理论力学@8动力学基础

1、第8章 动力学基础8.1 主要内容动力学是论述物体的机械运动与该物体上的作用力之间的关系的科学。 、牛顿定律第一定律 不受力作用的任何质点，将永远保持其静止或匀速直线运动状态。该定律通常亦称作惯性定律。第二定律 质点受力作用时将产生加速度，加速度的方向与作用力方向相同，其大小则与力的大小成正比，与质点的质量成反比。第三定律 任何两个质点间的相互作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且分别作用在这两个质点上。该定律也称为作用与反作用定律。第一定律表明：任何物体都具有惯性，而力是改变物体运动状态的原因。第二定律表明：质量是质点惯性大小的度量；物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体上的力

2、，同时也与物体的惯性有关。第二定律定量地描述了质点运动状态的改变（通过加速度表示出来）与作用力之间的关系。第一定律可视为第二定律的特殊情况。第三定律表明：两物体间相互作用力的关系；由于作用与反作用，引起了机械运动在相互作用的两物体间发生传递。第三定律不仅对物体处于平衡状态时适用，对物体作任何运动也适用；该定律是研究解决质点系动力学问题的依据。、惯性参考系牛顿定律仅适用于惯性参考系，一般在天文计算中，选择以太阳为原点，三个坐标轴指向三颗恒星的日心参考系作为惯性参考系。在仅考虑地球自转影响时，选择以地心为原点，三个坐标轴指向三颗恒星的地心参考系作为惯性参考系。在大多数工程问题中，选择与地球固连的坐

3、标系（称为地球参考系）作为惯性参考系。地球参考系有时也称为地面参考系。综上所述，在应用牛顿定律时，可以选择日心参考系、地心参考系和地球参考系为惯性参考系，具体选用哪一种，需要根据研究对象、问题的特点、实际要求的精度来确定。 、单位制国际单位制(SI)。长度(L)、质量(M)、时间(T)为基本量，对应的基本单位是米(m)、千克(kg)、秒(s)，力(F)是导出量，力的导出单位是牛顿(N)。1N=1kg1m/s2 =1kgm/s2工程单位制(EU)。在工程单位制中，长度(L)、力(F)、时间(T)为基本量，对应的基本单位是米(m)、公斤力(kgf)、秒(s)。质量(M)是导出量，质量的单位是kgf

4、s2/m，1工程质量单位1kgf/(1m/s2)=1kgf s2/m在我国，重力加速度一般选取g=9.80m/s2。在工程单位制和国际单位制中，力的换算关系为1kgf1kg9.80m/s2 =9.80kgm/s2即1kgf = 9.80N 、量纲在国际单位制中，长度、质量、时间是基本量，它们的量纲分别用L、M、T表示，加速度、力是导出量，它们的量纲分别是aLT-2、FMLT2。任何一个力学方程，它的等号两侧的量纲应该是相同的。这一结论，常用来校核力学方程正确与否。 、质点的运动微分方程设一质量为m的质点受到力F1，F2，Fn的作用，根据牛顿第二定律，将加速度写成矢径对时间的二阶导数，则矢径形式

5、的质点的运动微分方程为：若在直角坐标系xyz轴上投影，则直角坐标形式的质点运动微分方程为：若在自然坐标系的各轴上投影，则自然轴系形式的质点的运动微分方程为： 根据问题的需要，还可以有其它坐标形式的质点运动微分方程，如极坐标形式、柱坐标形式、球坐标形式等。 、质点动力学的两类基本问题应用质点的运动微分方程，可以解决质点动力学的两类基本问题。（）、质点动力学的第一类基本问题。已知质点的运动，求解此质点所受的力。（）、质点动力学的第二类基本问题。已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。求解第一类问题，一般只需进行微分运算；而求解第二类问题，一般要进行积分运算，属于微分方程的积分问题，应由运动的初始条

6、件确定积分常数。 、质点的相对运动微分方程 质点的相对运动方程：marFFIC其中为牵连惯性力，为科氏惯性力，它描述了质点在相对运动中的基本规律，是质点在非惯性坐标系的运动方程。 、质点系的基本惯性特征 （）、质点系的质量中心若质点系的质量用M表示，则若质点系的质量中心（简称质心）的矢径用rC表示，则若在直角坐标Oxyz轴上投影，则质心C的坐标公式为： （）、刚体的转动惯量 根据转动惯量的定义，刚体对转轴z的转动惯量Iz为其中表示质点到z轴的距离。若刚体的质量是连续分布的，则刚体转动惯量可表示为同理，刚体在直角坐标系Oxyz中对各轴的转动惯量可表示为：或若将刚体对于O点的转动惯量表示为或则刚体

