例谈立体几何中的向量公式与运用

1、例谈立体几何中的向量公式与运用平面向量是解答立体几何问题的一种快速、简捷的运算工具不少复杂的立体几何问题，引入平面向量后，通过将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值运算，出现了许多公式，利用它们可以帮助学生很好地解立体几何，并在一定程度上降低空间思维难度，虽然有时计算量较大，还是容易被学生接受，下面例谈这些公式的运用。一、 两直线垂直公式：ABCD=xCCDABABDOMyz例1 在正方体ABCDABCD中，M是棱DD的中点，O为正方形ABCD的中心，求证：AM证明：如图所示，建立右手直角坐标系设正方体的棱长为1个单位，则A(1，0，0)，A(1，0，1)，M(0，

2、0，)，O(，0)= (，1)，= (1，0，)，=(1)()01= 0，AM二、 两条直线平行的向量公式：ABCD=例2 已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，求满足DBAC，DCAB的点D的坐标解：设点D坐标为(x，y，z)，则= (x，1y，z)，= (1，0，2)，= (x，y，2z)，= (1，1，0)DBAC，DCAB，=，=即，即此时点D的坐标为(1，1，2)三、线面平行的向量公式：直线a平面= xy(x , yR，AB，AC是平面内的相交直线)例3 如图，已知四边形ABCD、ABEF为两个正方形，MN分别在其对角线BF和AC上，且FM = AN，求证：MN平

3、面EBCABCDEFMN证明：在正方形ABCD、ABEF中，BE = AB，FM = AN，FB = AC，存在实数，使=，=()=()=()= (1) 、共面M平面EBC内，MN平面EBC对于空间向量、，有cos，=利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题四、 异面直线所成角的向量公式：若直线AB与CD所成的角为，则cos=|cos| = |例4 在棱长为a的正方体ABCDABCD中，求：异面直线BA与AC所成的角CABDABCD分析：利用= |cos，求出向量与的夹角，再根据异面直线BA与AC所成的角的范围确定异面直线所成角解：因为=，=，所以= ()() =ABBC，BBA

4、B， BBBC，所以= 0，= 0，= 0，=a，=a又=|cos，得|cos，|=，=所以异面直线BA与AC所成的角为5、 直线与平面所成角的向量公式：若直线AB与平面所成的角为，则 sin=|cos| (是平面的法向量)例5 已知四面体OABC，E，F分别为AB，OC的中点，求：BF与面ABC所成的角分析：取，为基向量，分别求出，再根据向量的夹角公式求解OABCEF解：设正四面体OABC的棱长为1，如图，设=，=，=，则=作平面ABC于，设与BF所成角为(0,则BF与平面ABC所成角为=()，|=()=( |222)=(33) =,|=cos，=(|) =(1) =，= arccos，即B

5、F与平面ABC所成角为arccos= arcsin六、二面角的平面角的向量公式：设二面角的平面角为，若为锐角，则cos=|cos|；若为钝角，则cos=|cos|。(, 分别是两个平面的法向量)xyzABBA例6 已知三棱柱AB中，平面平面，=，=，且= 2，=，求二面角AB的大小分析：求二面角的大小可以转化为求两个平面法向量夹角的大小；转化为求与的夹角的大小解：以为原点，分别以，所在的直线为x，y轴，过点且与平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图，则(0，0，0)，(0，1，)，A(，0，0)，(，1，)，B(0，2，0)= (，1，)，= (，2，0)显然为平面的法向量，取= (0，

6、0，1)，设平面的法向量为= (x，y，z)，则 = 0，= 0即，令y =，x = 2，z = 1，则= (2，1)cos，=，即，= arccos故二面角AB的大小为arccos评析：本题可由三垂线定理作出二面角AB的平面角，通过解三角形，需要“作、证、算”三个基本步骤，而用空间向量坐标法解题过程基本上程序化，易于求解七、异面直线距离的公式的向量公式：设a , b是异面直线，是a与b的法向量（即a , b公垂线的方向向量）Aa，Bb，则a , b的距离是d = 例7 在长方体ABCDABCD中，AB = 4，AD = 3，A A=2，M、N分别为DC、BB的中点，求异面直线MN与AB的距离

7、分析：建立坐标系，求，的单位法向量，再求在单位法向量上的射影解：以A为原点，以AD、AB、A A为坐标轴，建立直角坐标系，如图，则M(3，2，0)，N(0，4，1)，即= (3，2，1)，= (0，4，2)设MN、AB公垂线的方向向量为= (x，y，z)，则有令y = 1，则z = 2，x =，即= (，1，2)，| =又= (3，2，2)在上的射影的长度为：d =即异面直线MN与AB的距离为八、点面距离的向量公式：设B平面，的法向量为，则点A到平面的距离为d = 例8 如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AD，AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面且GC = 2，求点B到平面FEG的距离xy2G44BAFDCE解：以，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立直角坐标系，则G(0，0，2)、B(0，4，0)、A(4，4，0)、D(4，0，0)、E(4，2，0)、F(2，4，0) = (4，2，2)，= (2，4，2)设= (x，y，z)是平面EFG的单位法向量，则有，取z0，得x = y =，z =(1，1，3)又= 2(0，2，1) = (0，8，2)，d = | = |(1，1，3)(0，8，2)| =|101832| =即