方程的根与函数的零点

1、第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点,方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根,函数y= ax2 +bx +c(a0)的图象,判别式 =b24ac,0,=0,0,函数的图象 与 x 轴的交点,有两个相等的 实数根 x1 = x2,没有实数根,有两个交点(x1,0) , (x2,0),有一个焦交 (x1,0),没有交点,两个不相等的 实数根 x1 、x2,方程的实数根就是对应函数图像与x轴交点的横坐标。,方程有几个不等实根对应的函数图像就有几个不同 的交点。,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点,函数的零点,注：零点对于

2、函数而言，根对于方程而言， 说法不同但是本质完全相同,零点的分类,方程f(x)=0有实数根,x,思考：函数 的图象与 轴的交点和相应的 方程的 根及函数 的零点三者有何关系？,方程f(x)=0有几个不等实数根,探究： 如何求函数的零点？,1,2,3,4,5,-1,-2,1,2,3,4,5,-1,-2,-3,-4,x,y,观察二次函数f(x)x22x3的图象： 在区间-2，1上有零点_； f(-2)=_，f(1)=_， f(-2)f(1)_0(“”或“”) 在区间(2，4)上有零点_； f(2)f(4)_0（“”或“”）,1,4,5,3,1,2,3,4,5,-1,1,2,3,4,5,-1,-2,

3、-3,-4,y,思考：观察图象填空，在怎样的条件下， 函数 在区间 （a，b）上存在零点？,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0， 那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。,探究： 函数 图像连续不断时， 再满足什么条件区间 （a，b）上一定存在零点？,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0， 那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0

4、的根。,探究： 函数 图像连续不断时， 再满足什么条件区间 （a，b）上一定存在零点？,反例：函数y=f(x)在区间a,b上有3个零点； 因此，“在区间(a,b)内有且仅有一个零点”的说法是错误的。,判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 （1）已知函数y=f (x)在区间a,b上连续，且f(a) f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零 点.（ ）,在例1 基础上再加上什么条件，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点？,在区间(a,b)内严格单调,（2）已知函数y=f (x)在区间a,b上连续，且f(a) f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ）,（

5、2）已知函数y=f (x)在区间a,b上连续，且f (a) f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ）,可知，函数y=f (x)在区间a,b上连续，且f (a) f(b)0，但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确。,如图,进而可知，零点存在性定理只能判断变号零点的存在性。 因此也称为变号零点零点存在性定理。,（3）已知函数y=f (x)在区间a,b满足f(a)f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（ ）,（3）已知函数y=f(x)在区间a,b 满足f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（ ）,虽然函数y=f(x)在区间a,b 满足f(

6、a)f(b) 0,但是图象不是连续的曲线，则f(x)在区间(a,b)内不存在零点.,如图,（4）已知函数y=f (x)在区间a,b上连续且区间（a,b）有零点，则一定有f(a)f(b)0 。 （ ）,此函数图像反例，满足原题条件，但f (a)f(b) 0 。,这也启发我们：此定理不可逆。,练习2、若函数y=5x2-7x-1在区间a,b上的图象是 连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有 零点，则f(a)f(b)的值( ) A、大于0 B、小于0 C、无法判断 D、等于零,练习1、函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点（ ),A.(-2，-1) B.(0，1) C.(1

7、，2) D.(2，3),C,B,由表可知f(2)0，,由于函数f(x)在定义域(0,+)内是增函数，所以它仅有一个零点,用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：,例2.求函数f(x)=lnx+2x6的零点的个数，并确定零点 所在的区间n，n+1(nZ),解：,-4,-1.3,1.1,3.4,5.6,7.8,9.9,12.1,14.2,方法1,f(x)=lnx+2x6,从而f(2)f(3)0,函数f(x)在区间(2,3)内有零点,y=2x +6,y=lnx,即求方程 lnx+2x-6=0的根的个数，即求 lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数,如图可知，只有一个交点，即方程只有一根。,方法2：,一