第二节-二重积分的计算_第1页
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1、 高等数学课 讲 教 案 主讲人 课 题 9.2二重积分的计算目的任务 掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标）重点难点 二重积分的直角坐标的计算教学方法 讲授法 练习法使用教具 提问作业 课后习题备课时间 年 月 日 上课时间 年 月 日查 阅 抽 查一、 直角坐标系中的计算法1. 转化面积元素用平行于轴和轴的直线对区域进行分割（图9.3），所得子域中除一些不规则之外，其余均为矩形，其面积，当全部子域上的和式的极限与仅计算矩形子域上的和式的极限相等， 即其中称为直角坐标的面积元素。2. 化二重积分为二次积分设且在上连续，积分域由不等式组表示（图9.4）其中在上连续。先计算截面面积在上用垂直

2、于轴的平面去截曲顶柱体，平面与曲顶柱体的截面是一个以区间为底，为高的曲边梯形（图9.5），所以它的面积为 其中积分的上、下限分别为区域的上段边界与下段边界上对应于横坐标为的点的纵坐标。改为之间任意点，则得截面面积为的函数，即 曲顶柱体体积的计算公式：由二重积分的几何意义可得二重积分的计算公式：如果积分区域由下列不等式组表示（图9.6） 其中在上连续，计算公式 二重积分化为二次积分时积分次序和积分上、下限有关，主要由积分区域确定：（1） 如果区域为沿轴方向的正规区域，二重积分可化为先对再对的二次积分。（2） 如果区域为沿轴方向的正规区域，二重积分可化为先对再对的二次积分。（3） 如果区域为既沿轴

3、方向又沿轴方向的正规区域，二重积分可化为对的二次积分的计算。（4）如果区域为既不沿轴方向又不沿轴方向的正规区域，可划分成几块沿轴方向的正规区域或沿轴方向的正规区域。（图9.7）例1 计算，为直线与抛物线所围的区域。解法1 区域由直线与抛物线所围的区域的交点为（0，0）与（1，1） 解法2 例2 把化成二次积分，其中是由和围成的区域。解 直线和抛物线的交点为（8，4）和（2，2）或 例3 计算，为直线与所围的区域。解 直线与的交点为（1,1），（0,1），（0,0） 例4 交换下列二次积分的积分次序解 变化范围 积分区域由下列直线围成，交换积分次序，得 二、 极坐标系中的计算法1. 直角坐标系的二重积分化为极坐标系的二重积分在极坐标系下，引过极点的射线和以极点为圆心的同心圆，把分成多个小区域（图9.12），忽略边界点的小区域，其余任意小区域的面积为： 在圆周上任取一点（）其中，其直角坐标为，两者关系为因此 即 2.极坐标系的二重积分化为二次积分极点在区域之外（图9.13）区域可以用不等式表示，极坐标系的二重积分化为极点在区域边界上（图9.14）区域可以用不等式表示，二重积分化为极点在区域之内（图9.15）区域可以用不等式，二重积分化为例

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