电路原理a2状态变量法

1、1二、状态方程（state equation） 求解状态变量的方程。 LiL设选 uC , iL 为状态变量+ uL -i+ C列微分方程e(t)CuCRduu-i = CC = i - C-CdtLRu = L diL = e(t ) - uLdtC改写为 du11C = - u + idtRC C C LdiL = - 1 u + 1 e(t )称为状态方程。 dtL C L清华大学电机系电路原理教学组推广至任一时刻 t1uL(t1)=e(t1)-uC(t1)uC (t1 )uR(t1)= uC(t1)可由iL (t1 )iR(t1)= uC(t1)/Re(t1 )iC(t1)= iL(t

2、1)- uC(t1)/R可见当 t = t1 时 uC ， iL 和 t t1 后的输入e(t)为已知，就可以确定t1及t1以后任何时刻系统的响应。 问题：如何求出 t1时刻的状态变量。 清华大学电机系电路原理教学组例LiL+ uL -选 uC ， iL 为 状态变量。 ii+e(t)C+R + 已 知 uC (0) = 3V, iL (0) = 0,CuC R uRe(t ) = 20 sin( w t + 30 o )V- 2 -输出变量: uL , iC , uR , iR 。 解 由uL(0) = 7VuC (0) = 3Vu (0) = 3VRiL (0) = 0iR(0) = 1.

3、5Ae(0) = 10 ViC(0) = -1.5A清华大学电机系电路原理教学组一、状态变量（state variable）x分析动态过程的独立变量。 选定系统中一组最少数量的变量 x=x1 ,x2 ,xnT ， 如果当 t = t0 时这组变量x(t0)和 t t0 后的输入（激励） e(t)为已知，就可以确定t0及t0以后任何时刻系统的响应。 x(t0)确定y(t)t te(t) t t00称这一组最少数目的变量为状态变量。 清华大学电机系电路原理教学组说明：x表示状态变量的列向量。为区分符号， 以下用 表示向量或矩阵。 18.1 状态变量和状态方程 状态方程的建立 状态方程的求解 清华大

4、学电机系电路原理教学组返回目录u 本章重点本章重点 18.1 状态变量和状态方程 18.2 状态方程的列写 18.3 状态方程的时域解析解法 18.4 状态方程的拉普拉斯变换法求解 清华大学电机系电路原理教学组第18章状态变量法2- 110- 1 R C5 1R5C1C1 0 u u 111111u2 = R C- R C- CC u 2 10 i 5 2 15 2R2R2 +- u0- 66 i L S3 3 3 i4 1L31L3L3 i4 1 RR L - 6- 6 4 L4L4L4L4 清华大学电机系电路原理教学组例2 列写图示电路的状态方程。 选 u1 , u2 , i3 , i4为

5、状态变量 u2+L3du- C2iC1 = i - i+31 dt54u1C1du2i-C2 dt = i6 - i55L4diR5iL3 3 = u2 + i6 R6 - uS4dti6diL 4 = u - i R - u + u4S 6 621R6- uS +dt消去非状态量 i5 , i6i5= (u2-u1)/R5i6 = i4 -i3代入上式，整理为矩阵形式 整理成矩阵形式，得状态方程如下： duC 11 dt 0- C- C 00 uC di1 = 1- R1- R1 i 1+ 10 uS dtLLLLi 111 i 2 1 S di2 1 RR + R 1R dt - 1 -

6、12 - 2 L2L2L2 L2L2 清华大学电机系电路原理教学组 18.2 状态方程的列写 uCi2L2一、直观法-+例1 列写图示电路R1Ci的状态方程。LRS12分析：+选 u , i , i 为uSi1C12-状态变量。 C duC = i + idt12 L di1 = u - (i + i )R + u1 dtC12 1SL di2 = u - (i + i )R + u - (i + i )R2 dtC12 1S2S2对包含电容的节点列KCL-（duC/dt） 对包含电感的回路列KVL（ diL/dt） 三、输出方程（output equation）LiL uL=e(t)-uC(

