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工程力学chapter-2 力系的平衡2 工程力学 chapter 力系 平衡

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Q = 120kN F M C A FAx FAy 解：取 ABC 整体，受力如图 理论力学 = 0 M + F cos 30 9 - 40 -120 6 = 0 M A C A 1 3 9 0 0 0 = 0 F - F sin 30 = 0 F 2 M A 760 Ax C x - 1 F 0 力系的平衡 1 0 2 = 120 Ax = 0 F + F cos30-120 = 0 F F Ay C y Ay 3 -320 0 0 1 -9 FC MC 2 = 0 MA - FAy 9 - 40 +1203 = 0 1 0 0 0 - 9 3 , -1080 ⎯⎯r⎯4⎯+⎯r1⎯ (-1) -9 0 2 版权所有张强 ⎯⎯r⎯3⎯⎯(-9) 9 3 2 -9 - , -1080 0 0 1 平面任意力系只有 三个独立 的平衡方程，只能求解 三个未知量 Q = 120kN F M C A FAx FAy 理论力学 力系的平衡 版权所有张强 2 Q = 120kN F M C A FAx FAy 解：取 BC ，受力如图 理论力学 Q = 120kN M FC FC cos 30 -120 3 = 0 FBx = 0 B 力系的平衡 取 ABC 整体，受力如图 FBy M = 0 M + F cos 30 9 - 40 -120 6 = 0 A C A Fx Fy FAx - FC sin 30 = 0 FAy + FC cos30-120 = 0 = 0 = 0 版权所有张强 3 例 支架由 AB 和 BC 构成。已知梁 AB 的中点 D 处受一已知铅垂力F 。不计构件自重，求 BC 杆所受力和铰链A 的约束反力。 F 解 (1) 取 AB 为研究对象 (2) 作 AB 受力图 (3) 建立平衡方程 D A B 理论力学 F B B F = 0 C ix -FA cos 30 + FB cos 30 = 0 力系的平衡 FC Fiy = 0 C y -F + FA sin 30 + FB sin 30 = 0 A F D B F = F = F x A B 版权所有张强 FA FB 4 30o 例 支架由 AB 和 BC 构成。已知梁 AB 的中点 D 处受一已知铅垂力F。不计构件自重，求 BC 杆所受力和铰链A 的约束反力。 F 解 (1) 取 AB 为研究对象 D A B 理论力学 F B B C 力系的平衡 = F = F FA B FC F F C B y F A F ！ A D B 60o x 版权所有张强 FA F B 5 60o 平面汇交力系平衡： 各力矢量首尾相接，最终封闭。 30o (2) 作 AB 受力图 (3) 建立平衡方程 (4) 几何法 例 悬臂梁 AB 长为 l ，A 端为固定端约束。已知梁上分布载荷的集度为 q。不计自重，求 A 端的约束反力。 解 (1) 以 AB 梁为研究对象 (2) 作 AB 的受力图 (3) 建立平衡方程 A B l 理论力学 Q (ql) M q A F = 0 F Ax ix B A F = 0 Ax FAy 力系的平衡 Fiy = 0 FAy - Q = 0 M A (Fi ) = 0 FAy = ql 版权所有张强 1 2 l 2 M = ql 2 M - Q = 0 A A 6 q 例 图示载荷 q1 ，q2 ，F ，M 及尺寸 a 和角度b 均已知，试求 直杆 AD 在固定端 A 处所受到的约束力（杆重不计）。 解 取直杆，其受力如图 r FAy M Fx = 0 : FAx + F cos b = 0 FAx = -F cosb = 0 : MA r 理论力学 FAx Fy 3a - q1 3a - (q2 - q1 ) + F sin b= 0 FAy 2 力系的平衡 F = 3 (q + q )a - F sin b Ay 1 2 2 3a M A MA + M - (q1 3a) (a + = 0 : ) 2 - 1 (q - q ) 3a (a + 2 3a) + (F sin b) 5a = 0 2 2 1 3 版权所有张强 = 3q a2 + 9 q a2 - M - 5Fa sin b M A 1 2 2 7 q2 D q1 A a B C b r F a 3a 例 图示结构中，重为 G 的重物 E 通过一细柔绳跨于一转轮 O 上。