第三节-曲面及其方程

1、第二节 曲面及其方程教学目的：二次曲面教学重难点：二次曲面的图形与方程的对应关系教 法：讲授课 时：2一、 曲面的方程： 1 定义 设为一曲面，F（x，y，z）=0或为一三元方程，空间中建立了坐标系以后，若上任一点P（x,y,z）的坐标都满足F（x，y，z）=0或，而且凡坐标满足方程的点都在曲面上，则称F（x，y，z）=0或为曲面的方程，而曲面叫做方程F（x，y，z）=0或的图形.不难看出，一点在曲面上该点的坐标满足的方程，即曲面上的点与其方程的解之间是一一对应的 的方程的代数性质必能反映出的几何性质. 2 三元方程的表示的几种特殊图形： 空间中任一曲面的方程都是一三元方程，反之，是否任一三元

2、方程也表示空间中的 一个曲面呢？一般而言这是成立的，但也有如下特殊情况 1 若F（x，y，z）=0的左端可分解成两个（或多个）因式F1（x，y，z）与F2（x，y，z）的乘积，即F（x，y，z）F1（x，y，z）F2（x，y，z），则F（x，y，z）=0F1（x，y，z）=0或F2（x，y，z）=0，此时F（x，y，z）=0表示两叶曲面与，它们分别以F1（x，y，z）=0，F2（x，y，z）=0为其方程，此时称F（x，y，z）=0表示的图形为变态曲面.如 即为三坐标面. 20方程 仅表示坐标原点和点（1，2，3） 3方程可能表示若干条曲线，如 即表示z轴和x轴 4方程不表示任何实图形，如 ，

3、此时，称所表示的图形为虚曲面 3 求法： 例1：求平行于坐标面的平面的方程. 解：设平行于面的平面为，与z轴的交点为，则 共面 =0 即 同理，平行于其他两坐标面的平面的方程为 例2：求作两定点A（1，-2，1），B（0，1，3）等距离的点的轨迹. 解： （图2.1） 设所求轨迹为，则 = -2x+4y-2z+6=-2y-6z+10 2x-6y-4z+4=0x-3y-2z+2=0 即所求轨迹为x-3y-2z+2=0 例3：求半径为R的球面的方程 解：建立直角坐标系O；i,j,k，并设球心（a,b,c），则 P（x,y,z）球面=R 特别地，若M.（a,b,c）为坐标原点，则球面的方程为 x+y

4、+z=R 综合上述条例，可归纳出求曲面方程的一般步骤如下： 1建立适当的坐标系；（方程易求且求出的方程简单） 2设动点坐标为P（x,y,z），并根据已知条件，推出曲面上的点的坐标应满足的方程； 3对方程作同解化简. 二、 曲面的参数方程： 定义 设DR为有序数对集，若对任意（u，v）D，按照某对应规则，有唯一确定的向量r与之对应，称这种对应关系为D上的一个二元向量函数，记作 r=r（u，v），（u，v）D 定义 设为一曲面，r=r（u，v），（u，v）D为一二元向量函数，在空间坐标系下，若对任意（u，v）D ，径向 =r（u，v）的终点P总在曲面上，而且对任意P，也必能找到（u，v）D，使=r

5、（u，v），则称 r=r（u，v）为的向量式参数方程，记作：r=r（u，v），（u，v）D. 若令 r（u，v）=x（u，v），y（u，v），z（u，v），则称 （u，v）DxyM.O 为的坐标式参数方程，记作： （u，v）DOPQMxyz (图2.2)例：建立球面的参数方程： (图2.3) 解：为简单起见，设坐标原点位于球心，球面半径为R，如图 对任意M（x,y,z）球面；令P为M在x.y面上投影， 并令 =（，），则 r= = =cos i+sin j+cos =sin cos i+ sin sinj+cos =Rsin cos i+Rsin sinj +Rcos 球面的参数方程为 0 0

6、2 三、 球坐标系与极坐标系 定义 空间中建立了直角坐标系之后，对空间中任一点M（x,y,z），设OM= 则M在以O为中心，以为半径的球面上，从而存在，使 （*） 反之，对任意（0），（0），（02），通过（*）也能确定空间中一点M（x,y,z），我们称有序三数组，为M点球坐标（空间极坐标），记作M（，） 注：1空间中的点与其球坐标间并非一一对应. 2已知M点的球坐标，通过（*）可求其直角坐标，而若已知M的直角坐标，则通过 （*） 便可求其球坐标. 定义 空间中建立了直角坐标系之后，对M（x,y,z），设其到z轴的距离为，则 M落在以z轴为中心轴，以为半径的圆柱面上，从而，u，使 （*） 反之，对给的（0），（02），u（u）,依据（*）式也可确定空间中一点M（x,y,z），称有序三数组，u为M点的柱坐标，记作M（，u）. 注：1空间中的点与其柱坐标并非一一对应. 2