2019_2020版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件新人教A版选修.pptx

1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示,【思考1】平面向量基本定理的内容是什么? 答案如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使a=1e1+2e2,其中,不共线的e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 1.空间向量基本定理 如果空间三个向量a,b,c不共面,那么对于空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z,使得p=xa+yb+zc.其中a,b,c叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.,【做一做1】 在三棱柱ABC-A1B1C1中,可以作为空间向量一组基底的是(),答案C,【思考2】平面向量的坐标是如何表示的? 答案在

2、平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.,【做一做2】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)空间向量的基底是唯一的.() (2)若a,b,c是空间向量的一组基底,则a,b,c均为非零向量.() (4)若a,b,c是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则

3、有x=y=z=0.() 答案(1)(2)(3)(4),2.空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 三个有公共起点的两两垂直的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基底. (2)空间直角坐标系 以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. (3)空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O重合,得到向量 =p,由空间向量基本定理可知,存在有序实数组x,y,z,使得p=xe1+ye2+ze3.把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z),

4、即点P的坐标为(x,y,z).,答案C 【做一做4】 若a=3e1+2e2-e3,且e1,e2,e3为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为. 答案(3,2,-1),探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一基底的判断 例1 (1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且a,b,c是空间的一个基底,给出下列向量组:a,b,x,x,y,z,b,c,z,x,y,a+b+c.其中可以作为空间一个基底的向量组有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,探究一,探究二,探究三,当堂检测,解析,答案C,探究一,探究二,探究三,当堂检测,反思感悟基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路:判断三个空间向量是否

5、共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底. (2)方法:如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底. 假设a=b+c,运用空间向量基本定理,建立,的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,变式训练1若a,b,c是空间的一个基底,试判断a+b,b+c,c+a能否作为空间的一个基底. 解假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数,使得a+b=(b+c)+(c+a),即a+b=a+b+(+)c. a,b,c是空间的一个基底,a,b,c不共面.,即不存在实数,使得a+b=(b

6、+c)+(c+a), a+b,b+c,c+a不共面. 故a+b,b+c,c+a能作为空间的一个基底.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究二用基底表示空间向量,思路分析利用图形寻找待求向量与a,b,c的关系利用向量运算进行分拆直至向量用a,b,c表示,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,反思感悟用基底表示空间向量的解题策略 1.空间中,任一向量都可以用一组基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的. 2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示. 3.

7、在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,答案B,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究三空间向量的坐标表示,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,反思感悟用坐标表示空间向量的步骤如下:,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,思维辨析 一题多解空间向量的坐标表示,典例如图所示,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,点M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AB=1.试建立适当的空间直角坐标系,求向量 的坐标.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测