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故障树的定量分析,容斥定理、重要度分析,1 容斥定理,P2,1.1 原理 为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 两个集合的容斥关系公式：AB = A+B - AB (：重合的部分） 三个集合的容斥关系公式：ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC,若已知故障树所有最小割集为,，,，,，,则顶事件发生故障的概率为：,P2,内容借鉴！,1 容斥定理,P3,1.2 公式,（4-33）,式（4-33）共有,项，当最小割集数量较大时，就会产生组合爆炸问题。,解决办法一般是采用不交布尔代数法化相交和为不交和再求顶事件的概率。,例如，,，,式中 表示 的非事件。,P3,内容借鉴！,1 容斥定理,P4,但是在割集较多情况下，精确计算较为繁琐。在实际工程中事件发生的概率一般都比较小，高阶的多个事件同时发生的概率更小。 因此，4-33式就可简化计算： 简化一： 当部件的失效概率小于等于0.1时，可采用最小割集独立近似法来计算。,（4-34）,美国著名的IMPORTANCE程序就是以此计算式为基础的，目前该方法广泛应用于故障树的定量分析中。,简化二： 一阶近似算法，即取容斥公式的首项做为近似值。,（4-35）,P4,内容借鉴！,1 容斥定理,P5,简化三：首项与二项之半的差作近似值。,（4-36）,P5,内容借鉴！,2 重要度分析,2.1 概率重要度,式中 表示 发生的概率。概率重要度的定义可以解释为：i部件的概率重要度是i部件状态取1时顶事件概率和i部件状态取0时顶事件概率值的差。 部件i概率重要度的物理含义为：系统处于当且仅当部件i故障系统即故障的状态的概率。,P6,内容借鉴！,2 重要度分析,2.2 结构重要度 在事故树分析中，各个事件都是两种状态，一种状态是发生，即Xi=1；一种状态是不发生，即Xi=0。各个基本事件状态的不同组合，又构成顶上事件的不同状态，即(X)=1或(X)=0。 在某个基本事件Xi的状态由0变成1(即0ili)，其他基本事件的状态保持不变，顶上事件的状态变化可能有三种情况：,P7,内容借鉴！,2 重要度分析,第一种情况和第三种情况都不能说明Xi的状态变化对顶上事件的发生起什么作用，唯有第二种情况说明Xi的作用，即当基本事件Xi的状态，从0变到1，其他基本事件的状度保持不变，顶上事件的状态(0i，X)=0变到(1i，X)=1，也就说明，这个基本事件Xi的状态变化对顶上事件的发生起了作用。 我们把所有这样的情况累加起来乘以一个系数1/2n-1，就是结构重要度系数1(i)(n是该事故树的基本事件的个数。),可作为第i个部件对系统故障影响大小的度量。,（4-50）,故i的结构重要度为：,（4-51）,P8,内容借鉴！,2 重要度分析,若所有部件故障和正常的概率均为1/2，则结构重要度可用概率重要度代替。,（4-52）,2.3 关键重要度,即部件故障概率的变化率所引起的系统故障概率的变化率。,（4-53）,P9,内容借鉴！,2 重要度分析,因为,（4-54）,所以,（4-55）,P10,内容借鉴！,复习思考题 6,P11,某输电网络如图4-46所示。有三个变电站，由A站向B和C两站供电，共有五条线路，AB和AC是单向线路，BC之间是双向线路，其中2对3，4对5互为备份线路。假设变电站均无失效。电网失效判据： （1）B和C中任何一站无输入，即该站停电； （2）A向外输出的三条线中只有一条正常工作； 试建立系统失效的故障树，并求全部最小割集。,A,P11,内容借鉴！,复习思考题 6,解：根据题目，可给出输变电网络的故障树如下图所示：,E1 电网失效,E5,E4 B和C仅由同一单线供电,E2 B无输入,E3 C无输入,E11,E10,E6,E12,E7,E8,E9,P12,内容借鉴！,复习思考题 6,P13,根据该图所示的故障树，用上行法求最小割集。 E11=E12=X4X5 E9=E10=X2X3 E8=X1X3 E7=X1X2 E6= X1+ E12=X1+X4X5 E5= E11+ E10=X2X3+X4X5 E4= E7 +E8+ E9=X1X2+ X1X3+X2X3 E3=X2X3 E6= X1X2X3+ X2X3X4X5 E2= X1E5= X1X2X3+ X1X4X5 E1= E2 +E3+ E4=X1X2+ X1X3+X2X3+ X1X2X3+ X2X3X4X5+X1X2X3+ X1X4X5 由此可知一共有7个割集。对这7个割集进行两两比较，删除那些重复和非最小的割集，最后得到的全部最小割集有4个：X1、X2、X1、X3、X2、X3、X1、X4、X5。,P13,内容借鉴！,习思考题 6,P14,根据该图所示的故障树，用下行法求最小割集。,P14,内容借鉴！,习思考题 6,P15,通过集合运算规则简化吸收，得到相应的最小割集为： X1、X2、X1、X3、X2、X3、X1、X4、X5。 显然，两种方法所得结果一样。,P15,内容借鉴！,谢谢各位,LOGO,

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