计算方法实习报告

1、一给出一个有效的算法和无效的算法计算积分y(n)=(xn)/(4x+1)dx,n=0,1,2,10,积分限为（0，1） 1 有效算法利用递推公式y(n)=-y(n-1)/4+1/(4n)，取y0=(log5)/4程序为：#include#includevoid main() double y0,y1; y0=1/4.0*log(5.0); couty0=y0 ; for(int n=1;n=10;n+) y1=-1.0/4.0*y0+1.0/(4.0*n); coutyn=y1 ; y0=y1; if(n%3=0) coutendl; 其结果为： y0=0. y1=0.14941 y2=0.

2、y3=0.y4=0. y5=0. y6=0.y7=0. y8=0. y9=0.y10=0. Press any key to continue2 无效算法利用递推公式y(n-1)=-4y(n)+1/n, 又由广义积分中值定理可得y(n)=1/(4n+1)(4+1), (0,1),则1/(5(n+1)y(n)1/(n+1), 所以可取y(n)1/(5(n+1)+ 1/(n+1)/2=3/(5(n+1)程序为：#include #includevoid main() float y9,y10; y10=3.0 /55.0; couty10=y10=0;n-) y9=-4.0*y10+1.0/(n+

3、1); coutyn=y9 ; y10=y9; if(n%3=0) coutendl; 其结果为：y10=0. y9=-0.y8=0. y7=-2.21035 y6=8.98427y5=-35.7704 y4=143.282 y3=-572.877y2=2291.84 y1=-9166.86 y0=36668.43 心得体会由有效算法与无效算法的结果可以知道：有效算法的误差的传递是逐步缩小的，而无效算法的误差的传递是逐步扩大的。因此有效算法是数值稳定的算法。二用牛顿法求下列方程lnx+x-2=0的根。1算法 给定初值X0，为根的容许误差，为|F（X）|的容许误差，N为迭代次数的容许值。(1).

4、如果F（X0）的导数等于零或者迭代次数大于N，则算法失败，结束；否则执行2。(2).计算X1=X0-F（X0）/F（X0）。(3).若|X1-X0|,或者|F（X1）|,则输出X1，程序结束，否则执行4。(4).令X0=X1，转向1。2.程序#include#include#define EPS 1e-8#define ETA 1e-8#define N 100float f(float x)return log(x)+x-2;float f1(float x) return 1+1/x;void main()float x1,x0=1.5,d;coutx0=x0 ;for(int i=0;i

5、=N;)if(f1(x0)=0) break;else x1=x0-f(x0)/f1(x0);d=(x1-x0);if(fabs(f(x1)ETA&fabs(d)EPS)coutx1endl; break;elsex0=x1;i+;coutxi=x0 ;while(i%3=0) coutendl;coutThe root of the equation is x=x0endl;3.结果x0=1.5 x1=1.55672x2=1.557151.55715The root of the equation is x=1.557154心得体会通过牛顿迭代算法的编程实习，我了解到牛顿法把非线性方程线性化

6、，加快了收敛速度。三 编写一个用牛顿前插公式计算函数值的程序，要求先输出差分表，再计算x点的函数值，并应用于下面的问题： xi 20 21 22 23 24 yi 1.30103 1.32222 1.34242 1.36173 1.38021求x=21.4时的插值多项式的值。1 算法(1).输入n=4,xi,yi(i=0,1,2,3,4).(2).计算各阶差分f00,f10,f20,f30,f40。(3).计算函数值：f00+f10*t+f20*t*(t-1)/2+f30*t*(t-1)*(t-2)/6+f40*t*(t-1)*(t-2)*(t-3)/24;2 程序#includefloat

7、NewTon(float f00,float f10,float f20,float f30,float f40,float t) return f00+f10*t+f20*t*(t-1)/2+f30*t*(t-1)*(t-2)/6+f40*t*(t-1)*(t-2)*(t-3)/24;void main()float f14,f23,f32,f4; float f05=1.30103,1.32222,1.34242,1.36173,1.38021; float x5=20,21,22,23,24;cout 差分表endl;for(int i=0;i=4;i+)cout xi=xi;coute

8、ndl ; for(i=0;i=4;i+)cout f0i;coutendl1阶差分 ;for(i=0;i=3;i+)f1i=f0i+1-f0i;coutf1i ;coutendl2阶差分 ; for(i=0;i=2;i+)f2i=f1i+1-f1i;coutf2i ;coutendl3阶差分 ; for(i=0;i=1;i+)f3i=f2i+1-f2i;coutf3i ;coutendl4阶差分 ;f4=f31-f30;coutf4endl;float t=21.4-x0;float N4=NewTon(f00,f01,f02,f03,f04,t);coutN(21.4)=N4endl;3

