中考数学专题复习——存在性问题

1、中考数学专题复习 存在性问题-作者 : _-日期 : _中考数学专题复习存在性问题一、二次函数中相似三角形的存在性问题1. 如图，把抛物线 yx2 向左平移 1 个单位，再向下平移4 个单位，得到抛物线y( xh)2k .所得抛物线与 x 轴交于 a， b 两点（点 a 在点 b 的左边），与y 轴交于点 c，顶点为 d.（1）写出 h、 k 的值；（2）判断 acd的形状，并说明理由；（3）在线段 ac上是否存在点 m，使 aom abc？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由.2. 如图，抛物线经过 a（ 2，0）， b（ 3，3）及原点 o，顶点为 c（1）求抛物线的解析式；（2）若

2、点 d在抛物线上，点 e 在抛物线的对称轴上，且 a、o、d、e 为顶点的四边形是平行四边形，求点 d 的坐标；（3）p 是抛物线上的第一象限内的动点，过点p 作 pm x 轴，垂足为 m，是否存在点 p，使得以 p、m、 a 为顶点的三角形 boc相似？若存在，求出点p 的坐标；若不存在，请说明理由2二、二次函数中面积的存在性问题3. 如图，抛物线 yax2bx a 0 与双曲线 yk 相交于点 a，b已知点 b 的坐标为（ 2， 2），x点 a 在第一象限内，且 tan aox 4过点 a 作直线 ac x 轴，交抛物线于另一点 c（1）求双曲线和抛物线的解析式；（ 2）计算 abc的面积

3、；（3）在抛物线上是否存在点 d，使 abd的面积等于 abc的面积若存在，写出点 d 的坐标；若不存在，说明理由4. 如图，抛物线 yax2c（a0）经过梯形 abcd的四个顶点，梯形的底 ad在 x 轴上，a（2,0）， b（1, ）3（1）求抛物线的解析式；（ 3 分）（2）点 m为 y 轴上任意一点，当点 m到 a、b 两点的距离之和为最小时，求此时点m的坐标；（ 2 分）（3）在第（ 2）问的结论下，抛物线上的点p 使 s4s成立，求点 p 的坐标（ 4 分）padabm(4) 在抛物线的 bd段上是否存在点 q使三角形 bdq的面积最大，若有，求出点 q的坐标，若没有，说明理由。3

4、yadoxbc三、二次函数中直角三角形的存在性问题5. 如图 , 在平面直角坐标系中，abc是直角三角形 , acb=90,ac=bc,oa=1，oc=4，抛物线 yx2bxc 经过 a，b 两点，抛物线的顶点为d（1）求 b, c 的值；（2）点 e是直角三角形abc斜边 ab上一动点 ( 点 a、b 除外 ) ，过点 e 作 x 轴的垂线交抛物线于点f，当线段 ef的长度最大时，求点e 的坐标；（3）在（ 2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点p，使 efp是以 ef为直角边的直角三角形 ?若存在，求出所有点p 的坐标；若不存在，说明理由.yybbacaocox

5、xdd26 题图26 题备用图4四、二次函数中等腰三角形的存在性问题6. 如图，直线y 3x 3交 x 轴于a 点，交 y轴于b点，过、两点的抛物线交 x 轴于另一点（）.a bc 3,0 求抛物线的解析式 ; 在抛物线的对称轴上是否存在点 q，使 abq是等腰三角形？若存在，求出符合条件的q点坐标；若不存在，请说明理由 .ybacxo五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题7如图，二次函数 y= x2的图像与x轴交于 (1 ，0) 、b(2 ，0) 两点，且与 y 轴交于点 c；ax ba2(1) 求该拋物线的解析式，并判断 abc的形状；(2) 在 x 轴上方的拋物线上有一点 d，且以

6、 a、c、d、b 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出 d点的坐标；(3) 在此拋物线上是否存在点 p，使得以 a、c、b、p 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出 p 点的坐标；若不存在，说明理由。ycxaob5六、二次函数中菱形的存在性问题8 如图，抛物线经过原点o和 x 轴上一点 a（4，0），抛物线顶点为e，它的对称轴与x 轴交于点 d直线 y=2x 1 经过抛物线上一点b（ 2，m）且与 y 轴交于点 c，与抛物线的对称轴交于点f（1）求 m的值及该抛物线对应的解析式；（2）p（ x， y）是抛物线上的一点，若s adp=sadc，求出所有符合条件的点p 的坐标；（3）点

7、q是平面内任意一点，点 m从点 f 出发，沿对称轴向上以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，设点 m的运动时间为 t 秒，是否能使以 q、a、e、m四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点m的运动时间 t 的值；若不能，请说明理由七、二次函数中与圆有关存在性问题9. 已知：抛物线 y x 2(12m x64m 与x轴交于两点a（x1，0）， b（ x2，0） ( xx， x1) ，)12x20它的对称轴交 x 轴于点 n（x3，0），若 a，b 两点距离不大于6，（1）求 m的取值范围；（ 2）当 ab=5时，求抛物线的解析式；（3）试判断，是否存在m的值，使过点 a 和点 n能作圆与 y