7、对于O点的转动惯量亦称为极转动惯量，并且有以下关系刚体对于z轴的转动惯量也可用另一形式来表示。设刚体的总质量为M，其中rz称为刚体对于z轴的回转半径或惯性半径。它的大小为由此可知，rz的物理意义可理解为，如果把刚体的质量集中于某一点上，仍保持原有的转动惯量，那么，rz就是这个点到z轴的距离。 、转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与此两轴间距离平方的乘积。即由此可知，在刚体对众多平行轴的转动惯量之中，通过质心的轴的转动惯量最小。 8.2 基本要求 、对质点动力学的基本概念（如惯性、质量等）和动力学基

8、本定律要进一步理解其实质。 、深刻理解力和加速度的关系，能正确地建立质点的运动微分方程，掌握第一类基本问题的解法。 、掌握动力学第二类基本问题的解法，特别是当作用力分别为恒力、时间函数、位置函数和速度函数时，质点直线运动微分方程的积分求解法。 、对初始条件的力学意义及其在确定质点运动中的作用要有清晰的认识。 、掌握并求解质点的相对运动微分方程，理解产生牵连惯性力、惯性力的原因。 、牢记质心坐标公式，对转动惯量、惯性积的概念有清晰的理解，利用平行轴定理能熟练地计算刚体对任意轴的转动惯量、惯性积。8.3 重点讨论在动力学问题中，约束力的分析与静力学一样，但约束力不仅与主动力有关，而且与质心的加速度

9、有关。在一般情况下，力是时间、位置、速度等参变量的函数，当应用第二牛顿定律求解质点的运动时，必须知道质点运动的初始条件。在任意位置建立点的运动微分方程时，力的投影和加速度的投影要写在等式的两边，正负号以坐标轴方向为准。若加速度、速度位移是未知数，方向以坐标轴的方向为正方向。若所求结果为负，说明与假设方向相反。质点系的基本惯性特征，在动力学中有重要的位置，除灵活运用质心坐标公式及计算转动惯量外，但应注意所应用的坐标系是与刚体相固连的坐标系，在讨论两个平行轴之间的惯量关系时，运用平行轴定理时必须通过质心的转动惯量进行推导，才能得出正确的答案。8.4 例题分析 例81 质点M的质量为m，运动方程是x

10、=bcost，y=dsint, 其中b、d、w为常量，求作用在此质点上的力。 解：这是典型的动力学第一类基本问题。从运动方程中消去时间，得此质点的轨迹方程：如图81所示。该质点的加速度在坐标轴上的投影分别为： 代入运动微分方程式（8-5），解得作用在此质点上的力在x、y轴上的投影为或由此可知，力F与矢径r共线、反向，这表明，此质点按给定的运动方程作椭圆运动时，其特点是：力的方向永远指向椭圆中心，为有心力；力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比。FxFFy图8-1例8-2 在均匀的静止液体中，质量为m 的物体M 从液面处无初速下沉。设液体阻力FR =-v，其中为阻尼系数。试分析该物体的运动规律及

11、其特征。FRFR (a) (b) (c)图8-2解：为建立质点 M 的运动微分方程,将参考坐标系的原点固结在该点的起始位置上，x轴铅直向下。该质点的受力图如图，则质点M的位移、速度、加速度均设为沿x 轴的正方向。则运动微分方程为或 (a)式中，。分离变量，并注意到运动的起始条件为：t=0时，v0=0，积分一次解得 (b)再分离变量，运动起始条件为t=0时，x0=0，则有积分得 (c)这就是该物体下沉的运动规律。由式（b）知，当时，该物体下沉速度将趋近一极限值这个速度称为物体在液体中自由下沉的极限速度。 FR 由此可以看出，在阻尼系数基本相同的情况下（即物体的大小、形状基本相同时），物体的质量越