结构尺寸如图。不计结构和绳的自重，求 A，B 两铰链的约束力。 解 (1) 以 AC 及转轮的组合为研究对象 r r r r A C MC (Fi ) = 0 3Gr + Fr - FAy (4r) = 0 O 理论力学 E G = G FAy D B 力系的平衡 F F Cy Ay C FAx FCx A F = G E 版权所有张强 G 8 3r 例 图示结构中，重为 G 的重物 E 通过一细柔绳跨于一转轮 O 上。结构尺寸如图。不计结构和绳的自重，求 A，B 两铰链的约束力。 解 (1) 以 AC 及转轮的组合为研究对象 r r r r A C = G FAy 理论力学 (2) 以整体为研究对象 E F G = 0 iy D B + F - G = 0 F = 0 力系的平衡 F By Ay By y F Ay M A (F ) = 0 C A i 1 F FBx = G 3 FBx 3r - Gr = 0 Ax E FBy (F ) = 0 M G 版权所有张强 B i 1 -FAx 3r - Gr = 0 FAx = - G 3 x FBx D B 9 3r 例 已知：a =1m, F = 5kN, q = 2.5kN/m, M = 5kNm, 自重摩擦不计， 求：A、B、E 处的约束力。 M q ！ F A B E C D 2a 理论力学 a a 2a 2a Q2 (2qa) Q (4qa) M FCy q q F F F B F 力系的平衡 Ay Ay B E F D A C A C F F Ax Cx Ax F F F E B B Q1 (2qa) Q1 (4qa) M M q F Cy E E 版权所有张强 D D C FCy C FCx FCx 1 0 F F E E 注意此类分布载荷的处理 例 图示为一组合梁。已知长为 l ，力F为已知水平力，q 为已知均布载荷。求固定端 A 处的约束力。 F D q 理论力学 B 2l l A C F D F M ? Cy A 解 q 力系的平衡 C FCx C FAx? A ? FCx B ? FB ? FCy FAy? 平衡方程个数： 3 平衡方程个数： 3 平衡方程总数： m = 6 版权所有张强 静定问题 未知量总数： n = 6 1 1 l/2 例 图示为一组合梁。已知长为 l ，力F为已知水平力，q 为已知均布载荷。求固定端 A 处的约束力。 F D q 理论力学 B 2l l A C 解 (1) 以 CBD 为研究对象 力系的平衡 F D M (F ) = 0 C C i F l Cx B FB FBl - F 2 = 0 FCy F = 1 F B 2 版权所有张强 1 2 l/2 例 图示为一组合梁。已知长为 l ，力F为已知水平力，q 为已知均布载荷。求固定端 A 处的约束力。 F D M (2ql) Q A q F = 1 F F 理论力学 Ax B FB B 2 2l l A C FAy (2) 以整体为研究对象 力系的平衡 Fix Fiy FAx = -F FAx + F = 0 = 0 1 FAy = 2ql - F 2 = 0 FAy + FB - 2ql = 0 - 2ql 2 - F l + F M M 3l = 0 M (F ) = 0 版权所有张强 A B A i 2 = 2ql2 - Fl 1 3 A l/2 例 图示结构中，已知 q=12N/m, M=20Nm, a=1m, CD ^ DE。不计自重和摩擦，求固定端 A 处的约束力。 解 分析 CD 是否为二力杆？ (1) 以 CD 为研究对象 q D B M 理论力学 E A (F ) = 0 D i FC a - M = 0 FC C = M = 20 = 20N D 力系的平衡 F C a 1 M F DE q B C FC F A MA Ax 版权所有张强 1 4 F Ay a C M a a 例 图示结构中，已知 q=12N/m, M=20Nm, a=1m, CD ^ DE。不计自重和摩擦，求固定端 A 处的约束力。 解 (1) 以 CD 为研究对象 FC = 20N (2) 以 ABC 为研究对象 MA (Fi ) = 0 q D B 理论力学 E A a FC C - Q 2 a + F a = 0 M D A C 力系的平衡 3 = 1 qa 2 a - F a M M F DE A C 2 3 q (qa/2)Q 1 B C = 12 12 3 = -16Nm - 20 1 FC F A MA Ax 版权所有张强 1 5 F Ay 2a/3 a C M a 例 图示结构中，已知 q=12N/m, M=20Nm, a=1m, CD ^ DE。