7、t)+ u -i (t)= i (t)- u (t)/RLiiCLC+C+R +uR(t)= uC(t)e(t)CuC R uRiR(t)= uC(t)/R- uL - 101 i - 1 / R 1 u 0 C = C + e(t)uR 10 iL 0i 1 / R 0 0R 一般形式Y(t) = C X(t) +Dv(t)特点： （1） 代数方程； （2） 用状态变量和输入量表示输出量。 清华大学电机系电路原理教学组返回目录 duC = - 1 u + 1 i状态方程的特点： dtRC C C L （1） 是一阶微分方程组； diL = - 1 u + 1 e(t )（2） 左端为状态变量

8、的一阶导数； dt C L L（3） 右端仅含状态变量和输入量。 矩阵形式 duC - 11 0 dt RC C u = C + 1 e(t ) diL - 1 0 iL dt L L式中 n1r1x=x1 x2 xnT一般形式 x(t ) = A x(t ) + Bv(t )T x = x x x nnnr1 2n 清华大学电机系电路原理教学组3三、拓扑法基本思想 （1） 线性电路以 iL，uC 为状态变量。 （2） 每个元件抽象为一条支路，选一个树使 在树支中 C+ uS -Rt常态树 在连支中 (Proper tree)LiSRl（3） 形成单树支割集矩阵 Q ，单连支回路矩阵B； （4

9、） 对单树支割集列写KCL方程 it= -Ql il 用连支电流表示树支电流； 清华大学电机系电路原理教学组（6） 整理成标准形式 - 1- R du - 111 1 dCt 1 C1 ( R1 + R2 ) C1 ( R1 + R2 ) C1 u C 1 1 C1 (R1 + R2 ) -CR1 (R+ R2 2 ) du2 1- 1- 1 1SuC= u + C ( R + R ) C ( R + R ) dt C ( R + R ) C ( R + R ) C C 2 2 122 12 i di 2 122 122 i S L 1 1L dt - LL0 00清华大学电机系电路原理教学组

10、uC1uC2iLuSiSC duC 1 1 dt-1R1 + R21R1 + R21-1R1 + R2- R1 R1 + R2C duC 2 2 dt1R1 + R2-1R1 + R2- 1 1 R1 + R2- R R21 + R2L diL dt- 11000（4） uS 单独作用： iS =0，iL=0 , uC1=0 ，uC2=0。求：iC1 ， iC2 , uL 。u+ uiC2i = - R +SRL -C 112RiiC 2 = uSC1R + R +112uSR2u = 0-L（5） iS 单独作用： uS =0，iL=0 , uC1=0 ，uC2=0 。求：iC1 ， iC2

11、 , uL 。R i i = - 1 S+ uL -iC2C 1R + R12iC1 iSi = - R2iSC 2R + R R1R212uL = 0清华大学电机系电路原理教学组（2） uC2 单独作用： iL=0，iS =0，uS=0 , uC1=0 。求：iC1 ， iC2 , uL 。u+ u - iiC=1 R + R C 2 C2C212+ u -iC 2 = - R uC2LiC1+ RR121R2u = uLC 2（3） iL 单独作用： iS =0，uS=0 , uC1=0 ，uC2=0。求：iC1 ， iC2 , uL 。 iLiC2iC 1 = iL+ uL -iC1iC

12、 2 =-iLR1R2uL = 0清华大学电机系电路原理教学组例+ uC2 - iC2iL L设uC1、 uC2 、iL为状态变量 + uL -解 R1S（1） uC1 单独作用： iL=0，iS=0， +R2uSuS=0 , uC2=0 。 -求：iC1 ， iC2 , uL 。 i = - uC 1iC2 iC1C 1R + R12+ uL -+ u -i = uC 1RC1C 2 R + R1R122u = -uLC 1清华大学电机系电路原理教学组iC1+uC1 -i二、叠加法步骤： +-（1） 将电源、电容、电感均 + uC - i抽到网络外，网络内均为电阻。 C（2）电容用电压源替代

