数值分析-插值多项式实验报告

1、数值分析实验报告班级姓 名学 号课程名称数值分析时 间地 点一、实验名称： 实验一、插值多项式实验二、 实验目的：1理解插值的基本原理；2掌握多项式插值的概念、存在唯一性；3编写MATLAB程序实现Lagrange插值和Newton插值，验证Runge现象、分析插值多项式的收敛性。三、实验内容及要求：1已知数据如下：00.20.40.60.81.00+学号0.04+学号0.16+学号0.36+学号0.64+学号1+学号注学号取后面两位数，如，学号=1。（1）用MATLAB等语言编写按Lagrange插值法和Newton插值法计算插值的程序，对以上数据进行插值；（2）利用MATLAB在第一个图中

2、画出离散数据及插值函数曲线。2给定函数，利用上题编好的Langrage插值程序（或Newton插值程序），分别取3个，5个、9个、11个等距节点作多项式插值，分别画出插值函数及原函数的图形，以验证Runge现象、分析插值多项式的收敛性。四、插值法的实验步骤：步骤1：按照要求用MATLAB编写lagrange插值代码步骤2：按照要求用MATLAB编写newton插值代码步骤3：按照题目所给要求用MATLAB编写画图代码2.画图代码五、插值法的实验结果：1.（1）Lagrange 法实验结果(图或多项式表达式)L =-625/8*x5+625/4*x4-875/8*x3+129/4*x2-3*x+

3、2（2）Newton 法实验结果(图或多项式表达式)（3）L = 2+253/30*x-7/2*x2+1825/24*x3-175/2*x4+625/8*x52.（1）2个节点结果如下：（2）5个节点结果如下：（3）9个节点结果如下：（4）11个节点结果如下：六、讨论Lagrange插值法和Newton插值法解决实际问题中关于只提供复杂的离散数据的函数求值问题，通过将所考察的函数简单化，构造关于离散数据实际函数f（x）的近似函数P（x），从而可以计算未知点出的函数值，是插值法的基本思路。Lagrange插值型式的缺点在于没有承袭性质，当需要增加插值节点时，我们不得不重新计算基函数，这在实际使用

4、时不能不认为是一种浪费，具有承袭性质的插值型式，应该是当增加插值节点时，新的插值多项式只是在原插值多项式的基础上增加一项。具有承袭性质的插值型式则为Newton插值型式。七、程序附录1.（1）Lagrange插值代码syms xx0=0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0;y0=2,2.04,2.16,2.36,2.64,3;for i=1:6 a=1; for j=1:6 if j=i; a=expand(a*(x-x0(j); end end b=1; for k=1:6 if k=i; b=b*(x0(i)-x0(k); end end A(i)=expand(a/b);endL=0

5、;for p=1:5 L=L+y0(p)*A(p);endL（2）画图代码x0=0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0;y0=2,2.04,2.16,2.36,2.64,3;subplot(1,2,1);plot(x0(1),y0(1),+r,x0(2),y0(2),+r, x0(3),y0(3),+r, x0(4),y0(4),+r, x0(5),y0(5),+r, x0(6),y0(6),+r)x=0:0.2:1;y=x.2+2;hold onsubplot(1,2,2);plot(x,y)（3）Newton插值代码clear allclcsyms xx0=0,0.2,0.4,0.6,

6、0.8,1.0;y0=2,2.04,2.16,2.36,2.64,3;for k=1:6 for i=1:k a=1; b=0; for j=1:k if j=i a=a*(x0(i)-x0(j); end end b=b+y0(i)/a; end A(k)=b;endB=1,(x-x0(1),(x-x0(1)*(x-x0(2),(x-x0(1)*(x-x0(2)*(x-x0(3),(x-x0(1)*(x-x0(2)*(x-x0(3)*(x-x0(4),(x-x0(1)*(x-x0(2)*(x-x0(3)*(x-x0(4)*(x-x0(5);L1=A.*B;l=0;for m=1:6 l=l+

7、L1(m);endL=expand(l)2. （1）取三个节点clearclcx0=0:0.5:1;y0=1./(1+25.*x0.2);symsxfori=1:3a=1;forj=1:3ifj=ia=expand(a*(x-x0(j);endendb=1;fork=1:3ifk=ib=b*(x0(i)-x0(k);endendA(i)=expand(a/b);endL=0;forp=1:3L=L+y0(p)*A(p);endLL=575/377*x2-1875/754*x+1x1=0:0.0001:1;y1=1./(1+25.*x1.2);y2=575/377.*x1.2-1875/754.

8、*x1+1;plot(x1,y1,+r)holdonplot(x1,y2,*k)（2）取五个节点clearclcx0=0:0.25:1;y0=1./(1+25.*x0.2);symsxfori=1:5a=1;forj=1:5ifj=ia=expand(a*(x-x0(j);endendb=1;fork=1:5ifk=ib=b*(x0(i)-x0(k);endendA(i)=expand(a/b);endL=0;forp=1:5L=L+y0(p)*A(p);endLL=/*x4-/*x3+/*x2-/*x+1x1=0:0.0001:1;y1=1./(1+25.*x1.2);y2=/.*x1.4-

9、/.*x1.3+/.*x1.2-/.*x1+1plot(x1,y1,+r)holdonplot(x1,y2,*k)（3）取九个节点clearclcx0=0:0.125:1;y0=1./(1+25.*x0.2);symsxfori=1:9a=1;forj=1:9ifj=ia=expand(a*(x-x0(j);endendb=1;fork=1:9ifk=ib=b*(x0(i)-x0(k);endendA(i)=expand(a/b);endL=0;forp=1:9L=L+y0(p)*A(p);endLL=-/98309*x8+/*x7-/98309*x6+00000000/98309*x5-/98309*x4+16/98309*x3-/6793*x2+15625/*x+1x1=0:0.0001:1;y1=1./(1+25.*x1.2);y2=-/98309.*x1.8+/65309.*x1.7-/98309.*x1.6+70100000/98309.*x1.5-/.*x1.4+/98309.*x1.3-/6793.*x1.2+15625/.*x1+1;plot(x1,y1,-r)holdonplot(x1,y2,k)（4）取十一个节点clearclcx0=0:0.1:1;y0=1./(1+25.*x0.2);symsxfori=1:11