12、大，它趋近于极限速度所需的时间越长。工程中的选矿、选种工作，就是应用了这个道理。 若选坐标如图c示。则运动微分方程为：或此时的运动起始条件为t=0时，x0=H，v0=0。通过两次分离变量和积分，可得 例83 图8-3（a）所示圆盘在水平面内绕其中心铅垂轴O匀速转动，角速度为w。在距O轴为e的圆盘弦上开有一直槽，质量为m的质点M沿此槽运动。假设运动开始时，M处于图示位置且相对于圆盘静止，试求其相对运动方程和槽壁对它的约束力。 （a） （b） 图8-3解：设静坐标系Oxy如图所示，而动坐标系Oxyz固结于圆盘并绕轴Oz转动，Ox轴和Oy轴分别于直槽平行和垂直，如图8-3b所示。 圆盘角速度为w =

13、w k = 常矢量。图示时刻质点的矢径为 r = r=xi+ ej。速度、加速度分析如下 (a) (b) (c)则得到附加在质点M上的牵连惯性力和科氏惯性力为 (d)质点M 在直槽平面内真正受到的力只有槽壁的水平约束力FNFN = FN j (e)将式（b）、式（d）和式（c）代入式相应方程，可得到以矢量形式表示的质点相对运动微分方程 （f）投影到x轴y轴上 （g） （h）根据微分方程理论，令方程（g）的解为 （i）运动初始条件：t = 0时, ，解得质点M在直槽内的运动方程是 （j）将式（j）代入式（h），解得槽壁对质点M 的水平约束力 （k）例 84 图8-4中，等截面的均质细长杆AB长为

14、l，质量为m，试求该杆对于：（1）通过质心O且与杆垂直的y轴的转动惯量；（2）与y轴相平行的y轴的转动惯量。 图8-4解：设坐标系Oxy的x轴沿着杆的轴线。该杆线密度（单位长度的质量）r =m/l，则单元体dx的质量dm = rdx，于是 求刚体对y轴的转动惯量时，设坐标系Axy的x轴沿杆的轴线，如图8-4所示，则例8-5 图8-5中，厚度相等的均质薄圆板的半径为R，质量为m，求圆板对其直径轴的转动惯量。 解：首先，将圆板分成无数同心的单元圆环，半径为r，宽度为dr，如图812所示。令板的面密度（单位面积的质量）为，则单元圆环的质量。因为单元圆环上各点到中心O的距离都是r，所以，单元圆环对于中

15、心O的转动惯量是r2dm，而整个圆板对中心O的转动惯量是由于 则 由于均质圆薄板对x、y轴是对称的，故Ix=Iy。所以 由此可知：通过求对O点的极转动惯量，再求对x、y轴的转动惯量Ix、Iy，比利用式（820）直接求解要容易得多。 图8-5例8-6 钟摆简化模型如图8-6所示。已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为M1和M2，杆长为l ，圆盘直径为d ，求摆对于通过悬挂点O的水平轴的转动惯量IO 。解：摆对于水平轴O的转动惯量可分为两部分计算。即细长杆的转动惯量和圆盘的转动惯量 (a)应用平行轴定理，有 (b)与例84的计算结果相同。又 (c)将式(b)和式(c)代入式(a)，得图 8-68.5

16、习题解答8-1 质量m6kg的小球，放在倾角a30的光滑面上，并用平行于斜面的软绳将小球固定在图示位置。如斜面以ag的加速度向左运动，求绳之张力FT及斜面的反力FN，欲使绳之张力为零，斜面的加速度a应该多大？aaFTmgFN （a）（b）题8-1图解：研究小球，受力图如图示，由牛顿第二定律若kg，解得60.72N 12.43N若绳子张力为零，即0，则方程为解得a0.577g8-2 质量m2kg的物块M放在水平转台上，物块至铅直转动轴的距离r1m，如图示。令转台从静止开始匀加速转动，角加速度e0.5rad/s2。如物块与转台间的摩擦系数f，试求：(1)物块在转台上开始滑动的时间。(2)t2s时，

17、物块所受的摩擦力为多大？OanMatr（a）（b）题8-2图解：（1）研究物块M，加速度方向如图示，则由牛顿第二定律则 t3.59s 当t3.59s时，物块开始滑动。（2）研究物块M，由牛顿第二定律则当t2s时2.236N8-3 图示套管A的质量为m，受绳子牵引沿铅直杆向上滑动。绳子的另一段绕过离杆距离为l的定滑轮B而缠在鼓轮O上。鼓轮匀速转动，其轮缘各点的速度为uo，求绳子拉力FT与距离x之间的关系。定滑轮的外径比较小，可视为一个点。BaFTFNAFPxlxO（a）（b）题8-3图解：由几何关系(1)两边求导，得(2)其中(3)由(1)、(2)、(3)得研究套管A，受力图如图示，由牛顿第二定

