高中物理相遇和追击问题

1、最新资料推荐相遇和追及问题分析1. 相遇和追及问题的实质 : 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。2. 画出物体运动的情景图，理清三大关系（ 1）时间关系：tAt Bt0 （ 2）位移关系：sAsBs0（ 3）速度关系：两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。3. 两种典型追及问题（ 1）速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）当 v1=v2 时， A 末追上 B，则 A、 B 永不相遇，此时两者间有最小距离；当v1=v2 时， A 恰好追上B，则 A、 B 相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件；当v1v2 时， A 已追

2、上B，则 A、 B 相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。（ 2）同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追速度大者（匀速）当 v=v2时， A、 B 距离最大；当两者位移相等时, 有 v=2v 且 A 追上 B。 A 追上 B 所用的时间等112于它们之间达到最大距离时间的两倍。4. 相遇和追及问题的常用解题方法: 画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。1) 基本公式法根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解2) 图像法正确画出运动的v-t图像 , 根据图像的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求解

3、3) 相对运动法巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，根据运动学公式列式求解 4) 数学方法根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中判别式求解。5.追及和相遇问题的求解步骤两个物体在同一直线上运动，往往涉及追及，相遇或避免碰撞等问题，解答此类问题的关键条件是：两物体能否同时达到空间某位置。基本思路是： 分别对两物体进行研究；画出运动过程示意图； 列出位移方程 找出时间关系，速度关系 解出结果，必要时进行讨论。(1)追及问题： 追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件。第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀减速

4、直线运动）当两者速度相等时,追者位移追者位移仍小于被追者位移,则永远追不上,此时两者之间有最小距离。若两者位移相等,且两者速度相等时,则恰能追上 ,也是两者避免碰撞的临界条件。若两者位移相等时,追着速度仍大于被追者的速度,则被追者还有一次追上追者的机会,当速度相等时1最新资料推荐两者之间距离有一个最大值。在具体求解时,可以利用速度相等这一条件求解,也可以利用二次函数的知识求解，还可以利用图象等求解。第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（匀速直线运动）。 当两者速度相等时有最大距离 当两者位移相等时，则追上具体的求解方法与第一类相似，即利用速度相等进行分析还可利用二次函

5、数图象和图象图象。(2)相遇问题 同向运动的两物体追及即相遇 相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时相遇6.分析追及，相遇问题时要注意(1)分析问题是，一个条件，两个关系。一个条件是：两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小及是否恰好追上等。两个关系是：时间关系和位移关系。时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；而位移关系是指两物体同地运动还是一前一后等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有好处。(2)若被追赶的物体做

6、匀减速直线运动，一定要注意，追上前该物体是否已停止运动。仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖出题目中的隐含条件，如“刚好”，“恰巧”，最多“， ”至少“等。往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。7.追及问题的六种常见情形(1)匀加速直线运动的物体追匀速直线运动的物体：这种情况定能追上，且只能相遇一次；两者之间在追上前有最大距离，其条件是V 加 = V 匀(2)匀减速直线运动追匀速直线运动物体：当V 减 = V 匀 时两者仍没到达同一位置，则不能追上；当V 减 =V 匀 时两者正在同一位置，则恰能追上，也是两者避免相撞的临界条件；当两者到达同一位置且V 减 V 匀时，则有两次相遇的机会

7、。(3)匀速直线运动追匀加速直线运动物体：当两者到达同一位置前，就有V 加 = V 匀，则不能追上；当两者到大同位置时V 加 = V 匀 ，则只能相遇一次；当两者到大同一位置时V 加 V 匀 则有两次相遇的机会。(4)匀速直线运动物体追匀减速直线运动物体：此种情况一定能追上。(5)匀加速直线运动的物体追匀减速直线运动的物体：此种情况一定能追上。(6)匀减速直线运动物体追匀加速直线运动物体：当两者在到达同一位置前V 减 = V 加，则不能追上；当V 减 = V 加 时两者恰到达同一位置，则只能相遇一次；当地一次相遇时V 减 V 加 ，则有两次相遇机会。 （当然，追及问题还有其他形式，如匀加速追匀

