1.1定积分的背景——面积和路程问题【优选课资】

1、定积分,定积分的背景面积和路程问题,课堂资料,教材前后联系、地位和作用,众所周知，微积分是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑、“人类精神的最高胜利” 在前面的课程中，我们通过学习导数，并利用导数研究函数的单调性、变化快慢、极值及生活中的优化问题等，渗透了微分思想,2,课堂资料,教材前后联系、地位和作用,微分研究的是局部的、动态的和瞬时的事物，是发生在“0”时刻的事件；而数学家则希望借此来“以暂定久”、“以常制变”、“以局部驭整体”，这就需要用到定积分了！ 本节课是定积分的第一节课课程标准要求我们通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境

2、中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念,3,课堂资料,教学目标,、知识与技能目标：,1通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方法，建构定积分的认知基础；,2通过这部分内容的教学，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力和辨证思维能力，能求简单的曲边梯形的面积,4,课堂资料,教学目标,、过程与方法目标：,1通过类比“割圆术”，引导学生萌发“分割”、“近似”、“以直代曲”的想法，变曲为直；,2通过对比分割后图象面积差的变化特点，突出“细分割、近似和、渐逼近”的数学过程；,3通过数学软件的演示，观察数据特征，让学生经历“

3、刨光磨平”的逼近过程，从直观上理解极限思想，接受极限值即准确值的数学事实,5,课堂资料,教学目标,、情态与价值目标：,1从生产生活实践中创设情境引出课题，培养学生的创新意识和科技服务于生活的人文精神，鼓励同学们勤于思考、刻苦学习；,2帮助学生建立“分割、近似、求和、取极限”的定积分思想，渗透“化整为零零积整”的辨证唯物观,6,课堂资料,教学重点、难点,了解定积分的基本思想方法（以直代曲、逼近的思想），初步掌握求曲边梯形面积的“四步曲”“分割、近似、求和、取极限”,1掌握“以直代曲”“逼近”思想的形成过程，尤其是“刨光磨平”的极限过程； 2求和符号,、教学重点：,、教学难点：,7,课堂资料,鉴于

4、定积分思想的高度抽象性，并针对本节课的特点，我采用以教师引导为主，学生自主探索、积极思考为辅的探究式教学方法；在教学手段上采用黑板和多媒体相结合的灵活的教学手段，利用几何画板等数学工具直观的展现面积的逼近过程，激发学生的学习兴趣，并加深其对“分割、近似、求和、取极限”的理解；在教学思想上则以建构主义的“创设问题情境提出数学问题尝试解决问题验证解题方法”为主，强调思想方法的建构过程，把主动权交给学生，与同学们共享成长,8,课堂资料,教学基本流程,创设情境、引出课题,联系史实、提出问题,例题分析、思想奠基,师生合作、共同探究,练习巩固、思想提升,步骤板演、解决问题,课堂小结、布置作业,9,课堂资料

5、,这些图形的面积该怎样计算？,10,课堂资料,曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形,如何求曲边梯形的面积？,11,课堂资料,例题（阿基米德问题）：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积,Archimedes，约公元前287年约公元前212年,问题1：我们是怎样计算圆的面积的？圆周率是如何确定的？,问题2：“割圆术”是怎样操作的？对我们有何启示？,12,课堂资料,建构主义要求在课堂上体现思想方法的自主建构过程，让学生去尝试，经历挫折，讨论、调整、选择更合理的解题思路,13,课堂资料,解题思想,“细分割、近似和、渐逼近”,14,课堂资料,例题：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积,解：,1分割：将区间0,1分成n等份：,2近似代替：用小矩形代替小曲边梯形,记n个小曲边梯形的面积分别为： S1, S2, Sn 则S=S1+S2+Sn,4取极限：,3求和：,15,课堂资料,例题：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积,练习：试以区间右端点的函数值作高，近似、求和、取极限，计算此时曲边梯形的面积,解：,16,课堂资料,求曲边梯形面积的“四步曲”：,课堂小结,17,课堂资料,课后任务,作业：求直线x=0,x=2,y=0与曲