专题：阿氏圆与线段和最值问题

1、专题：阿氏圆与线段和最值问题以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下：阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比(1)，则P点的轨迹，是以定比内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB，(k1)P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k1)P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似例题1、问

2、题提出：如图1，在RtABC中，ACB90，CB4，CA6，C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD1，则有，又PCDBCP，PCDBCP，PDBP，AP+BPAP+PD请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为 （3）拓展延伸：已知扇形COD中，COD90，OC6，OA3，OB5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD；（2）连接CP，在CA上

3、取点D，使CD，则有，可证PCDACP，得到PDAP，即：AP+BPBP+PD，从而AP+BP的最小值为BD；（3）延长OA到点E，使CE6，连接PE、OP，可证OAPOPE，得到EP2PA，得到2PA+PBEP+PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值【解答】解：（1）如图1，连结AD，AP+BPAP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，在RtACD中，CD1，AC6，AD，AP+BP的最小值为，故答案为：；（2）如图2，连接CP，在CA上取点D，使CD，PCDACP，PCDACP，PDAP，AP+BPBP+PD

4、，同（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD故答案为：；（3）如图3，延长OA到点E，使CE6，OEOC+CE12，连接PE、OP，OA3，AOPAOP，OAPOPE，EP2PA，2PA+PBEP+PB，当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE13【点评】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出PCDACP和OAPOPE，也是解本题的难点例题2、问题背景 如图1，在ABC中，BC4，AB2AC问题初探 请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB ，AC 问题再探 如图2，在AC右侧作CADB，

5、交BC的延长线于点D，求CD的长问题解决 求ABC的面积的最大值【分析】问题初探：设ACx，则AB2x，根据三角形三边间的关系知2xx4且2x+x4，解之得出x的范围，在此范围内确定AC的值即可得出答案；问题再探：设CDa、ADb，证DACDBA得，据此知，解之可得；问题解决：设ACm、则AB2m，根据面积公式可得SABC2m，由余弦定理可得cosC，代入化简SABC，结合m的取值范围，利用二次函数的性质求解可得【解答】解：问题初探，设ACx，则AB2x，BC4，2xx4且2x+x4，解得：x4，取x3，则AC3、AB6，故答案为：6、3；问题再探，CADB，DD，DACDBA，则，设CDa、

6、ADb，解得：，即CD；问题解决，设ACm、则AB2m，根据面积公式可得SABCACBCsinC2msinC2m，由余弦定理可得cosC，SABC2m2m由三角形三边关系知m4，所以当m时，SABC取得最大值【点评】本题主要考查三角形三边关系、相似三角形的判定与性质及二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式、余弦定理及二次函数的性质例题3、如图，已知 AC6，BC8，AB10，C的半径为 4，点 D 是C上的动点，连接 AD， BD，则的最小值为_【解答】例题4、在 ABC中，AB=9，BC=8，ABC=60，A 的半径为 6，P是A上的动点， 连接PB，P

7、C ，则3PC+2PB的最小值为_【解答】21练习1如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则AP+BP的最小值是 【分析】如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK由POKAOP，可得，推出PKPA，在PBK中，PB+PKBK，推出PB+PAPB+PK的最小值为BK的长【解答】解：如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BKOP2，OA4，OK1，POKAOP，POKAOP，PKPA，PB+PAPB+PK，在PBK中，PB+PKBK，PB+PAPB+PK的最小值为BK的长，B（4，4），K（1，0），BK5故答案为5【点评】本题考查坐标与图形的性

8、质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题2如图，正方形ABCD的边长为4，B的半径为2，P为B上的动点，则PD+PC的最小值等于 【分析】在BC上截取BE1，连接BP，PE，由正方形的性质可得BC4CD，BP2，EC3，可证PBECBP，可得PEPC，即当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，【解答】解：如图，在BC上截取BE1，连接BP，PE，正方形ABCD的边长为4，B的半径为2，BC4CD，BP2，EC3，且PBEPBEPBECBPPEP

