平面结构问题的有限单元法.pptx

1、1,4.1 平面应力问题,第四章 平面结构问题的有限单元法,4.2 平面应变问题,4.3 平面问题的离散化,4.4 平面三结点三角形单元,4.5 ANSYS平面结构计算示例,2,严格地说，任何弹性体都是处于三维受力状态，因而都是空间问题，但是在一定条件下，许多空间问 题都可以简化成平面问题。 平面问题可以分为两类：平面应力问题和平面应变问题。,图4-1 平面问题应力状态,第四章 平面结构问题的有限单元法,3,4.1 平面应力问题,图4-2(a) 平面应力问题,如图所示的深梁结构，其厚度方向的尺寸远比其它两个方向的尺寸小得多，可视为一薄板。它只承受作用在其平面内的载荷，且沿厚度方向不变，计算时以

2、中性面为研究对象。其力学特点是：,平面应力问题的应力应变转换矩阵即弹性矩阵为：,。,第四章 平面结构问题的有限单元法,4,图4-2(b) 平面应变问题,4.2 平面应变问题,图示为一圆形涵洞的横截面。其长度方向上的尺寸远比其它两个方向上的尺寸大得多，同样，载荷作用在xy坐标面内，且沿z轴方向均 匀分布。其力学特点是：,但一般情况下,平面应变问题的弹性矩阵只需将式(4-1)中的E换成,换成,，,即可。,。,第四章 平面结构问题的有限单元法,5,无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力,与 应变,之间的关系均为：,，其中：,为初应变。,式中,4.3 平面问题的离散化,(a) 三结点三角形单元 (b

3、) 四结点正方形单元 (c) 四结点矩形单元 (d) 四结点四边形单元,图4-3 平面问题单元的主要类型,第四章 平面结构问题的有限单元法,6,图4-4(a)表示的是带有椭圆孔的平板，在均匀压力作用下的应力集中问题。图4-5(b)是利用结构的对称性，采用三结点三角形单元而离散后的力学模型，各单元之间以结点相连。,(a) 均匀受力板力学模型 (b) 力学模型离散化,图4-4 平面问题有限单元法的计算力学模型,第四章 平面结构问题的有限单元法,7,4.4 平面三结点三角形单元,4.1.1 位移函数,图4-5 三角形单元,如果把弹性体离散成为有限个单元体，而且单元很小时，就很容易利用其结点的位移，构

4、造出单元的位移插值函数，即位移函数。,位移函数矩阵形式：,第四章 平面结构问题的有限单元法,8,简写为：,由于位移函数适用于单元中的任意一点，所以带入3个结点的坐标后，得出结点处位移函数为,简写为：,第四章 平面结构问题的有限单元法,9,解出,其中，,是三角形单元的面积，当三角形单元结点i、j、m按逆时针次序排列时，则有,4.4.2 形函数矩阵,第四章 平面结构问题的有限单元法,10,其中记号,表示将i、j、m进行轮换后，可得出另外两组带脚标的a、b、c的公式。,单元位移函数为结点位移的插值函数，即,第四章 平面结构问题的有限单元法,(4-9),11,令,在式(4-10)中表示的 称为形函数，

5、于是位移函数表达式用形函数表示为：,(4-10),(4-11),写成矩阵形式,(4-12),第四章 平面结构问题的有限单元法,12,由几何方程知,将式(4-9)代入式(4-13)中，并求偏导数，得,(4-13),4.4.3 单元的应力与应变,第四章 平面结构问题的有限单元法,13,简写为：,(4-14),由于B是常量，单元内各点应变分量也都是常量，这是由于采用了线性位移函数的缘故，这种单元称为常应变三角形单元。,(4-15),第四章 平面结构问题的有限单元法,14,由弹性力学的物理方程可知，其应力与应变有如下关系：,(4-16),将式(4-14)代入式(4-16)，得,(4-17),式中,(4

6、-18),S称为应力转换矩阵，对平面应力问题，其子矩阵为,(4-19),由式(4-17)看出，应力分量也是一个常量。在一个三角形单元中各点应力相同，一般用形心一点表示。其应变也可同样表示。,第四章 平面结构问题的有限单元法,15,用虚功原理来建立结点力和结点位移间的关系式，从而得出三角形单元的刚度矩阵。,(a) 实际力系 (b) 虚设位移,图4-6 弹性体虚功原理的应用,4.4.4 三角形单元刚度矩阵,第四章 平面结构问题的有限单元法,16,结点力列向量和应力列向量分别为,结点虚位移列向量和虚应变列向量为,用虚功原理建立三角形单元的虚功方程为,由式(4-12)式知,，,代入式(4-20)得,(

7、4-20),第四章 平面结构问题的有限单元法,17,由于虚位移是任意的，等号两边可左乘,，得,(4-21),三角形单元的刚度矩阵可写成,(4-22),用分块矩阵形式表示,(4-23),第四章 平面结构问题的有限单元法,18,结构的平衡条件可用所有结点的平衡条件表示。假定i 结点为结构中的任一公共结点，则该结点平衡条件为：,i 结点的结点力列向量,围绕i结点所有单元的结点力的向量和,i结点的载荷列向量。,4.4.5 整体刚度矩阵,第四章 平面结构问题的有限单元法,19,每个结点由两个平衡方程组成，若结构共有n个结点，则有2n个平衡方程。整个结构的平衡条件由式(4-24)求和得到，即：,i1，2，

