马斯京根法洪水演算公式参数确定方法的商榷

1、节水灌溉 2009 年第 8 期57文章编号: 10072 4929 (2009) 082 0057202马斯京根法洪水演算公式参数确定方法的商榷常蒲婷1 ,杨侃1 ,赵建刚2 ,沈雪娇1(1 . 河海大学水文水资源与水利工程科学国家重点实验室 ,江苏南京 210098 ;2 . 华北水利水电学院水利学院 ,河南郑州 450011)摘 要:针对近年来最小二乘法用于马斯京根法出现的一种趋势 ,从流量演算法的水力学理论出发 ,剖析了马斯京根法进行洪水演算的原理 ,指出了马斯京根法中参数的物理意义。同时通过马斯京根法的理论解释 ,从理论上论证了康吉演算法推算具有衰减特性的洪水波运动必须满足的条件 ,

2、指出了最小二乘法用于马斯京根法公式参数确定时造成的参数物理意义的模糊 ,并且该做法并不能从理论上保证该条件的成立以及可能出现的问题 ,所得结论愿与读者商榷。 关键词:流量演算法;马斯京根法;最小二乘法;参数确定中图分类号 : TV11文献标识码:ADiscussion on Determination Method f or Parametersof Muskingum Method f or Flood Calculation FormulaCHANG Pu2ting1 ,YANG Kan1 , ZHAO Jian2gang2 ,SHEN Xue2jiao12(1 .State Key L

3、aborato ry of Hydrology Water Reso urces and Hydraulic Engineering , Ho hai U niversity ,Nanjing 210098 ,China ;2 .Hydraulic Engineering Depart ment ,Nort h China U niversity of Water Conservancy and Elect ric Power ,Zhengzho u 450011 ,China)2Abstract :Aiming at t he t rend of t he least square met

4、hod used in Muskingum met hod in recent years , starting f ro m t he hydraulic t heo ry of t he flow algorit hms met hod , t his paper analyzes t he flooding calculations p rinciple of t he Muskingum met hod and point s o ut t he p hysical meaning of parameters of Muskingum met hod. Then t hrough t

5、heoretical explanatio n of t he Muskingum met hod , t his paper t heo retically demo nst rates t he co nditions which should be met when t he Cunge algorit hms met hod is used fo r flood wit h attenuationcharacteristics. It also point s o ut t he f uzzy of t he parameters p hysical meaning and po ss

6、ible arising p roblems when t he least square method is used in t he Muskingum met hod , and t he met hod is not able to guarantee t he establishment of t he conditions. Key words :flow algorit hms met hod ; Muskingum met hod ; least square met hod ; determination of parameters1 马斯京根法简介马斯京根( Musking

7、um) 法是 McCart hy 于 1934 年提出 ,并在美国马斯京根河上首先应用的一种用于河道洪水演算的方法。由于该法在数学上比较简单 ,在一般河道的洪水演算中效果较好 ,因而到现在仍在世界范围内被广泛应用。马斯京根法属于流量演算法的一种 ,流量演算法是在圣唯南 ( Saint - Venant) 方程组简化的基础上 ,根据河段的水量平衡原理与槽蓄关系把河段上游断面的入流量过程演算为下游断面的出流量过程的方法 ,也就是通过河槽调蓄作用的计算反映河道洪水波运动的变化规律 ,它是河道非恒定流计算中一种水文学的近似简解方法1 。一般情况下 ,槽蓄关系( W = f ( O) ) 因不同洪水波受

8、附加比收稿日期:2009201229降的影响而呈现顺时针绳套、逆时针绳套和单值关系 ,如果槽蓄关系呈单值线性函数形式 ,则流量演算可大为简化。这就是流量演算法的一般思路。具体到马斯京根法来说 ,它是以连续方程表示的水量平衡方程和以槽蓄方程代替的动量方程来描述的 ,即:dW= I - O(1)d tW = k ( x I + (1 - x) O)(2)式中: I 和 O 分别为研究河段的上段面入流和下段面出流; W 为该河段内的蓄水量; k 和 x 则为参数 , k 值是槽蓄曲线的坡度 , 从物理意义上讲, k 值等于相应蓄水量 W 下稳定流状态河段传播时间; x 为流量比重因子; x I +

9、( 1 - x) O 为示储流量, 用Q表示。作者简介:常蒲婷(19842) ,女 ,硕士研究生 ,主要从事水资源规划与管理方面的研究工作。58马斯京根法洪水演算公式参数确定方法的商榷常蒲婷 杨 侃 赵建刚 等(1) 、(2) 两式的差分解为 :O2 = C0 I2 + C1 I1 + C2 O1(3)其中:C0 =0 . 5 t - kxC1 =0 . 5 t + kxk - kx + 0 . 5 tk - kx + 0 . 5 tC2 =k - kx - 0. 5tC0 + C1 + C2 = 1 . 0(4)k - kx + 0. 5t上述就是大家所熟悉的马斯京根法河道洪水演算公式。对于

