微专题15-导数的单调性、极值点、极值、最值-2020高考数学(理)二轮复习微专题聚焦

1、微专题15 函数的单调性、极值点、极值、最值2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦【考情分析】利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题是高考考查的重要内容之一，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等，有时出现在解答题中.重点考查分类讨论思想、函数与方程思想、转化与化归思想，对学生的分析问题的能力要求较高，考查考生的逻辑推理、数学抽象的学科核心素养.考点一 利用导数研究函数的单调性【必备知识】1、函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内(1)如果，那么函数在单调递增；(2)如果，那么函数在单调递减；(3)如果，那么函数在上是常数函数.2、由导数求单调

2、区间的步骤(1)求定义域.(2)求导数.(3)由导数大于0求单调递增区间,由导数小于0求单调递减区间.3、两个条件(1)是函数为增函数的充分不必要条件.(2)是函数为减函数的必要不充分条件.4、三点注意(1)在函数定义域内讨论导数的符号.(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号,不用“”,可用“,”或用“和”.(3)区间端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区间.【典型例题】【例1】已知函数,当时，讨论函数的单调性.【解析】函数的定义域为，则，令解得，当即a=1时，恒成立，则的单调递增区间为，当即a1时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当即0a1时，的单调递增区间为，单调递减区间为。【方法

3、归纳 提炼素养】数学思想是分类讨论思想，核心素养是数学运算.利用导数讨论(证明)函数在内单调性的步骤(1)求.(2)确认在内的符号.(3)得出结论:时为增函数,时为减函数.注:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.分类的标准（i）按导函数是否有零点分大类；（ii）在大类中再按导函数零点的大小比较分小类；（iii）在小类中再按零点是否在定义域中分类.【类比训练1】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）略.【解析】（1），令，则，则在上单调递增，.若，则，则，则在上单调递增；.若，则，则，则在上单调递减；.若，则，又在上单调递增，结合零点存在性定理知：存在唯一实

4、数，使得，当时，则，则在上单调递减，当时，则，则在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，存在唯一实数，使得，在上单调递减，在上单调递增. 【类比训练2】已知函数.（1） 若m=1，求曲线在点处的切线方程；（2） 讨论函数在上的单调性.【解析】（1）若m=1，则，所以，所以切线的斜率为0，所以切线方程为.（2）因为，令，是过点（0,1）的一次函数，当时，在上，所以函数在上单调递增.当时，在上是减函数，由的图像可知，（i） 当，即时，所以函数在上单调递增；（ii） 第，即时，在上，函数在上单调递增，在上，在上单调递减；（iii） 第，即时，函数在上单调递减.考点二 利用导

5、数求函数的极值（点）【必备知识】1、函数的极值与导数若函数在点处的函数值比它在附近的其他值都小，并且在的左侧，在的右侧，那么点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值.若函数在点处的函数值比它在附近的其他值都大，并且在的左侧，在的右侧，那么点叫做函数的极大值点，叫做函数的极小值.注：极值点一点是方程的根；但方程的根不一定是函数的极值点。2、求函数的极值的方法步骤（1）求函数的定义域；（2）求导函数，并分解因式（3）解方程的根；（4）列表判断在各极值点左、右两侧导函数的符号及函数的单调性；（5）下结论，写出极值（点）.【典型例题】【例2】已知（1）令，求证：有唯一的极值点；（2）若点A为函数上的任意

6、一点，点B为函数上的任意一点，求A,B两点之间距离的最小值【解析】（1）证明：由题意知，所以，由单调递增，在上单调递减，所以在上为单调递增，又，所以存在唯一的，使得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以有唯一的极值点（2）解：由，则在点处的切线为，又，则在点处的切线为，由于与互为反函数，即函数图象关于对称，如图，故而两点间的距离即为与之间的距离，所以两点间的距离的最小值为【方法归纳 提炼素养】数学思想是函数与方程思想，核心素养是逻辑推理.利用导数研究函数极值的一般流程【类比训练1】已知函数.(1)若函数在和处取得极值,求的值;(2)在(1)的条件下,当时,恒成立,求的取值范围.【解析】(1),

7、又函数在和处取得极值, 和是方程的两根, ,解得,经检验得符合题意, .(2)由(1)得, 当或时,单调递增,当时,单调递减, ,当时,恒成立, ,解得, 实数的取值范围为.【类比训练2】 若函数有极值,则的取值范围是.【解析】由题意得，若函数有极值,则一元二次方程有两个不同的实数根,即，整理可得，据此可得的取值范围是.考点三 利用导数求函数的最值【必备知识】1、函数的最值与导数（1）函数的最值存在性原理如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么函数在区间上一定有最大值和最小值。（1） 函数在区间上的最大值和最小值只可能出现在极值点或区间端点处。2、求函数在区间上的最值的方法步骤（1）求

8、导函数，并分解因式；（2）解方程，求出所有可能的极值点；（3）求函数的各个极值与端点处的函数值f(a),f(b)，比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.3、记住两个结论(1)若函数在开区间(a,b)内的极值点只有一个,则相应极值点为函数最值点.(2)若函数在闭区间a,b的最值点不是端点,则最值点亦为极值点.【典型例题】【例3】已知.(1)若，求在上的最小值；(2)求的极值点。【解析】（1），因为，所以所以在上是减函数，所以最小值为（2） 定义域为，令得因为，所以当时，当时所以在单调递增，在单调递减，所以为极大值点，无极小值点。【方法归纳 提炼素养】数学思想是函数与方程思想，核心

