高中理科椭圆的典型例题

1、最新资料推荐典型例题一例 1 椭圆的一个顶点为 A 2，0 ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：（1）当 A 2，0 为长轴端点时， a2 ， b 1 ，椭圆的标准方程为： x2y21 ；41（2）当 A 2，0 为短轴端点时， b 2， a 4 ，椭圆的标准方程为： x2y21 ；416说明：椭圆的标准方程有两个， 给出一个顶点的坐标和对称轴的位置， 是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况典型例题二例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率解：2ca 221 3c2a2 ，c3 e13 33说明：求椭圆的离心率问

2、题，通常有两种处理方法，一是求a ，求 c ，再求比二是列含 a 和 c 的齐次方程，再化含 e 的方程，解方程即可典型例题三例 3 已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x y1 0 交于 A 、 B 两点， M 为 AB 中点，OM 的斜率为 0.25 ，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程解：由题意，设椭圆方程为x 2y 21，a 2xy10a 2 x22a2 x由 x2y21，得 10 ，a2 xMx1x21a2， yM1 xM1222 ，a1 akOMyM11 ， a24，xMa 241最新资料推荐 x2y 21为所求4说明：（ 1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法； （2）直线

3、与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题典型例题四x229例 4 椭圆y1上不同三点，与焦点， 的距离成等差数列，259A x1 y1 ， B 45， C x2 y2F 4 0（1）求证 x1x28 ；（2）若线段 AC 的垂直平分线与 x 轴的交点为 T ，求直线 BT 的斜率 k 证明：（1）由椭圆方程知 a5 ， b3 ， c4 由圆锥曲线的统一定义知：AFc ，AF a ex14x1 a 2a5 5cx1同理CF54x2 AFCF 2 BF ，且 BF9，55441855 x155 x25 ，即x1x28 （2）因为线段 AC 的中点为y1y2，所以它

4、的垂直平分线方程为4，2yy12y2 x1x2 x4 y1y2又点 T 在 x 轴上，设其坐标为x0，0 ，代入上式，得 x04y12y222 x1x2又点 A x1， y1 ， B x2， y2 都在椭圆上， y12 9 25 x12 25y229 25 x2225922y1y225x1x2 x1x2 93605将此式代入，并利用x1 x28 的结论得 x0 4 kBT5254 x04典型例题五2最新资料推荐例 5 已知椭圆 x2y 21 ，F1 、F2 为两焦点，问能否在椭圆上找一点 M ，使 M 到左准线 l 的距离 MN43是 MF1 与 MF2 的等比中项？若存在，则求出点 M 的坐

5、标；若不存在，请说明理由解：假设 M 存在，设 M x1， y1，由已知条件得a 2 ， b3 ， c1 ， e1 左准线 l 的方程是 x4 ，2 MN 4 x1 又由焦半径公式知：MF1 a ex1 21 x1 ， MF2a ex121 x1 21 x121 x1 MNMF1 MF2 ， x14222222整理得 5x1232 x148 0 解之得 x14 或 x112 5另一方面2 x12则与矛盾，所以满足条件的点M 不存在说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算进而根据推理得到的结果，再作判

6、断（3）本例也可设 M 2 cos ，3 sin存在，推出矛盾结论（读者自己完成） 典型例题六例 6 已知椭圆x2y21，求过点P1122， 且被 P 平分的弦所在的直线方程2分析一： 已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求 k 解法一： 设所求直线的斜率为 k ，则直线方程为 y1k x1 代入椭圆方程，并整理得221 2k 2 x22k 22k x1 k 2k30 22由韦达定理得 x1x22k222k 12k3最新资料推荐 P 是弦中点， x1x21故得 k1 2所以所求直线方程为2x4y30 分析二：设弦两端坐标为x1， y1、 x2， y2，列关于 x1 、x2 、

7、y1 、y2 的方程组，从而求斜率： y1y2 x1x2解法二： 设过 P11的直线与椭圆交于 A x1， y1、 B x2， y2，则由题意得2，2x12y121，2x22y221，2x1x21，y1y21.得 x12x22y12y2202将、代入得 y1y21 ，即直线的斜率为1 所求直线方程为 2x 4y 3 0 x1x222说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“点差法” ，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是： “韦达定理应用”及“点差法” 有关二次曲线问题也

8、适用典型例题七例 7 求适合条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的2 倍，且过点2， 6 ；（2）在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6分析： 当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由 x2y21 求出 a 2148 ， b237 ，a2b2在得方程 x 2y 21 后，不能依此写出另一方程y 2x2114837148372222解：（1）设椭圆的标准方程为 x 2y2 1 或 y2x21 abab由已知 a2b 又过点 2， 6，因此有4最新资料推荐22626 2221a2b21 或a 2b2由、，得 a 2148 ， b237 或 a252 ， b213 故