13、，电 u +iS感用电流源替代。 SRR（3）用叠加定理求iC , uL 。 -则 uS ，iS ，uC，iL共同作用下的 + uL -iC , uL为： iLiC = a11 uC +a12 iL + b11 uS+ b12 iS uL = a21 uC +a22 iL + b21 uS+ b22 iS iC a11 a12 uC b11 b12 uS = + uL a21 a22 iL b21 b22 iS 由此可得状态方程。 清华大学电机系电路原理教学组L diL dtC duC dt4一、 线性状态方程的解 1. 一阶状态方程的解答形式 dx(t ) = ax(t ) + bv(t )

14、初值 x(0) dt上式两边同乘 e-ate- at dx(t ) - ax(t ) = e- atbv(t ) dt即 d e- at x(t ) = e- at bv(t)dt 清华大学电机系电路原理教学组18.3 状态方程的时域解析解法整理得i = i + uS - uC CL R5 R5uL = - R1iL + iS - uC矩 阵形式 C duC - 1 1 3 dt = R1 uC + R0 uS L di L -5 1 - R Li 50R iS 4 dt 1 1 状态方程为 duC - 1 1 1 dt R CC u + R C 0udi = -5 13- R3C5 3RS

15、L 1 iL 01 iS dt L4L4 L4 清华大学电机系电路原理教学组返回目录iC = iL + iR5（3）u = u - u LR1C（6） 消去（3）式中非状态量 i 和 u代入 R5R1由欧姆定理 uR1=R1 iR1由方程组（1）uR1 =R1(- iL+ iS )iR1 = - iL + iS由欧姆定理 iR2= uR5 / R2由方程组（2）iR5 = (- uC+ uS)/R5 uR5 = - uC + uS清华大学电机系电路原理教学组选出与 iC 有关方程为 iC = iL + iR5（5） u= uuuuuu TR1SCLR5is树支电压连支电压 ul = -Bt u

16、t uL 1 0 -1 uR1 u = u = 0 1 -1 u （2） l R5 S uiS -1 1 0 uC 选出与uL有关方程为： uL = uR1 uC清华大学电机系电路原理教学组（3）1 0 0 1 0 -1- 1 0 1 1 0 0Q = 0 1 0 01 1 B = 0 - 1 1 0 1 00 0 1 -1 -1 01 - 1 0 0 0 1QlBt（4） i= i iii ii TR1usCLR2S树支电流连支电流 it = -Ql il iR 1 - 101 i L i = i = 0- 1- 1 i（1） t us R 2 iC 110 iS 清华大学电机系电路原理教学

17、组（5） 对基本回路列写KVL方程 ul = -Bt ut 用树支电压表示连支电压； （6） 消去非状态量； （7） 整理，得到状态方程。 uC R1例+-（1） 选 uC ， iL 为+C3iL L4状态变量。uSR5i-S（2） 以1，2，3为 树支的常态树。1 3 42 565由eAt = PeLt P-1可得 eAt = 11 e-t0 -1 -1 2 1 0e-2t 21 = -e-t + 2e-2t -e-t + e-2t - t-2t- t-2t 2e - 2e2e - e 例2 已知一电路的状态方程为 x1 = -3 -1 x1 + 2 v x 20 x 0 2 2 x1 (0

18、) 2初值 = ， 输入v = 1 x2 (0) 5求 x1 (t )，x2 (t )。 清华大学电机系电路原理教学组 p 对应特征值 l = -2的特征向量 p = 12 满足下式 22 p22 A - l2 I p2 = 0即 -3 + 2 -1 p12 = 0 22 p 22 1 = 1，则 p = -1，得 p =取 p12222-1 11 P = pp =12 -2 -1 -1 -1eL = e- t0 P-1 = 0e-2t t 21 清华大学电机系电路原理教学组-3 -1例1已 知 A = ，求eAt。 20 解 det A - lI = 0- 3 - l - 1l = -1即

19、= l2 + 3l + 2 = 0 12- ll2 = -2对应特征值 l = -1的特征向量 p = p11 满足下式 11 p 21 A - l1 I p1 = 0即 -3 + 1 -1 p11 = 0 21 p 21 取 p = 1，则 p = -2，得 p = 1 11211-2 4. 用矩阵对角线化的方法计算eAta. 由矩阵A的特征方程 det A - lI = 0求特征值l1， l2， ，ln（假设各特征值相异） b. 对每一个特征值li 求特征向量 piA-liI pi = 0n1c. 构成A的对角化转换矩阵 P = p1 p2 pn d. 求eAt nneAtP et P-1