9、素养是数学运算.解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小.(2)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过比较才能下结论.(3)函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.【类比训练1】已知函数.(1)当时,求函数的单调区间; (2)当时,求函数在区间上的最小值.【解析】(1)当时,令,解得;令,解得;在递增,在递减.(2)由得,令,解得,时,即时,对恒成立,在递增,;当时,即时,在上的情况如下:递减极小值递增,综上,时,时，.【类比训练2】函数f(x)=ln x-x在区间(0,e上的最大值为()A.1-e

10、 B.-1 C.-e D.0【解析】选B.因为,当时,;当时,所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e,所以当x=1时,f(x)取得最大值ln1-1=-1.做高考真题 提能力素养【选择题组】【2017全国甲卷理科T11】若x=-2是函数f(x)=(+ax-1)的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1 B.-2 C.5 D.1【解析】选A.由题可得f(x)=(2x+a)+(+ax-1)=+(a+2)x+a-1,因为f(-2)=0,所以a=-1,f(x)=(-x-1),故f(x)=(+x-2),令f(x)0,解得x1,所以f(x)在(-,-2)和(1,+)上单调递增,在(-

11、2,1)上单调递减,所以f(x)极小值为f(1)=(1-1-1)=-1.【非选择题组】1、【2019北京卷】 设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是.【答案】-1(-,0【解析】因为f(x)为奇函数,且f(x)的定义域为R,所以f(0)=0,所以e0+ae-0=0,解得a=-1.因为f(x)在R上为增函数,所以f(x)=ex-aex0在R上恒成立,即ae2x在R上恒成立,又因为e2x0,所以a0,即a的取值范围为(-,0.2、【2018全国卷】 已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是.【答案

12、】-332【解析】 因为f(x+2)=2sin(x+2)+sin(2x+4)=f(x),所以2是函数f(x)的一个周期,不妨取区间0,2进行分析.f(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2,令f(x)=0,解得cos x=12或cos x=-1.当x在0,2上变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x0,333,535353,2f(x)+0-0-0+f(x)极大值极小值可知函数f(x)在0,2上的极小值即为函数f(x)在定义域上的最小值,所以f(x)min=f53=2sin53+sin103=-332.3、【2018江苏卷】 若函数f(x)=2x3-ax2+1(

13、aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为.【答案】-3【解析】由题意得,f(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).当a0时,对任意x(0,+),f(x)0,则函数f(x)在(0,+)上是增函数,则f(x)f(0)=1,则f(x)在(0,+)上没有零点,不满足题意,舍去.当a0时,令f(x)=0及x0,得x=a3,则当x0,a3时,f(x)0,因此函数f(x)的单调递减区间是0,a3,单调递增区间是a3,+,在x=a3处f(x)取得极小值fa3=-a327+1.而函数f(x)在(0,+)内有且只有一个零点,所以fa3=-a327+1=0,解得a=3,因

14、此f(x)=2x3-3x2+1,则f(x)=2x(3x-3).令f(x)=0,结合x-1,1,得x=0或x=1.而当x(-1,0)时,f(x)0,当x(0,1)时,f(x)0,则当x(-,0)a3,+时,f(x)0,当x0,a3时,f(x)0,故f(x)在(-,0),a3,+单调递增,在0,a3单调递减;若a=0,f(x)在(-,+)单调递增;若a0,当xa3,0时,f(x)0,故f(x)在-,a3,(0,+)单调递增,在a3,0单调递减.(2)满足题设条件的a,b存在.(i)当a0时,由(1)知,f(x)在0,1单调递增,所以f(x)在区间0,1的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-

15、a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.(ii)当a3时,由(1)知,f(x)在0,1单调递减,所以f(x)在区间0,1的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.(iii)当0a3时,由(1)知,f(x)在区间0,1的最小值为fa3=-a327+b,最大值为b或2-a+b.若-a327+b=-1,b=1,则a=332,与0a3矛盾.若-a327+b=-1,2-a+b=1,则a=33或a=-33或a=0,与0a3矛盾.综上,当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时,

16、f(x)在区间0,1的最小值为-1且最大值为1.5、【2019江苏卷】设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,cR,f(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若ab,b=c,且f(x)和f(x)的零点均在集合-3,1,3中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0b1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M427.【解析】(1)因为a=b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3.因为f(4)=8,所以(4-a)3=8,解得a=2.(2)因为b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x3-(a+2b)x2+b(2a+

17、b)x-ab2,从而f(x)=3(x-b)x-2a+b3.令f(x)=0,得x=b或x=2a+b3.因为a,b,2a+b3都在集合-3,1,3中,且ab,所以2a+b3=1,a=3,b=-3.此时,f(x)=(x-3)(x+3)2,f(x)=3(x+3)(x-1).令f(x)=0,得x=-3或x=1.列表如下:x(-,-3)-3(-3,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)(1+3)2=-32.(3)证明:因为a=0,c=1,所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx,f(x)=3x2-2(b+1)x+b.因为00,则f(x)有2个不同的零点,设为x1,x2(x1x2).由f(x)=0,得x1=b+1-b2-b+13,x2=b+1+b2-b+13.列表如下:x(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值M=f