9、所求的方程为x2y21 或 y2x21 148375213（2）设方程为 x2y21 由已知， c3 ， bc 3，所以 a218 故所求方程为 x2y21 a2b2189说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数” 关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程x2y21 或y2x212222abab典型例题八例 8椭圆 x 2y21 的右焦点为 F ，过点 A 1， 3，点 M 在椭圆上，当 AM 2 MF 为最小值时，1612求点 M 的坐标分析：本题的关键是求出离心率e1 ，把 2 MF 转化为 M 到右准线的距离，从而得最小值一2般地，求 AM1 MF 均可用此法e1

10、，右准线解：由已知： a4， c2 所以 el：x8 2过 A 作 AQ l ，垂足为 Q ，交椭圆于 M ，故MQ2 MF 显然AM 2 MF 的最小值为 AQ ，即 M 为所求点，因此yM3 ，且 M 在椭圆上故 xM 23 所以 M 23， 3说明： 本题关键在于未知式AM2 MF 中的“2”的处理事实上，如图， e1 ，即 MF 是 M 到右准线的距离的一半， 即图中的 MQ ，问题转化为求椭圆上一点 M ，2使 M 到 A 的距离与到右准线距离之和取最小值典型例题九例 9 求椭圆 x2y21上的点到直线 x y 6 0 的距离的最小值3分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立

11、三角函数关系式，求出距离的最小值解：椭圆的参数方程为x3 cos ，sin，则点到直线的距离为y设椭圆上的点的坐标为3 cossin .5最新资料推荐3 cos sin62 sin36d22当 sin1 时， d最小值 2 2 3说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程典型例题十例 10 设椭圆的中心是坐标原点， 长轴在 x 轴上，离心率 e332，已知点 P 0， 到这个椭圆上的2点的最远距离是 7 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点 P 的距离等于 7的点的坐标分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论 b 的取值范围此题

12、可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、 形数结合的思想， 提高逻辑推理能力解法一： 设所求椭圆的直角坐标方程是x2y 2a21 ，其中 a b 0 待定b22c2a2b21b2由 ea2a2a2 可得b1 e213 1 ，即 a 2b a42设椭圆上的点 x， y 到点 P 的距离是 d ，则32y29d 2x2ya2 1y23y2b249124b23y23y3 y42342b其中byb 如果 b1 ，则当 yb 时， d 2 （从而 d ）有最大值223231 ，与 b1 矛盾由题设得7b，由此得 b72222

13、因此必有 b1 成立，于是当 y1 时， d 2 （从而 d ）有最大值22由题设得72423，可得 b1 ， a2b6最新资料推荐所求椭圆方程是 x2y21411及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点1，点1到点 P3的距离是7 由 y3，3，0，2222解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是xa cos，其中 ab0 ，待定， 02 ，yb sin为参数c2a 2b2b2由 e21可得a2a2ab1 e213 1 ，即 a 2b a42设椭圆上的点 x， y到点 P3的距离为 d ，则0，2y 322d 2x2a2 cos2bsin3224b23b2 sin 23b sin94123b2si

14、n4232bb如果 11，即 b1 ，则当 sin1 时， d 2 （从而 d ）有最大值2b223231 ，与 b1 矛盾，因此必有1b，由此得 b71成立由题设得722222b于是当 sin1 时 d 2 （从而 d ）有最大值2b22由题设知743， b1 ， a2 b所求椭圆的参数方程是x2 cosysin由 sin1 ， cos3 ，可得椭圆上的是3， 1，3， 12222典型例题十一例 11 设 x ， yR ， 2x23 y26x ，求 x2y22x 的最大值和最小值分析： 本题的关键是利用形数结合，观察方程2x23 y26x 与椭圆方程的结构一致设7最新资料推荐x2y 22xm

15、 ，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值解：由 2x23y26x ，得2x32y219432可见它表示一个椭圆，其中心在3 ，0 点，焦点在 x 轴上，且过（ 0，0）点和（ 3，0）点2设 x2y 22xm ，则x1 2y 2m1它表示一个圆，其圆心为（1，0）半径为m1 m1 在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即m 1 1，此时 m 0 ；当圆过（ 3，0）点时，半径最大，即m 1 4 ， m 15 x2y 22x 的最小值为 0，最大值为 15典型例题十二x2y21 a b 0， A 、 B 是其长轴的两个端点

16、例 12 已知椭圆 C：2b2a（1）过一个焦点 F 作垂直于长轴的弦PP ，求证：不论 a 、 b 如何变化，APB120 （2）如果椭圆上存在一个点Q ，使AQB120 ，求 C 的离心率 e 的取值范围分析：本题从已知条件出发，两问都应从 APB 和 AQB 的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手本题的第（ 2）问中，其关键是根据什么去列出离心率 e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质： xa ， yb ，根据AQB 120 得到2aya23 ，将 x2a 2 a2y 2 代入，x2y 2b28最新资料推荐消去 x ，用 a 、b 、c 表示 y ，以便利用 yb 列出不等式这

17、里要求思路清楚，计算准确，一气呵成解：（1）设 F c，0， Aa，0， B a，0xcb2b2 x2a2 y2a2b2P c，a于是 k APb2， kBPb2a caa cab2b22a2 APB 是 AP 到 BP 的角 tanAPBa caa cab4c 21a2c2a2 a2c2 tanAPB2故 tanAPB3 APB 120 （2）设 Q x， y ，则 kQAy， kQByxxaa由于对称性，不妨设 y0，于是AQB 是 QA 到 QB 的角yy2ay tanAQBxaxay2x2y2a21x2a 2 AQB120 ，2ay32y2a2x整理得3x2y2a22022a22 3