9、CPD+PCPD+PE当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，PD+PC最小值为DE5故答案为：5【点评】本题考查了正方形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键3如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，B的半径为2，P是B上一动点，则PD+PC的最小值为 ；PD+4PC的最小值为 【分析】如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE1只要证明PBECBP，可得，推出PD+PCPD+PE，再根据三角形的三边关系PE+PDDE即可解决问题；连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE，连接EC，作EFBC于F只要证明PB

10、EDBP，可得，推出PEPD，推出PD+4PC4（PD+PC）4（PE+PC），根据三角形的三边关系PE+PCEC即可解决问题；【解答】解：如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE1PB24，BEBC4，PB2BEBC，PBECBP，PBECBP，PD+PCPD+PE，PE+PDDE，在RtDCE中，DE5，PD+PC的最小值为5连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE，连接EC，作EFBC于FPB24，BEBD44，BP2BEBD，PBEPBD，PBEDBP，PEPD，PD+4PC4（PD+PC）4（PE+PC），PE+PCEC，在RtEFC中，EF，FC，EC，PD+4PC的最小值为1

11、0故答案为5，10【点评】本题考查轴对称最短问题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会根据相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题4如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC1，BD2，P为上一动点，求PC+PD的最小值【分析】如图当A、P、D共线时，PC+PD最小，根据PC+PDPM+PDDMADAM即可计算【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，ABBD4，BD是切线，ABD90，BADD45，AB是直径，APB90，PABPBA45，PAPB，POAB，ACPO2

12、，ACPO，四边形AOPC是平行四边形，OAOP，AOP90，四边形AOPC是正方形，PMPC，PC+PDPM+PDDM，DMCO，此时PC+DP最小ADAM2【点评】本题考查切线的性质、轴对称最短问题、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是找到点P的位置，学会通过特殊点探究问题，找到解题的突破口，属于中考常考题型5如图，在RtABC中，A30，AC8，以C为圆心，4为半径作C（1）试判断C与AB的位置关系，并说明理由；（2）点F是C上一动点，点D在AC上且CD2，试说明FCDACF；（3）点E是AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出EF+FA的最小值【分析】（

13、1）结论：相切作CMAB于M，只要证明CM4，即可解决问题；（2）由CF4，CD2，CA8，推出CF2CDCA，推出，由FCDACF，即可推出FCDACF；（3）作DEAB于E，交C于F由FCDACF，可得，推出DFAC，推出EF+AFEF+DF，所以欲求EF+AF的最小值，就是要求EF+DF的最小值；【解答】（1）解：结论：相切理由：作CMAB于M在RtACM中，AMC90，CAM30，AC8，CMAC4，O的半径为4，CMr，AB是C的切线（2）证明：CF4，CD2，CA8，CF2CDCA，FCDACF，FCDACF（3）解：作DEAB于E，交C于FFCDACF，DFAC，EF+AFEF+

14、DF，欲求EF+AF的最小值，就是要求EF+DF的最小值，当E与E，F与F重合时，EF+DF的值最小，最小值DEAD3【点评】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确切线的证明方法，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考压轴题6问题提出：如图1，在等边ABC中，AB12，C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD3，则有，又PCDBCP，PCDBCP，PDBP，AP+BPAP

15、+PD请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC7，AB9，P为矩形内部一点，且PB3，AP+PC的最小值为（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，COD120，OC4，OA2，OB3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程【分析】（1）由等边三角形的性质可得CF6，AF6，由勾股定理可求AD的长；（2）在AB上截取BF1，连接PF，PC，由，可证ABPPBF，可得PFAP，即AP+PCPF+PC，则当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，由勾股定理可求AP+PC的值最小值；（3）延长OC，使C