8、加速，匀减速追匀减速等，请同学们独立思考）。8. 典型例题2最新资料推荐例 1.A 火车以 v1=20m/s速度匀速行驶, 司机发现前方同轨道上相距100m 处有另一列火车B 正以v2=10m/s 速度匀速行驶， A 车立即做加速度大小为a 的匀减速直线运动。要使两车不相撞,a 应满足什么条件？解 1：（公式法）两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。由A、 B 速度关系：v1at v2 由A、 B 位移关系： v1t1 at 2v2tx0a(v1 v2 )2(2010)2m/ s20.5m/ s2a0.5m / s222x02100解 2：（图像法）在同一个v-t图中画出 A 车和 B 车

9、的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t 0时梯形与矩形的面积之差最大, 为图中阴影部分三角形的面积 . 根据题意 , 阴影部分三角形的面积不能超过100.1(2010 )t 0100t 0 20satan20100.5220a0.5m / s2物体的 v-t图像的斜率表示加速度,面积表示位移。解 3：（相对运动法）以B 车为参照物， A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a 减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt =0。222ax02202vtv0v tv 01022a2100m / s0 . 5 m / s（由于不涉及

10、时间，所以选用速度位移2 x 0a0.5m / s2 备注： 以 B 为参照物 , 公式中的各个量都应是相对于B 的物理量 . 注意物理量的正负号。解 4 ： （ 二 次 函数 极 值 法 ） 若 两 车 不相 撞 ， 其 位 移 关 系 应 为 v1t1 at 2v2t x0代入 数 据 得 ：21 at 2 10 t1000 其图像 ( 抛物线 ) 的顶点纵坐标必为正值, 故有 41a100( 10 )20a 0.5m / s2 把221a42物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。例 2. 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s 2 的加速度开始加速行驶，恰在这时一

11、辆自行车以6m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？解 1：（公式法）当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则v 汽atv自v自6s2 sta3x mx 自x 汽v自 t1at262 m132 2 m6 m223最新资料推荐解 2：（图像法）在同一个v-t图中画出自行车和汽车的速度时间图像，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t 0 时矩形与三角形的面积之差最大。v-t图像的斜率表示物体的加速度tan3t02s6t 0当 t=2

12、s时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积x m126 m6 m动态分析随着时间的推2移, 矩形面积（自行车的位移）与三角形面积（汽车的位移）的差的变化规律.解3：（相对运动法）选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对自行车沿反方向做匀减速运动v0=-6m/s ，a=3m/s 2，两车相距最远时 vt =0对汽车由公式v tv0at（由于不涉及位移，所以选用速度公式）tvt v0 0 ( 6) s2sa3对汽车由公式： vt2v022as（由于不涉及“时间”，所以选用速度位移公式。）222sv tv 00(6 )m6 m表示汽车相对于自行车是向后运动的, 其相对于自行车的位2

13、 a23移为向后 6m.解 4 ： （ 二 次 函 数 极 值 法 ） 设 经 过 时 间 t 汽 车 和 自 行 车 之 间 的 距 离x ， 则xv自 t1at26 t3262s时 ，x m6 26 m2t当 t3322)( )4 (22思考： 汽车经过多少时间能追上摩托车?此时汽车的速度是多大 ?汽车运动的位移又是多大？x6 t3 t 20T4 s v汽aT12 m / ss 汽1aT2 24 m22例 3. 一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB 边重合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为 1，盘与桌面间的动摩擦因数为 2。现突然以恒定加速度a 将桌布抽

14、离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB 边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么？( 以 g 表示重力加速度 )解 ： 设 圆 盘 的 质量 为 m， 桌 长 为 l ，在 桌 布 从 圆 盘 上 抽 出 的 过 程 中 ， 盘 的 加 速 度 为 a1 ， 有1mg ma1 桌布抽出后，盘在桌面上作匀减速运动，以a2 表示加速度的大小，有2 mgma2 设盘刚离开桌布时的速度为v1，移动的距离为x1，离开桌布后在桌面上再运动距离x2 后便停下，有 v122a1x1v122a2 x2 盘没有从桌面上掉下的条件是x1 x2l2设 桌 布 从盘 下 抽 出所 经历 时 间 为 t

15、，在 这段 时间 内 桌 布移 动 的 距离为x ，有x1 at 2x11 a1t 2而xlx 1由以上各式解得： a1221 g2222例 4.一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a 3 m/s2 的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v0 6m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前4最新资料推荐经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？(2) 当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？解析：法一： 用临界条件求解(1)当汽车的速度为v6 m/s 时 ,二者相距最远，所用时间为v 2 s,最t a远距离为s v1 2 6 m.0 tat2