不计自重和摩擦，求固定端 A 处的约束力。 解 (1) 以 CD 为研究对象 FC = 20N (2) 以 ABC 为研究对象 q D B 理论力学 E A a F = 0 ix FC C F + Q = 0 = -Q D 力系的平衡 Ax FAx M F DE = - 1 qa 2 (qa/2)Q B C FC F = -6N A MA Ax 版权所有张强 1 6 F Ay 2a/3 a C M a 例 图示结构中，已知 q=12N/m, M=20Nm, a=1m, CD ^ DE。不计自重和摩擦，求固定端 A 处的约束力。 解 (1) 以 CD 为研究对象 FC = 20N (2) 以 ABC 为研究对象 q D B 理论力学 E A a F = 0 iy FC C F + F = 0 D 力系的平衡 Ay FAy C = FC = -20N M F DE (qa/2)Q B C FC F A MA Ax 版权所有张强 1 7 F Ay 2a/3 a C M a 例 已知：F , a，各构件的重量及摩擦不计求：A、B 两处的约束力。 解 (1) 以整体为研究对象 D F E C MB (Fi ) = 0 -FAy 2a - F a = 0 FAy A FBy B 理论力学 F F Ax Bx a a a F = -F /2 Ay 力系的平衡 Fiy = 0 FAy + FBy - F = 0 FBy = 3F / 2 版权所有张强 Fix = 0 FAx + FBx = 0 1 8 a a 例 已知：F , a，各构件的重量及摩擦不计求：A、B 两处的约束力。 解 (1) 以整体为研究对象 D F E C (2) 以 EC 为研究对象 FAy A FBy B M 理论力学 (F ) = 0 C i F F FE a sin 45 - F a = 0 Ax Bx a a FDx a FE = 2F 力系的平衡 D FDy (3) 以 AED 为研究对象 F E E M (F ) = 0 F D i Cy F F F 2a - F 2a Ay E C Ax Ay 2a = 0 A FAx FCx - F 版权所有张强 E F E F = F /2 F = -F /2 1 9 Ax Bx a a 例 图示平面结构，杆 BC 处于铅垂位置，已知力偶矩 M，铅 垂力 F, AD = BD = CD = AC = a, DE = CE, 试求杆 CD 两端所受到的销钉的约束力。 分析 不计自重和摩擦， y B 理论力学 F By B FBx FDy 力系的平衡 D M FA A (1) FCy C F Dx F (1) E F Cy C F x C Cx F (1) Cx FCx F (1) F Cx F Cy Cy 版权所有张强 2 0 D M E F 例 图示平面结构，杆 BC 处于铅垂位置， 已知力偶矩 M，铅垂力 F , AD = BD = CD = AC = a, DE = CE。不计自重和摩擦，试求杆 CD 两端所受到的销钉的约束力。 y B 解 (1) 取整体 FA A F (1) 理论力学 Cy C x (1) F = 0 F (1) = 0 x Cx F F Cx (2) 取杆 BC（带销钉 C） By 力系的平衡 B MB FBx = 0 M - F 2a sin 60 = 0 M Cx 3 M F (1) F = Cy C Cx 3 a F 版权所有张强 Cx F F (1) 2 1 Cx Cy D M E F = 0y (3) 取杆 CD F (1) B Cx Fx 3 M = 0 F = Cx 3 a FCx FDx - FDx = FCx = 0 = FCx D M 3 M FA F (1) 理论力学 = E Cy C 3 a x A F MB = 0 (1) FCx a FCx a sin 60 + FCy = Fa - 2M a sin 30 - F sin 30 = 0 2 力系的平衡 FDy F D FDx Cy 2a Fx = 0 E F C -F - F + F = 0 Dy Cy 2M + Fa FCx 版权所有张强 F F = - Cy 2 2 Cy 2a 例 半径为R 的均质薄壁无底圆筒，放置于光滑水平面上，筒内装有两个重 P，半径为 r 的均质球，已知 R/2 < r < R ,不计 摩擦和筒厚，试求系统能够平衡的圆筒重量。 (1) 取两球为研究对象 解 Fy = 0 FN1 - PA - PB = 0 理论力学 F = 2P N1 (2) 取整体为研究对象 C D 力系的平衡 = 0 F + F - P - P - W = 0 F F F y N1 N 2 A B N1 N2 FN2 = W B PB FNB A FNA PA FN1 版权所有张强 2 3 A r PA R B r PB W x 例 半径为R 的均质薄壁无底圆筒，放置于光滑水平面上，筒内装有两个重 P，半径为 r 的均质球，已知 R/2 < r < R ,不计 摩擦和筒厚，试求系统能够平衡的圆筒重量。 (1) 取两球为研究对象 解 Fy = 0 FN1 - PA - PB = 0 理论力学 F = 2P N1 (2) 取整体为研究对象 C D 力系的平衡 = 0 = 0 F = W F F F y N2 -FN2 x - FN1 (2R - r) + (PA N1 N2 MD + PB ) R + W R = 0 x = WR - 2P(R - r) 0 W W 2P 1 - r 版权所有张强 R 2 4 A r PA R B r PB W x 例 图示结构中， P=20kN, M=10kNm, q=4kN/m, 结构尺寸如图。不计结构自重，求 A，D 两处的约束力。 M 解 分析 F B C By P 30 B P FBx 理论力学 30 A D q M A A 5m F Ax F Ay 力系的平衡 M B C FBy FCy (qa/2=6kN) Q FCy C F F FCx Cx Bx D q F 版权所有张强 Dx F Dy 2 5 1.5m 1.5m 1m 3m 例 图示结构中， P=20kN, M=10kNm, q=4kN/m, 结构尺寸如图。不计结构自重，求 A，D 两处的约束力。 M 解 或 F B C By P 30 B P FBx 理论力学 30 A D q M A A 5m F Ax F Ay 力系的平衡 M B C M B C FBy FBy FCy (qa/2=6kN) Q F F FCx Bx Bx D q 版权所有张强 F Dx F Dy 2 6 1.5m 1.5m 1m 3m 例 图示结构中， P=20kN, M=10kNm, q=4kN/m, 结构尺寸如图。不计结构自重，求 A，D 两处的约束力。 M 解 (1) 以 BC 为研究对象 MC (Fi ) = 0 B C P 30 理论力学 M + FBy 5 = 0 A D q 5m M 10 FBy = - = - = -2kN 5 5 力系的平衡 M B C FBy FBx FCy FCx 版权所有张强 2 7 1.5m 3m 例 图示结构中， P=20kN, M=10kNm, q=4kN/m, 结构尺寸如图。不计结构自重，求 A，D 两处的约束力。 M 解 (2) 以 BCD 为研究对象 B C Fiy = 0 P 30 理论力学 FDy - FBy = 0 = -2kN A D q F = F 5m Dy By FBy FBy = -2kN M B C 力系的平衡 M (F ) = 0 B i FDx 3 + FDy 5 (qa/2=6kN) Q F Bx + M - Q 2 = 0 D FDx = (-M + Q 2 - FDy 5) / 3 = 4kN 版权所有张强 F Dx F Dy 2 8 F Dx 1.5m 1m 3m 例 图示结构中， P=20kN, M=10kNm, q=4kN/m, 结构尺寸如图。不计结构自重，求 A，D 两处的约束力。 M 解 (2) 以 BCD 为研究对象 B C Fix = 0 P 30 理论力学 - Q - FBx = -Q + F FDx = 0 A D q F 5m Bx Dx FBy FBy = -2kN M B C = 2kN 力系的平衡 (qa/2=6kN) Q F Bx D F = 4kN 版权所有张强 F Dx Dx F Dy 2 9 1.5m 1m 3m 例 图示结构中， P=20kN, M=10kNm, q=4kN/m, 结构尺寸如图。不计结构自重，求 A，D 两处的约束力。 