9、结果 差分表 x0=20 x1=21 x2=22 x3=23 x4=24 1.30103 1.32222 1.34242 1.36173 1.380211阶差分 0. 0.0202 0.01931 0.2阶差分 -0. -0. -0.3阶差分 9.98974e-005 6.00815e-0054阶差分 -3.98159e-005N(21.4)=3.482684 心得体会由于此题目选用的节点是等距的，所以可用等距节点的插值公式代替节点的任意分布的牛顿插值公式，这样就可以简化插值公式，同时可以避免作除法运算，而且程序算法的设计也相对比较简单。四 用改进欧拉方法（取h=0.1）求解下列微分方程初值问

10、题：y=(x2+y2),x0,1.0 y(0)=01 算法解一阶常微分方程初值问题y=f(x,y),y(x0)=y0,xa,b,将区间a,b做n等分，取步长h=(b-a)/n.欧拉公式为：y(i+1)=y(i)+hf(x(i),y(i)梯形公式为：y(i+1)=y(i)+hf(x(i),y(i)+ f(x(i+1),y(i+1)/2改进欧拉法，采用公式：(i+1)=y(i)+h f(x(i),y(i)y(i+1)=y(i)+hf(x(i),y(i)+ f(x(i+1),(i+1)/22 程序#include#define N 10float f(float x,float y)return x

11、*x+y*y;void main()float x0=0,y0=0,a=0,b=1.0;float h=(b-a)/N;coutx0=x0 y0=y0endl;float x1=x0,y1=y0;for(int i=0;i=N;)y1=y0+h*f(x0,y0);/*欧拉公式*/x1=x0+h;y1=y0+h*(f(x0,y0)+f(x1,y1)/2;/*梯形公式*/y0=y1;x0=x1;i+;coutxi=x1 yi=y1endl;3 结果x0=0 y0=0x1=0.1 y1=0.0005x2=0.2 y2=0.x3=0.3 y3=0.x4=0.4 y4=0.x5=0.5 y5=0.x6=

12、0.6 y6=0.x7=0.7 y7=0.x8=0.8 y8=0.x9=0.9 y9=0.x10=1 y10=0.35183x11=1.1 y11=0.4 心得体会改进欧拉公式和欧拉公式相比，它们同为单步显式公式，但是前者的局部截断误差比后者的局部截断误差高一阶。欧拉公式具有一阶精度，梯形公式和改进欧拉公式具有二阶精度。五用阿当姆斯方法（取h=0.1）求解下列微分方程初值问题（用四阶龙格-库塔公式提供出发值）：y=0.1(x3+y2),x0,1 y(0)=11. 算法概要阿当姆斯方法是一种线性多步法，其四阶显式公式为y(i+1)=y(i)+h(55f(i)-59f(i-1)+37 f(i-2)

13、-9 f(i-3)/24四阶隐式公式为y(i+1)=y(i)+h(9 f(i+1)+19f(i)-5f(i-1)+ f(i-2)/24以上两个公式均具有四阶精度，将它们组成阿当姆斯预测-校正系统：(i+1)=y(i)+h(55f(i)-59f(i-1)+37 f(i-2)-9 f(i-3)/24f(i+1)=f(x(i+1), (i+1)y(i+1)=y(i)+h(9 f(i+1)+19f(i)-5f(i-1)+ f(i-2)/24f(i+1)=f(x(i+1), y(i+1)这是一个四步方法，计算y(i+1)时要用到y(i),y(i-1)，y(i-2),y(i-3),因此，它不是自开始的，一

14、般借助于同阶的龙格-库塔公式为其提供出发值：y1,y2,y3.2. 程序#include#include#define N 10float f(float x,float y)return 0.1*(x*x*x+y*y*y);void main()float yy3,y,x,h,a,b,k1,k2,k3,k4,f1;a=0;b=1.0;y=1;x=0;yy0=1;h=(b-a)/N; int i;coutx0=x y0=yendl;for(i=1;i=3;i+) k1=f(x,y); k2=f(x+h/2,y+h*k1/2); k3=f(x+h/2,y+h*k2/2); k4=f(x+h,y+

15、h*k3); y=y+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; x=x+h; yyi=y; coutxi=x yi=yendl;for(i=3;i=N;i+)x=a+i*h;y=yy3;yy3=yy3+h*(55*f(x,yy3)-59*f(x-h,yy2)+37*f(x-2*h,yy1)-9*f(x-3*h,yy0)/24;f1=f(x+h,yy3);yy3=y+h*(9*f1+19*f(x,yy3)-5*f(x-h,yy2)+f(x-2*h,yy1)/24;yy0=yy1;yy1=yy2;yy2=yy3;coutxi+1=x yi+1=yy3endl;3结果x0=0 y0=1x1=0.1 y1=1.01016x2=0.2 y2=1.02066x3=0.3 y3=1.03163x4=0.3 y4=1.04353x5=0.4 y5=1.05623x6=0.5 y6=1.07019x7=0.6 y7=1.08579x8=0.7 y8=1.1035x9=0.8 y9=1.1239x10=0.9 y10=1.14766x11=1 y11=1.175564 心得体会阿当姆斯预测-校正公式是将阿当姆斯内插公式与阿当姆斯外插公式相结合而形成的预测校正系统。阿当姆斯外推