16、12(2)两车距离最近时有v0t 2at解得 t 4 s 汽车的速度为v at 12 m/s.法二 :用图象法求解(1)汽车和自行车的vt 图象如图所示，由图象可得t 2s 时，二者相距最远最远距离等于图中阴影部分的面积，即s1 6 2 m 6 m.2(2)两车距离最近时，即两个vt 图线下方面积相等时，由图象得此时汽车的速度为v 12 m/s.法三 :用数学方法求解(1)由题意知自行车与汽车的位移之差为12因二次项系数小于零，当t v0 2 s 时s v0t at22 1a2有最大值，最大值sm v0t1at2 6 2 m 1 3 22 m 6 m.22(2)当s v0t1at2 0 时相遇

17、得 t 4 s，汽车的速度为vat12 m/s.2分析追及、相遇问题的常用方法1) 物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景2) 相对运动法：巧妙地选取参考系 , 然后找两物体的运动关系3) 极值法：设相遇时间为t , 根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论, 若0，即有两个解，说明可以相遇两次；若 0，说明刚好追上或相遇；若0,说明追不上或不能相碰4) 图象法：将两者的速度时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解.一道“追及和相遇问题”试题的思考和引申A 、B 两列火车在同一轨道上同向

18、行驶，A 在前，速度为vA 10m/s， B 在后，速度为vB 30m/s，因大雾能见度低， B 车在距 A 车 500m 时，才发现前方有A 车，这时 B 车立即刹车，但要经过1800mB 车才能停下，问：(1) 车若要仍按原速前进，两车是否相撞？试说明理由。(2)B 在刹车的同时发出信号，A 车司机在收到信号1.5s 后加速前进， A 车加速度为多大时，才能避免事故发生？（不计信号从A 传到 B 的时间）第一问的解法如下：s0sA解： 先求 B 车从刹车到停下来所需时间tB由 sB = 1 vB tB 得tB= 2sB=2 1800 s=120s2vB30再求在相同的时间内A 车通过的位移

19、sA, sA =v A tB=10 120m=1200msB最后比较 sA +s0 和 sB 的大小关系即可判断结果 .由于 sA +s0=(1200+500)m=1700m 故 sA+s0 sB 由位置关系图可知两车会相撞。提问 1：通过上面的计算我们知道两车能相撞，试问它们何时相撞？解：设 B 车刹车后经过时间t 两车相遇，依题意有sA +s0=sB 而 sA=v A t， sB =v B t+ 1at2（其中 a 为 B25最新资料推荐车刹车过程中的加速度，根据已知条件很易求出a -0.25m/s 2），将 sA、 sB 的表达式代入上式解得t1=31s，t2=129s提问 2：为什么有

20、两个解？t2 是否有意义？答： A 、 B 两车相撞两次，第一次是B 车追上 A 车，第二次是 A 车追上 B 车。两车只能相撞一次，故t2 没有意义。提问 3： B 车追上 A 车时，哪车的速度大？答： B 车的速度大， 因为 B 车从减速到和 A 车的速度相等所需的时间为：t= vA a vB= 100.2530 s=80s，因为 t t1，故 B 车的速度大。提问 4：若 A、 B 两车相遇但不会相撞， A 车又追上 B 车时， B 车的速度是多大？从B 车开始减速到两车第二次相遇共需多少时间？答：由于 B 车刹车后经过120s 后就停下来，故 129s 时它的速度仍为零。由于B 车停止

21、后不能往后倒，故第二次相遇所需时间为：t2= sBs0= 1800500 s=130s。这是一个实际问题，要注意解的合理性。vA10提问 5：若开始两车相距700m，试问两车是否会相撞？答：由于 sA +s0=1200+700m=1900m ，而 sB=1800m，即 sA +s0 sB ，故两车不会相撞。提问 6：若用第二种方法，即设B 刹车后经过时间t 两车相撞，方程是否有解呢？答：由 sA +s0=sB 得 vA t+ s0=v B t+122移项并整理得2该方程的2at 即 10t+700=30t-0.125tt -160t+5600=0判别式为 =1602-4 5600=3200 0