M 解 (3) 以 AB 为研究对象 B C Fix = 0 P 30 理论力学 FAx + P cos 30 + FBx = 0 A D q F = -P cos 30 - F 5m Ax Bx = 2 -10 力系的平衡 3(kN) F = -2kN F F = 0 By By iy B P 30 F = 2kN F F - P sin 30 + F = 0 Bx Bx Ay By FAy = P cos 30- FBy = -12kN A MA FAy FAx 版权所有张强 3 0 1.5m 1.5m 3m 例 图示结构中， P=20kN, M=10kNm, q=4kN/m, 结构尺寸如图。不计结构自重，求 A，D 两处的约束力。 M 解 (3) 以 AB 为研究对象 MA (Fi ) = 0 B C P 30 理论力学 MA - P cos 301.5 - FBx 3 = 0 = P cos 301.5 + FBx A D q 5m M A 3 力系的平衡 F = -2kN F By By = 6 +15 3(kNm) B P F = 2kN F 30 Bx Bx A MA F F 版权所有张强 Ax Ay 3 1 1.5m 1.5m 3m 例 已知：F1=F2=F, a, M=Fa，各构件的重量及摩擦不计求：A、D 两处的约束力。 F1 F2 解 分析 CD 是否为二力杆？ B C M A D 理论力学 a a a a 2a FBy FCy FBy F1 F2 F 力系的平衡 C Cx FBx B C B F F FCy M M D FDx Bx Cx FAx D A F F Dy Ay 版权所有张强 3 2 2a 例 已知：F1=F2=F, a, M=Fa，各构件的重量及摩擦不计求：A、D 两处的约束力。 F1 F2 解 (1) 取 BC 为研究对象 MC (Fi ) = 0 B C M A D 理论力学 F 2a + F a - M = 0 By FBy = 0 2 a a a a 2a Fiy FBy 力系的平衡 FCy = 0 F2 -F - F + F = 0 FBx C By 2 Cy F B M Cx F = F Cy Fix = 0 版权所有张强 = FBx -FBx FCx + FCx = 0 3 3 2a 例 已知：F1=F2=F, a, M=Fa，各构件的重量及摩擦不计求：A、D 两处的约束力。 F1 F2 解 (2) 取 AB 为研究对象 MA (Fi ) = 0 B C M A D 理论力学 F 2a - F 2a - F a = 0 By FBx Bx 1 a a a a 2a = -F /2 = FCx FBy Cx = 0 F FBy F1 力系的平衡 = 0 ix = F F F + F = 0 Bx B FBx Ax Bx = -FBx = F /2 = F F Cy F FAx A Ax FAy FAy = F1 F = 0 iy 版权所有张强 = F FAy - F1 + FBy = 0 3 4 2a 例 已知：F1=F2=F, a, M=Fa，各构件的重量及摩擦不计求：A、D 两处的约束力。 F1 F2 解 (3) 取 CD 为研究对象 MD (Fi ) = 0 B C M A D 理论力学 F 2a + F 2a + M = 0 Cx MD Cy D a a a a 2a = -Fa = -F /2 = F FCx Fix 力系的平衡 = 0 FCy FCx FCy - F = 0 F C Dx Cx = -F /2 FDx M D D Fiy = 0 FDx F 版权所有张强 Dy - FCy = 0 FDy = F FDy 3 5 2a 例 图示铅垂面内不计自重和摩擦的构架由杆 AB ，CD ，BE 和DE 组成，各杆在 B ，D ，E ，H 处彼此铰接，已知 F1 ，F2 ， M 和 a ，试求杆 CD 在 C ，H ，D 三点处所受到的销钉约束力。 r F2 r F 解 (1) 取整体为研究对象： 二力杆 r F r F Ay MA A D = 0 : 1 理论力学 Ax E FCx a + M + F2 2a = 0 r FCy M M F = - - 2F Cx 2 a 力系的平衡 r B C FCxa a r F2 r FED r F (2) 取杆 BE（带销钉 B ，E）为研究对象： 1 MB = 0 : M + FED a + F2 a - F1 a = 0 E M r F FED = F1 - F2 - M 版权所有张强 r FBx a By B 3 6 a H r F2 M M = - - 2F2 , r FED = F1 - F2 - FCx FED 二力杆 r F1 a a