函数的单调性 (2)

1、课 题：2.3.1 函数的单调性1教学目的：（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性教学重点：函数的单调性的概念；教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数y=x2和y=x3的图象.

2、 引入：从函数y=x2的图象看到：图象在轴的右侧部分是上升的，也就是说，当在区间0，+)值时，随着的增大,相应的值也随着增大，即如果取0，+)，得到=,=,那么当时，有.这时我们就说函数=在0,+)上是增函数. 图象在轴的左侧部分是下降的，也就是说， 当在区间（-，0）上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果取（-，0），得到=,=,那么当.这时我们就说函数=在(-,0)上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的. 二、讲解新课： 增函数与减函数定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，若当时，都有,则说在这个区间上是增函数（如图3）；若当,则说在这个区间

3、上是减函数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x2，当0,+)时是增函数，当(-,0)时是减函数. 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.说明：函数的单调区间是其定义域的子集；应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得

4、，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；(3)定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. 几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.三、讲解例题：例1 如图6是定义在闭区间-5，5上的函数y=f(x)的图象，根据y=f(x)图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数. 解：函数的单y=f(x)调区间有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5，其中y=f(x)在区间-5，-2)，1，3)上是减

5、函数，在区间-2，1)，3，5上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.证明：设是R上的任意两个实数，且，则=(3+2)-(3+2)=3(), 由x,得0 ,于是0,即 .f(x)=3x+2在R上是增函数.例3 证明函数f(x)=在(0,+)上是减函数.证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且0,又由0 ,于是0,即 f(x)=在(0,+)上是减函数.四、练习：1：课本P59练习：1，22判断函数=在(-,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 五、小结 讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;根据定义证明函数单调性的一般步骤是：设,是给定区间内的任意两个值，