10、给定的河段 ,演算时段长t 确定后 , 待定参数有 k 和 x 。马斯京根法假定 x 、k 是常数 , 通过反复调整 x , 使得河段蓄量 W 与示储流量 Q成单一的直线 , k 就是这个曲线的斜率: k = dW / d Q。通常步骤为 :假设不同的 x 计算示储流量 Q,直至 W 和 Q呈单值关系或近似为单值关系为止。但实际上 x 并不是常数 , W - Q不是直线, 而是曲线, 所以也是变化的。这需要从 k 、x 的物理意义来解释。现已证明 : k 值等于在相应蓄量下恒定流状态下的传播时间 , 这是 k 的物理概念。显然 k 随恒定流流量而变化, 取 k 为常数是有误差的;而 x 表示本

11、演算河段的河槽调蓄能力 , 显然对于不同数量级的洪水 x 也是不同的。文献 3 、4 都采用最小二乘法进行优化计算 , 共同做法是以计算与实测流量的差的平方和为目标函数 , 以 C0 + C1 +C2 = 1 . 0 为约束条件, 由实测水文资料采用最小二乘法优化 C0 、C1 、C2 , 如果需要知道 k 、x , 则再由已经优化出的 C0 、C1 、C2反算得到 ,这就是文献 3 、4 的一般思路。由以上论述可见 :文献 3 、4 中是将马斯京根法作为黑箱模型来处理 ,这种先优化 C0 、C1 、C2 而后反算 k 、x 的做法不但不能保证示储流量 Q和蓄水量 W 呈单值关系, 而且使得

12、k和 x 本已揭示清楚的物理意义丧失 ,使得本已具有明确物理意义的马斯京根法重新沦为“黑箱模型”,这种计算方法是值得商榷的。2 马斯京根法的理论解释早在 1969 年 ,法国水力学家康吉(Cunge) 在研究运动波方程时发现了数值扩散现象 ,他采用四点线性隐式差分格式 ,对 2 运动波方程进行差分 ,取二阶近似就是扩散波方程。QX ( Qn+j1- Qnj ) + (1 - X) ( Qn+j+11 - Qnj+1 )(5)9tY ( Qn+j+11tQ- Qn+j1 ) + (1 - Y) ( Qnj+1 - Qnj )9(6)9xx9式中 : Q 的上标为时间, 下标为断面位置 , 例如

13、Qnj + 1 表示断面 j在 n + 1 时刻的流量; X 和 Y 分别为时间和空间的差分格式的权重系数; t 为时间步长 ; x 为空间步长。将式(4) 、(5) 代入运动波方程 ,并取 Y = 0. 5 , 令 K =x/ Ck( Ck 为波速) , 并解出 Qnj+ 11 , 得:Qn+j+11 = C0 Qnj + C1 Qn+j1+ C2 Qnj+1(7)其中:C0 =0. 5 t - KXC1=0. 5 t + KXK - KX + 0 . 5 tK - KX - 0 . 5 tC2 =K - KX - 0 . 5tC0+ C1 + C2 = 1K - KX + 0 . 5 t图

14、 1偏心差分格式公式(7) 其实就是马斯京根法的推流公式。而欲使该式能推算具有衰减特性的洪水波运动 ,其中的参数必须满足下式 :1(8)X = 2- Ck x式中:为洪水波扩散系数; Ck 为波速; x 为河段长; X 为时间的差分格式的权重系数 , 亦即是马斯京根法中的权重系数。由上式可见, X 与洪水波扩散系数, 波速, 河段长等因素有关。由于为正值, 所以 X 总是满足 X 0. 5 。通过上述分析可以看到:马斯京根法已经由经验试错上升到了具有一定水力学理论支撑的理论水平。至于 k 、x 两个参数更是已经具有了明确的物理意义 , 而且只有在 X 0. 5 的条件下, 采用马斯京根法进行洪

15、水演算才能得到稳定解。文献 3 、4 中 , 采用公式(4) 反向推导得到了 k 、x 的计算公式, 若要使得 X 0 . 5 成立的必要条件是 :由文献 3 、4 中采用的最小二乘优化算法优化得到的 C0 、C1 、C2 和采用传统的试错法得到的 k 、x 进而计算得到的 C0 、C1 、C2 分别相等或者误差在可接受范围内。而这一点由于河道汇流的非线性现象的存在并不是总能满足的 , 因此 , 文献 3 、4 采用的方法并不能从理论上保证 X 0. 5 这个条件的成立 ,而只能通过数值计算偶然满足 ,关于此点本文作者愿与文献 3 、4 的作者商榷。3结 语本文作者通过流量演算法的水力学理论出发 ,阐述了采用流量演算法进行河段洪水演算的基本原理 ,进而通过马斯京根法的理论解释 - 康吉演算法 ,从两个方面论述文献 3 、4 解决问题方法中存在的不足之处 ,具体是: 不但使得 k 、x 两个参数的物理意义丧失 , 而且由 C0 、C1 、C2 3 个参数反算得到的的表达式并不能从理论上保证满足 X 0 . 5 这个条件 ,因此应用最小二乘法于马斯京根法公式参数的确定 ,这样的计算方法还称为马斯京根法是不确切的 ,称之为黑