的入手上设置障碍，让人难以下手，实际上还是对应于一些基本的物理原型。 对策：识破题目的障眼法，找到原型。 3. 题目的物理过程较多，有的是同一个物理原型的反复运用，加上各种物理情形的讨论， 有的是多个不同物理原型的综合。 对策：养成严谨的思维习惯。对于讨论题，常规考题设置了一些简化假设（比如没有摩擦，2004复赛第七题在碰撞停止之前水平速度一直向右等

13、等）。不要想当然，问问自己，有几种可能？都要考虑进去。,解：,线性恢复力，做振幅为A的简谐振动,弹性碰撞，注意：正负号，用恢复系数 （写能量守恒式子）,简谐振动，能量守恒 （不要把v 当成发射速度）,宇宙速度,2002决赛第五题,假设银河系的物质在宇宙中呈球对称分布，其球心称为银心。距离银心相等处的银河系质量分布相同。又假定距银心距离为r处的物质受到银河系的万有引力和将以r为半径的球面内所有银河系物质集中于银心时所产生的万有引力相同。 已知地球到太阳中心的距离为R0，太阳到银心的距离 太阳绕银心做匀速圆周运动，周期 。太阳质量为MS，银河系中发亮的物质仅分布在 的范围内。目前可能测得绕银心运动

14、的物体距银心的距离不大于6a，且在 范围内，物体绕银心运动的速率是一恒量。按上述条件解答： 1.论证银河系物质能否均匀分布 2.计算银河系中发光物质质量最多有多少 3.计算整个银河系物质质量至少有多少 4.计算银河系中不发光物质（暗物质）质量至少有多少 上述计算结果均用太阳质量MS表示。,解： 如果均匀分布，M(r)r3, v不可能是恒量。如果v=const, 必须M(r)r 为了确定M(a),两体问题,质点组动力学的 一个特殊问题,两个质点组成 的质点组,彼此以内力相互作用， 不受外力作用,彼此以内力相互作用， 不受外力作用,质心的运动,即系统动量守恒,直角坐标系：,质心坐标系CM fram

15、e 实验室系 lab frame,质心系是惯性系吗?,相对运动, 以质点2作为平动参考系（非惯性） 研究质点1相对运动,约化质量 Reduced mass,例(p241)：两个完全相同的滑块a和b，其质量均为m,用轻弹簧将它们连接，弹簧的原长为l,劲度系数为k。将整个系统放在光滑桌面上，并保持静止。在某个时刻（记t=0),突然给滑块a一个冲量，使它获得向右的初速度v0, 求解它们的运动。,分析：,质心运动方程,相对运动方程,a与b相对于质心各作简谐振动，它们的位相正好相反。,两质量分别为m1和m2的物体置于光滑水平面上，由一弹性系数为k的轻质弹簧相连。现将物体2由平衡位置向左移动一个距离L以后

16、释放，求：（1）物体1刚刚离开墙壁时两个物体的速度；（2）此后物体运动过程中物体1和2的最大速度；（3）求解物体1位置与时间的关系。,（1）,(2),(3),a、b、c、d 是位于光滑水平桌面上的四个小物块，它们的质量均为m。 a、b间有一自然长度为l, 劲度系数为k1的弹簧联接；c、d间有一自然长度为l, 劲度系数为k2的弹簧联接。四个物块的中心在同一直线上。如果b、c发生碰撞，碰撞是完全弹性的，且碰撞时间极短。开始时，两个弹簧都处在自然长度状态，物块c、d 静止， a、b以相同的速度v0向右运动。试定量论述 若k1 k2，四个物块相对于桌面怎样运动？ 若k1 4k2，四个物块相对于桌面怎样