18、律其中8-4 半径为r的偏心轮绕O轴匀速转动，角速度为w，推动导板沿铅直轨道运动，如图示。导板顶部放置一质量为m的物块A。设偏心距OCe，开始时OC连线为水平线。试求：(1)物块对导板的最大压力，(2)使物块不离开导板的w的最大值。AmgaAFNBw t（a）（b）题8-4图解：（1）以物块A为研究对象，则动力学方程为(1)由于代入(1)式得当cosw t1时为极大值 （2）若使物块A不离开导板，则条件为FN0即 当cosw t1时为最小值 得 8-5 物块A、B的质量分别为m120kg和m240kg，用弹簧相连，如图示。物块A沿铅直线以作简谐运动，式中振幅H10mm，周期T0.25s。弹簧的

19、质量略去不计。求水平面所受压力的最大值和最小值。aFm1gFm2gFNAB（a）（b）（c）题8-5图解：研究物块A，受力图如图示。(1)对于物块B，受力图如图示。(2)由(1)、(2)式解得代入数据得Nmin461.7NNmax741.3N8-6 题8-6图所示物块A、B的质量为mA20kg、mB10kg。最初它们静置于地板上，用绳子跨过滑轮把它们连接起来。不计绳和滑轮的质量，不计摩擦。今有一铅直向上的力F294N作用在滑轮的中心。求物块A和B的加速度各为多少？FTBFTAFFTAaAmAgFTBaBmBgABB (a)(b)(c)(d)题8-6图F解：研究滑轮，受力图如图示。由于不计滑轮质

20、量，所以研究物块A，受力图如图示 不存在， aA0研究物块B，受力图如图示， aB4.9 m/s28-7 题8-7图所示物体M在极深的矿井中下落时，其加速度与其离地心的距离成正比。求物体下落s距离所需的时间t和对应的速度v。设初速为零，不计任何阻力。yOOsRM（a）（b）题8-7图解：研究物体M，根据题意，则有A=k(Ry)当y=0时，a=g=KR得积分得由初始条件，当t=0，y=0时，可得 AR=0 A=-R 由于由初始条件，当t=0时，v=0，=0 B=0 当下落s时，则所需时间为下降速度为8-8 一名重量为800N的跳伞员，在离开飞机的10s内不打开降落伞而铅直降落。设空气阻力Rcrs

21、u2，其中r1.25N s2/m4，不开伞降落时，无因次阻力系数c0.5，与运动方向垂直的最大面积s0.4m2；开伞降落时，c0.7，s36m2。求在第10s末跳伞员的速度为多大？此速度与相应的极限速度相差多少？开伞后，稳定降落的速度等于多少？解：以跳伞员为研究对象，其受力图如图示，由牛顿第二定律题8-8图FPFRx令所以 分离变量为 积分得 对此式的时间t求极限可得极限速度当t10s时，代入数据可得v53.17 m/s，比极限速度小6%同理可得不开伞的极限速度为v156.57 m/s，开伞的稳定降落速度为v25.04 m/s。8-9 题8-9图所示物体由高度处以速度水平抛出，空气阻力可视为与

22、速度的一次方成正比，即，其中为物体的质量，为物体的速度，为常系数。求物体的运动方程和轨迹。F（a） （b） 题8-9图解： 视该物体为质点，其受力如图（b）所示，其中故即 解得 消去参数t后，轨迹方程为aqlMtmgaeFTO8-10 桥式吊车下挂着重物M，吊索长l，开始吊车和重物都处于静止状态，如图8-10示。若吊车以匀加速a作直线运动，求重物的相对速度与其摆角q的关系。（1）（2）题8-10图解：研究重物M，其加速度矢量图如图示，由加速度合成定理由牛顿第二定律在切线t方向投影得其中aea，则得而代入上式整理并写成积分式两边同时积分可解得8-11 题8-11所示圆盘以匀角速度w绕通过O点铅直轴转动。圆盘有一径向滑槽，一质量为m的质点M在槽内运动。如果在开始时，质点至轴心O的距离为e，且无初速度，求此质点的相对运动方程和槽对质点的水平约束力。yFNOwxaeaCarFICFIe（1）（2）题8-11图解：以质点M为研究对象，坐标系及受力图如图示，则牵连惯性力和科氏惯性力为由质点的相对运动微分方程mar=FFIC得即解第一式得 t0时，xe，代入方程得 解第二式得8-12 如图8-12所示，水平管C