8、n,(4-26),(4-27),其中，K为结构整体刚度矩阵； 为结构的结点位移列向量。,(4-28),第四章 平面结构问题的有限单元法,20,将式(4-26)、式(4-27)代入式(4-25)中得,(4-29),整体刚度矩阵也可按结点写成分块矩阵的形式：,(4-30),同杆系结构一样，整体刚度方程经过约束处理后，即可求出结点位移，进而求出所希望的应力场。,第四章 平面结构问题的有限单元法,21,4.5 ANSYS平面结构计算示例,4.5.1问题描述,如图4-7所示长方形板ABCD，板厚0.04m，孔半径r=0.2m，E=210GPa，泊松比=0.3，约束条件：在长方形底边AD约束全部自由度,

9、BC边施加垂直向下均布载荷g=10000000N/m。,图4-7 长方形板结构,4.5.2 ANSYS求解操作过程,打开Ansys软件，在Ansys环境下做如下操作。,第四章 平面结构问题的有限单元法,22,图4-8 单元类型对话框,（1）选择单元类型 运行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete，弹出Element Types对话框，如图4-8所示。单击Add，弹出 Library of Element Types窗口，如图4-9所示，依次选择Structural Solid，Quad 8 node 82，单击OK。,图4-9 单元类型库对话框,第四章

10、平面结构问题的有限单元法,23,在Element Types对话框中，如图4-10所示，单击Options，弹出如图4-11所示对话框，设置K3选项栏为Plane strs w/thk，设置K5选项栏为Nodal stress，设置K6选项栏为No extra output。表示单元是应用于平面应力问题，且单元是有厚度的。,图4-10 单元类型对话框,图4-11 PLANE82 单元选项设置对话框,第四章 平面结构问题的有限单元法,24,（2）定义实常数 运行PreprocessorReal ConstantsAdd /Edit/Delete，弹出如图4-12所示对话框，点击Add，弹出如图4

11、-13所示对话框，点击OK，弹出如图4-14所示对话框，在THK选项栏中设置板厚度为0.04m。设置完毕单击OK按钮。,图4-12 实常数对话框,图4-13 选择要设置实常数的单元类型,图4-14 PLANE82实常数设置,第四章 平面结构问题的有限单元法,25,（3）设置材料属性 运行PreprocessorMaterial PropsMaterial Models，弹出如图4-15所示对话框，依次双击Structural，Linear，Elastic，Isotropic，弹出图4-16所示对话框，在EX选项栏中设置数值 2.1e11，在PRXY选项栏中设置数值0.3。设置完毕单击OK按 钮

12、。,图4-15 选择材料属性对话框,图4-16 设置材料属性对话框,第四章 平面结构问题的有限单元法,26,（4）建立模型 运行PreprocessorModelingCreateAreaRectangleBy 2 Corners，弹出如图4-17所示对话框，设置参数， WP X选项栏中填写0，WP Y选项栏中填写0，Width选项栏中填写1.5，Height选项栏中填写1，单击OK。继续运行PreprocessorModelingCreateAreaCircleSolid Circle，得到如图4-18所示对话框，在WP X选项栏中填写0.75，WP Y选项栏中填写0.5，在Radius选项

13、栏中填写0.2，设置完毕点击OK按钮。,图4-17 建立矩形对话框,图4-18 创建实 心圆对话框,第四章 平面结构问题的有限单元法,27,进行布尔运算：PreprocessorModelingOperateBooleans SubtractAreas，先选矩形面单击 OK，再单击圆面，单击OK。得 到如图4-19所示图形。,图4-19 长方形板模型,（5）划分网格 运行MeshingSize CntrlsManual SizeAreasAll Areas，弹出如图4-20所示对话框，在SIZE选项栏中填写0.05，点击OK按钮。,图4-20 设置网格尺寸对话框,第四章 平面结构问题的有限单元

14、法,28,运行MeshMesh Tool，弹出如图4-21所示对话框，在Shape选项栏后面，选择Tri和Free，单击Mesh.划分网格，网格划分如图4-22所示。,图4-21 网格划分对话框,图4-22 划分网格后的有限元模型,第四章 平面结构问题的有限单元法,29,图4-23 施加全约束,（6）施加约束 选择菜单SolutionDefine LoadsApplyStructure DisplacementOn Lines，选择长方形底边，弹出图4-23所示对话框，选择All DOF，单 击OK。,（7）施加载荷 选择菜单SolutionDefine LoadsApplyStructure

15、 PressureOn Lines，弹出如图4-24所示对话框。拾取长方形上边，单击OK按钮。弹出如图4-25所示对话框。在VALUE选项栏中填写10000000。设置完毕点击OK完成设置。,第四章 平面结构问题的有限单元法,30,图4-24 拾取要施加载荷的边,图4-25 施加载荷对话框,（8）求解 运行SolutionSolveCurrent LS，弹出如图4-26所示对话框。单击OK按钮，开始计算，计算结束会弹出计算完毕对话框，单击Close关闭对话框，计算完毕。,图4-26 求解当前步载荷对话框,第四章 平面结构问题的有限单元法,31,（9）后处理 运行 General PostprocPlot ResultsContour Plot Nodal Solu，弹出如图4-27所示对话框，运行DOF SolutionDisplacement vector sum和Stre