17、运动？,2005决赛第六题,练习：飞船环绕地球飞行时，处于失重状态，因此不能用常规仪器测量重量，以导出宇航员的质量。太空实验室2号等飞船配备有身体质量测量装置，其结构是一根弹簧，一端连接椅子，另一端连在飞船上的固定点。弹簧的轴线通过飞船的质心，弹簧的倔强系数为k=605.6N/m。 (1) 当飞船固定在发射台上时，椅子（无人乘坐）的振动周期是T0=1.28195s。 计算椅子的质量m0 (2) 当飞船环绕地球飞行时，宇航员束缚在椅子上，再次测量椅子的振动周期T，测得T=2.33044s , 于是宇航员粗略地估算自己的质量。他对结果感到疑惑。为了得到自己的真实质量，他再次测量了椅子（无人乘坐）的

18、振动周期，得到T0=1.27395s。 问宇航员的真实质量是多少？飞船的质量是多少？ 注：弹簧的质量可以忽略，而宇航员是飘浮着。,开普勒第三定律的修正,F1 = m1v12 / r1 = 4 2 m1r1 / T2F2 = m2v22 / r2 = 4 2 m2r2 / T2.Newtons third law tells us that F1 = F2, and so we obtain r1 / r2 = m2 / m1,The total separation of the two bodies is given by a = r1 + r2 which gives r1 = m2a /

19、 (m1 + m2) Combining this equation with the equation for F1 derived above and Newtons law of gravitation gives Newtons form of Keplers third law:,42m1r1 /T2 = Gm1m2/a2,T2 = 42 a3/G(m1 + m2).,mv2 / a = Gm1m2 / a2 v=2a/T m=m1m2 / (m1 + m2),Solution II:,T2 = 4 2 a3 / G(m1 + m2).,旋转系统,IPhO20-2 不共线的三个点P1

20、,P2和P3质量分别为m1,m2和m3，彼此间仅有万有引力作用。令C代表过质点组（P1，P2，P3）质心并垂直于三角形P1P2P3所在平面的轴，当系统绕轴C旋转时，为使三角形P1P2P3的形状保持不变，那么质点间的距离P1P2a, P2P3=b, P1P3=c应满足什么关系？角速度应满足什么条件？即在什么样的条件下，系统能如刚体一样绕C轴旋转？,解: 取坐标原点在质心，则 引力 质点1惯性离心力 与引力平衡，故 代入 两项不共线，所以系数分别为零，,解：选取地面参考系。水相对于参考系转动，任选一小块水，其受力如下图。mg为重力，N为这一小块水周围液体对它的作用力的合力，N应垂直于液体表面。,a

21、n,例5 定量计算牛顿旋转水桶的水面形状。,此为抛物线方程，可见液面为旋转抛物面。,IPhO21-3中子星的旋转(p258) 毫秒脉冲星是宇宙中的一类辐射源，它们发射间隔周期为一到几毫秒的持续时间非常短的脉冲。这种辐射在无线电波长范围内，一台合适的无线电接收器便可用来检测各个脉冲，由此精确地测定其发射周期。 这些无线电脉冲来自于一种特殊的，称之为中子星的星体表面。中子星非常密实，它们的质量与太阳的质量有相同数量级，而半径只有数十公里。它们非常快地自旋。由于高速旋转，中子星稍被压扁（假定表面形状是长、短轴几乎相等的旋转椭球面）。 令rp代表极半径，re代表赤道半径；并定义扁平率因子为e=(re-rp)/rp. 考虑一个中子星，质量 2.0*1030kg, 平均半径1.0*104m, 旋转周期 2.0*102 s （1）计算其扁平率因子，（给定引力常数G）。 由于长期运动中能量损失，中子星的旋转减慢，从而导致扁平率减小。中子星有一固态壳层，它浮在液态内核上。中子星会时而发生“星震”，结果造成壳层形状改变。在一次这样的星震过程中及震后，壳层与内核的角速度都会变化，壳层角速度的变化如图所示。 （2）利用图中数据计算液态内核的平均半径。可近似认为壳层与内核密度相同（略去内核形