22、，故该方程有解，即相撞，并且有相遇两次的可能。原来先是B 超过 A ，后来 A 又超过 B ，我们不能认为开始时A 在 B 的前面，后来A 仍在 B 的前面，就得出两车不相撞的结论。由此可见用简单的位移关系是得不出正确结果的。提问 7：试问： 若要使两车不相撞，开始时两车间的距离s0 至少为多少？解：设两车经过时间t 后相撞，由位置关系易得出：vA t+ s 0=v B t +1 at2 即 10t+s0=30t-0.125t 2 移项并2整理得 t2-160t+8s0=0 要使两车不相撞，即要使该方程无解，即即1602-4 8s0 0 故 s0 800m，即开始时两车间的距离至少为800m。

23、提问 8：若两车刚好能相撞，相撞时两车的速度有何关系？答：应该刚好相等，刚开始时B 车的速度比 A 车的速度大，两车之间的距离减小，当两车的速度达到相等时，距离最小，之后两车之间的距离将变大，若速度相等时还没有相遇，则两车不会再相遇。若s0=800m 时，解得 t=80s，此时 B 车的速度为 v B=v B +at=30+(-025) 80m/s=10m/s=v A 。规律总结： 求追及、相遇或相撞问题时，若问两物体能否相撞，一般是设经过时间t 后两物体相撞，根据位移关系列出方程，它一般是关于t的二次方程，然后根据判别式的正、负或零来判断，若，则二者能相撞，若，则不能相撞；若问二者何时相撞，

24、解法同上，但要注意解是否合理，是否是实际问题；若问能相遇几次，解出相遇所需的时间，有几个解，就能相遇几次，同样要注意解是否合理；若求两者之间的最大或最小距离，通常求出两物体速度达到相等时各自的位移，两位移之差即为两物体之间6最新资料推荐的最大或最小距离；也可设经过时间t 后两者相距S，根据位置关系写出 S 的表达式，然后根据二次函数求极值的方法可以求出（一般用配方的方法来求）。这样，该题第二问的解法很易得出：设B 车刹车后经过 ts 两车刚好相撞，则应有： s B= s A +s0即 v B t+ 1 a B t 2=v A t0+ v A (t-t 0)+1 a A (t-t 0 )2+s0

25、 ， 30t- 1 t 2=15+10(t-1.5)+1 a A (t-1.5) 2+500 刚好相撞，22822则 =0，解得 a A =0.16m/s9.总结一 .物理模型： 同一直线，同向（反向）运动。二 .时间关系1.同时出发，在俩者运动中追及，t A tB 。 2.同时出发，在一个运动中，一个静止追及，tAt Bt 。 3.根据物体运动的特点，核对其运动的时间：确定有无运动的多过程问题。三.出发地点关系1.同地追及，同一地点出发，最后追及相遇xAxB 2.异地追及，不在同一地点，最后追及相遇xAxBx四.位移关系： A 为汽车 B 为自行车，俩物体的相距x ，追上时 A 走过的位移

26、xA ， B 走过的位移xB ，xAxxB 。五.追及过程的距离极值问题：在追及过程中，当vA vB ， A ， B 俩物体之间达到距离的极值，可能为最大或最小，具体问题具体分析。六.追及过程中的恰好不相碰问题1.追上的瞬间位移关系： xAxxB 2.追上的瞬间速度关系：vAvB七.追上的瞬间比较加速度，分析二次追及问题1.追上的瞬间位移关系： xAxxB 2.追上的瞬间速度关系：vAvB ，3.追上时的加速度关系aAaB ,不会发生二次追击：aB , 会发生二次追击aA八.讨论有无二次追及的可能 :已知 A ， B 俩物体相距 x0 ， A 追及 B ，讨论追及可能发生的相关问题。1.当 A

27、 的瞬时速度 vA1 与 B 的瞬时速度 vB 1 相等时，即 vA1 = vB1 ， A 的位移为 xA ， B 的位移为 xB ，则xxAxB2.讨论 x0 与 x 的关系，xx0aAaB , AB不会发生追击问题。aAaB , AB会发生追击问题, 且一次。x x0， AB会发生追击问题 , 且一次。xx0aAaB , AB发生二次追击问题。aAaB , AB会发生追击问题, 且一次。九 .会使用图像法解决追及相遇问题1.找到 vA = vB 相等的时刻 2.比较面积发现 xA与 xB 的关系 3.根据斜率比较加速度 aA与 aB 的关系 4.确定解题方法7最新资料推荐十 .追及问题的解题步骤1. 分析两物体运动过程及规律，画出两物体运动的示意图2. 核实运动的时间关系，