16、F4，连接BF，OP，PF，过点F作FBOD于点M，由，可得AOPPOF，可得PF2AP，即2PA+PBPF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值【解答】解：（1）解：（1）如图1，连结AD，过点A作AFCB于点F，AP+BPAP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，AC12，AFBC，ACB60CF6，AF6DFCFCD633AD3AP+BP的最小值为3（2）如图，在AB上截取BF1，连接PF，PC，AB9，PB3，BF1，且ABPABP，ABPPBF，P

17、FAPAP+PCPF+PC，当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，CF5AP+PC的值最小值为5，（3）如图，延长OC，使CF4，连接BF，OP，PF，过点F作FBOD于点M，OC4，FC4，FO8，且OP4，OA2，且AOPAOPAOPPOFPF2AP2PA+PBPF+PB，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，COD120，FOM60，且FO8，FMOMOM4，FM4MBOM+OB4+37FB2PA+PB的最小值为【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思

18、路构造出相似三角形，也是解本题的难点7（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD的最大值为（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，B60，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD的最大值为【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG1由PBGCBP，推出，推出PGPC，推出PD+PCDP+PG，由DP+PGDG，当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG5由PDPCPD

19、PGDG，当点P在DG的延长线上时，PDPC的值最大（如图2中），最大值为DG5；（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG4解法类似（1）；（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG4，作DFBC于F解法类似（1）；【解答】解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG12，2，PBGPBC，PBGCBP，PGPC，PD+PCDP+PG，DP+PGDG，当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG5PDPCPDPGDG，当点P在DG的延长线上时，PDPC的值最大（如图2中），最大值为DG5（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG4，PBGPBC，PBGCBP，PGPC，PD+PCD

20、P+PG，DP+PGDG，当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DGPDPCPDPGDG，当点P在DG的延长线上时，PDPC的值最大，最大值为DG故答案为，（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG1，作DFBC于F2，2，PBGPBC，PBGCBP，PGPC，PD+PCDP+PG，DP+PGDG，当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在RtCDF中，DCF60，CD4，DFCDsin602，CF2，在RtGDF中，DGPDPCPDPGDG，当点P在DG的延长线上时，PDPC的值最大（如图2中），最大值为DG故答案为，【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质

21、、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题8如图，抛物线yx2+bx+c与直线AB交于A（4，4），B（0，4）两点，直线AC：yx6交y轴于点C点E是直线AB上的动点，过点E作EFx轴交AC于点F，交抛物线于点G（1）求抛物线yx2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）在（2）的前提下，y轴上是否存在一点H，使AHFAEF？如果存在，求出此时点H的坐标，如果不存在，请说明理由【分析】（1）把A、B点的坐标

22、分别代入代入yx2+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c，从而得到抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y2x+4，设G（x，x22x+4），则E（x，2x+4），根据平行四边形的判定，当GEOB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，从而得到x22x+4（2x+4）4，然后解方程即可得到此时G点坐标；（3）先确定C（0，6），再利用勾股定理的逆定理证明BAC为直角三角形，BAC90，接着根据圆周角定理，由AHFAEF可判断点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M，如图，设H（0，t），由于E（2，0），F（2，5），则M（2，），然后根据HM

23、EF得到22+（t+）252，最后解方程即可得到H点的坐标【解答】解：（1）把A（4，4），B（0，4）代入yx2+bx+c得，解得，抛物线的解析式为yx22x+4；（2）设直线AB的解析式为ykx+m，把A（4，4），B（0，4）代入得，解得，直线AB的解析式为y2x+4，设G（x，x22x+4），则E（x，2x+4），OBGE，当GEOB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，x22x+4（2x+4）4，解得x1x22，此时G点坐标为（2，4）；（3）存在当x0时，yx66，则C（0，6），AB242+8280，AC242+2220，BC2102100，AB2+AC2BC2，BAC为直角三角形，BAC90，AHFAEF，点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M，如图，设H（0，t），G（2，4），E（2，0），F（2，5），M（2，），HMEF，22+（t+）252，解得t11，t24，H点的坐标为（0，1）或（0，4）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和平行四边形的判定；会利用待定系数法求函数解析式；会利用勾股定理的逆定理证