r A D F2 r F1 E M E 理论力学 r FBy B B M C r F a a Bx 力系的平衡 (3) 取杆 CD 为研究对象： FDE (FED r FHy r = -FED ) D - M = F = F - F F DE ED 1 2 a r FCy C H F 版权所有张强 Hx r FCx 3 7 a H - M (3) 取杆 CD 为研究对象：F = F = F - F DE ED 1 2 a Fx + FHx + FDE = 0 = 0 : FCx = 2M F = -F - F - F + 3F Hx Cx DE 1 2 a 理论力学 F a - F a - F a = 0 2 M = 0 : H Cx DE Cy 2 2 FCy = FCx - FDE = -F1 - F2 力系的平衡 Fy + FCy = 0 = 0 : FHy = -FED ) D FDE (FED r FHy r FHy = -FCy = F1 + F2 r FCy C H F 版权所有张强 Hx r FCx 3 8 r F2 杆 CD 在 C ，H ，D 三点处受销钉 二力杆 r F1 约束力分别为 A D = M E + 2F F Cx 2 a M = F + F F Cy 1 2 理论力学 B C 2M a a = - F + 3F F Hx 1 2 a = F1 + F2 FHy 力系的平衡 M = F1 - F2 - FDE F (F = -F ) a DE r FHy H r FCx ED ED D r FCy C r F 版权所有张强 Hx 3 9 a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H 例 图示构架，杆 AB 和 CE 在它们的中点以销钉 D 相连接，已知重物 P 重 10kN ，AB = 8m ，CE = 6m ，滑轮半径为 1m 。若不计各杆和滑轮的重量及各接触处摩擦，试求杆 BC 两端所受 到的销钉作用力，以及支座 A ，B 处的约束力。 二力杆 C 解 (1) 取滑轮和重物为研究对象 理论力学 ME = 0 : FT r - P r = 0 A D B FT = P 力系的平衡 E FEy P r F FEx E T 版权所有张强 r P 4 0 P = 10kN, AB = 8m,CE = 6m,滑轮半径为 1 m。 r FCB r F C C 4 5 a sina= = P B r F T F D y D A D D x 理论力学 r FT E E 力系的平衡 P P r P (2) 取杆 CE 、滑轮和重物为研究对象 MD = 0 : (CD sina) - FT (DE - r) - P r = 0 FCB F ( 6 4) - F (3 -1) - P 1 = 0 CB T 2 5 版权所有张强 F = 5 P = 12.5 kN 4 1 CB 4 P = 10kN, AB = 8m,CE = 6m,滑轮半径为 1 m。 r C F = P r F FA y T (3) 取整体为研究对象 A D B Ax r FB Fx - FT = 0 = P = 1 kN = 0 : FAx = FT r FT 理论力学 FAx E MA = 0 : P FB AB - FT (DE - r) - P (AD + r) = 0 力系的平衡 r P FB 8 - FT (3 -1) - P (4 +1) = 0 7 8 F = P = 8.75 kN B Fy + FB - P = 0 = 0 : FAy 1 版权所有张强 = P - FB = P = 1.25 kN 8 FA y 4 2 例 图示结构中，忽略各杆自重和轴销处摩擦，已知 M, F, a, 求杆 CD 在 C, G, E, D 处收到的作用力。 F 解 分析： 取 HEB 取 CD E H M 取整体 C D 理论力学 G F E F F H FEy E Ay B F A a B a FAx 2a Ex 力系的平衡 FBD F F B FGx FEx C Gy Ey D F B G E FAC FBD 2M M = = 2F (), FEy = 3F + () FAC , FEx 版权所有张强 a 2a F = M (), F = 3M 4 3 + F (), F = -2 2F Gx Gy BD a a a a

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