20、式中 eLt = diagel1t el2t elnt 清华大学电机系电路原理教学组2. 状态方程组的解答形式 x(t ) = A x(t ) + Bv(t )比照一阶做法，得 t x(t ) = eAt x(0) + eAt e- At Bv(t )dt0式中 eAt 称作矩阵指数， 也称为状态转移矩阵(state transition matrix)3. 关于矩阵指数 定 义 At def1 2 2 1 k ke = I + At + 2! A t + = k! Atk =0性质e Ate- At = I （单位阵） d e At = d ( I + At + 1 A2t 2 + ) dt

21、dt2!= A + A2t + 1 A3t 2 + = e At A2!上式等号两边积分 d e- at x(t ) dt = e- at bv(t )dttt0 dt 000te- at x(t ) t = e- at bv(t )dtte- at x(t ) - x(0) = e- at bv(t )dt0tx(t ) = eat x(0) + ea t e- at bv(t )dt0零输入响应零状态响应 清华大学电机系电路原理教学组6作拉氏反变换得矩阵指数 2 e- t + 1 e-2.5t 2 e- t - 2 e-2.5t eAt = 3333 1 e- t - 1 e-2.5t 1

22、 e- t + 2 e-2.5t3333所以状态方程的解为 x1(t) = eAt x1(0) = eAt 1 x (t)x (0)-42 2 2 e- t + 1 e-2.5t 2 e- t - 2 e-2.5t -t-2.5t 3333 1 -2e + 3e = = - t-2.5t ( t 0)1 e- t - 1 e-2.5t 1 e- t + 2 e-2.5t -4 -e - 3e 3333 清华大学电机系电路原理教学组例1 已知一零输入系统的状态方程为 x1(t) = -1.5 1 x1(t)， x1 (0) 1 x (t )0.5 -2x (t )x (0) -42 2 2 试求

23、状态方程的解。解 先求矩阵指数： sI - A =s + 1.5-1 -0.5s + 2将上式矩阵求逆得 (sI - A)-1 =1s + 21 (s + 1)(s + 2.5) 0.5 s + 1.5 清华大学电机系电路原理教学组 x(t ) = -1 X (s)即 x(t ) = -1(sI - A)-1 x(0- ) + -1 (sI - A)-1BV (s)上式右端第一项为零输入响应： -1- x f (t )= -1(sI - A) x(0 )第二项为零状态响应： x (t ) -1(sI - A)-1BV (s)e比较时域解的形式可知 eAt = -1 (sI - A)-1清华大学

24、电机系电路原理教学组线性非时变电路的状态方程标准形式为 x(t ) = A x(t ) + Bv(t )两边取拉氏变换，得 s X (s)- x(0- )= A X (s) + BV (s)(sI - A) X (s) = x(0- ) + BV (s) X (s) = (sI - A)-1( x(0- ) + BV (s)作拉氏反变换，得I = 1 00 1单位矩阵 清华大学电机系电路原理教学组18.4状态方程的拉普拉斯变换法求解 x(t ) = -1 X (s)t x (t ) = eA(t-t ) Bu(t )dte0= t -e-(t -t ) + 2e-2(t -t ) -e-(t

25、-t ) + e-2(t -t ) 20 2e-(t -t ) - 2e-2(t -t ) 2e- (t -t ) - e-2(t -t ) 0 dt = t - 2e-( t -t ) + 4e-2( t -t ) dt-( t -t )-2( t -t ) 0 4e- 4e= 2e-t - 2e-2t 2 - 4e-t + 2e-2t全响应为 x(t ) = x (t ) + x (t )fe= -5e-t + 7e-2t - t-2t10e - 7e+ 2清华大学电机系电路原理教学组返回目录解 例1已求出eAt eAt = -e- t + 2e-2t -e-+t e -2t - t-2t- t-2t 2e - 2e2e - e 方程的全解 t x(t ) = eAt x(0) + eAt e- At Bv(t )dt0零输入解xf(t)零状态解xe(t) x (t )