18、1a2y22ay0ay xab2 yb2 y0 ， y2ab 2 yb ， 2ab2b3c23c22ab3c 2 ， 4a2 a 2c23c2 4c44a2c24a 40 ， 3e44e24 0 e23 或 e22 （舍），6e123典型例题十三例 13已知椭圆x2y 21的离心率 e1，求 k 的值k892分析：分两种情况进行讨论解：当椭圆的焦点在 x 轴上时， a2k8 ， b29 ，得 c 2k1由 e1 ，得 k 4 29最新资料推荐当椭圆的焦点在 y 轴上时， a 29 ， b2k 8 ，得 c21 k 由 e1 ，得 1 k1 ，即 k5 2945 4满足条件的 k4 或 k4说明

19、：本题易出现漏解排除错误的办法是：因为 k 8 与 9 的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上故必须进行讨论典型例题十四例 14已知椭圆 x 2y 21上一点 P 到右焦点 F2 的距离为 b (b1) ，求 P 到左准线的距离4b2b 2分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解解法一： 由 x 2y 21，得 a2b ， c3b ， e3 4b 2b 22由椭圆定义， PF1PF22a4b ，得PF14b PF24bb3b PF1e， d1 为 P 到左准线的距离，由椭圆第二定义，d1 d1PF123b ，e即 P 到左准线的距离为23b P

20、F2e， d2 为 P 到右准线的距离， ec3，解法二： a2d 2PF22 3a283 d2b 又椭圆两准线的距离为 2cb e33 P 到左准线的距离为 8 3 b2 3 b 2 3b 33说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性否则就会产生误解椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如一般地，如遇到动点到两个定点的问题， 用椭圆第一定义； 如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义典型例题十五x4 cos ,，求 P 点坐标例 15 设椭圆2( 为参数 ) 上一点 P 与 x 轴正向所成角 POxy3 sin .3分析：利用参数与POx

21、 之间的关系求解10最新资料推荐解：设 P(4 cos , 23 sin ) ，由 P 与 x 轴正向所成角为，3 tan23 sin，即 tan234 cos而 sin0 ， cos0 ，由此得到 cos5， sin25 ， P 点坐标为 ( 4 5 , 415 ) 5555典型例题十六设 P( x0 , y0 ) 是离心率为 e 的椭圆 x22例 162y21 ( ab0) 上的一点， P 到左焦点 F1 和右焦点abF2 的距离分别为 r1 和 r2 ，求证： r1a ex0 ， r2aex0 分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离

22、a2x0a2PF1e ，解： P 点到椭圆的左准线 l ： x的距离， PQ，由椭圆第二定义，PQcc r1 e PQ a ex0 ，由椭圆第一定义， r2 2a r1aex0 说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用请写出椭圆焦点在 y 轴上的焦半径公式典型例题十七例 17已知椭圆 x2y21 内有一点 A(1 ,1) ， F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点95(1)求 PAPF1的最大值、最小值及对应的点 P 坐标；(2)求 PA3 PF2 的最小值及对应的点 P 的坐标2分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探

23、求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法二是数形结合，即几何方法本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解11最新资料推荐解：(1) 如上图，2a6 ， F2 (2 , 0) ， AF22 ，设 P 是椭圆上任一点，由PF1PF22a6 ，PAPF2AF2 ， PAPF1PF1PF2AF22aAF262 ，等号仅当 PAPF2AF2 时成立，此时 P 、 A 、 F2 共线由 PAPF2AF2， PAPF1PF1PF2AF22a AF2 62 ， 等 号 仅 当PAPF2AF2 时成立，此时 P 、 A 、 F2 共线建立 A

24、 、 F2 的直线方程 x y20 ，解方程组xy20,5x29 y2得两交点45P1 ( 9 152 , 5 15 2) 、 P2( 9 15 2 , 5 15 2) 714714714714综上所述， P 点与 P1 重合时， PAPF1 取最小值 62 ， P 点与 P2 重合时， PAPF2 取最大值62 (2) 如下图，设 P 是椭圆上任一点， 作 PQ 垂直椭圆右准线， Q 为垂足，由 a3 ，c2 ， e2 由3PF2e2， PQ3， PA3PF2PA PQ ，要使其和最小需有 A 、P 、椭圆第二定义知3PF22PQ2Q 共线，即求 A 到右准线距离右准线方程为x9 212最新资料推荐 A 到右准线距离为 7此时 P 点纵坐标与 A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点 P 坐2标 (6 5 , 1) 说明： 求 PA1 PF2 的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段巧5e用焦点半径 PF2 与点准距 PQ 互化是解决有关问题的重要手段典型例题十八22例 18(1) 写出椭圆 xy1 的参数方程；9 4(2) 求椭圆内接矩形的最大面积分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题x3cosR) 解： (1