8、 轴切于点（ 0， 1），或过点 b 和点 n能作圆与 y 轴切于点（ 0， 1），若存在找出满足条件的m的值，若不存在试说明理由6定值问题：1.如图所示，在菱形 abcd 中， ab=4 ， bad=120， aef 为正三角形，点 e、 f 分别在菱形的边bc cd 上滑动，且 e、 f 不与 b cd 重合（1）证明不论 e、f 在 bccd 上如何滑动，总有be=cf；（2）当点 e、f 在 bc cd 上滑动时，分别探讨四边形 aecf 和 cef 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值1、【答案】 解：（ 1）由平移的性质知，y( xh) 2k

9、的顶点坐标为（，）， h1，k4 。（2）由（ 1）得 y =x124 .240 解之，得 x13，x2 1 。当 y=0 时， x 1 a(3，0)， b( 1，0) .又当 x0 时， y = x 1223 ，4 0 1 4c点坐标为（ 0， 3）。7又抛物线顶点坐标 d（ 1， 4），作抛物线的对称轴x1交x 轴于点，y轴于点 f。易知e df222222=2 +4 =20，在 rtaoc中， ac=3 +3 =18，在 rt aed中， ad222222是直角三角形。=1 +1 =2， accd。在 rt cfd中， cdadacd（3）存在作 ombc交 ac于 m，点即为所求点。由

10、（ 2）知， aoc为等腰直角三角形， bac 450， ac18 3 2 。由 aom abc，得 aoam 。即 3am , am92。abac43 24922819 ，过 m点作 mg ab于点 g，则 ag=mg= 42164og=aoag=3 93 。又点m在第三象限，所以（ 3， 9 ）。44m442、【答案】 解：（ 1）设抛物线的解析式为 y ax2bx c a0 ，4a2bc=0a=1抛物线过 a（ 2， 0）， b（ 3，3）， o（0，0）可得 9a3bc=3 ，解得 b=2 。c=0c=0抛物线的解析式为 y x22x 。8（2）当 ae为边时， a、o、d、e 为顶点

11、的四边形是平行四边形，de=ao=2，则 d 在 x 轴下方不可能， d 在 x 轴上方且 de=2，则 d1（1，3）， d2（ 3，3）。当 ao为对角线时，则 de与 ao互相平分。点 e 在对称轴上，且线段 ao的中点横坐标为 1，由对称性知，符合条件的点d只有一个，与点c重合，即 c（ 1， 1）。故符合条件的点d有三个，分别是d1（1， 3）， d2（ 3， 3）， c（ 1， 1）。（3）存在，如图： b（ 3，3）， c（ 1， 1），根据勾股定理得：222222是直角三角形。bo=18， co=2， bc=20， bo+co=bcboc假设存在点 p，使以 p，m，a 为顶点

12、的 三角形与 boc相似，设 p（ x ， y ），由题意知 x 0， y 0，且 yx22x ，若 amp boc，则 ampm 。boco即 x +2=3（ x 2+2 x ）得： x 1= 1 ， x 2 = 2（舍去）3当 x = 1 时， y = 7 ，即 p（ 1 ， 7 ）。3939若 pma boc，则， bopm 。cobo即： x 2 +2 x =3（ x +2）得： x 1=3， x 2 = 2（舍去）当 x =3 时， y =15，即 p（3，15）故符合条件的点p 有两个，分别是p（ 1 ， 7 ）或（ 3，15）。393、【答案】 解：（ 1）把点 b（ 2， 2）

13、的坐标代入 yk 得， 2k ， k 4。x29双曲线的解析式为：y4 。x设 a 点的坐标为（ m，n） a 点在双曲线上， mn 4。又 tan aox 4， m 4，即 m4n。 n2 1， n1。na 点在第一象限， n1，m4。 a点的坐标为（ 1，4）。把 a、b 点的坐标代入 y ax2ab 4，解得， a 1， b 3。bx 得， 4a2b 2抛物线的解析式为： yx23x 。（2） ac x 轴，点 c的纵坐标 y4，代入 y x 23x 得方程， x23x4 0 ，解得 x 1 4， x 21（舍去）。c点的坐标为（ 4，4），且 ac 5。1又 abc的高为 6， abc

14、的面积56 15。（3）存在 d点使 abd的面积等于 abc的面积。理由如下：过点 c 作 cd ab交抛物线于另一点d，此时 abd的面积等于 abc的面积（同底： ab，等高： cd和 ab的距离）。直线 ab相应的一次函数是：y2 x2 ，且 cdab，可设直线 cd解析式为 y2xp ，把 c 点的坐标（ 4，4）代入可得， p 12 。直线 cd相应的一次函数是： y 2x 12 。yx23xx3解方程组2x12，解得，。yy18点 d 的坐标为（ 3，18）。104. （1）、因为点 a、 b 均在抛物线上，故点 a、 b 的坐标适合抛物线方程4ac0解之得：a1；故 yx24为

15、所求ac3c4（2）如图 2，连接 bd，交 y 轴于点 m，则点 m就是所求作的点设 bd的解析式为 ykx2kb0，k1，b ，则有bbk32故 bd的解析式为 yx2 ；令 x 0, 则 y2，故 m (0,2)(3)、如图 ，连接 am，bc交 y 轴于点 n，由（ ）知，om=oa=od=，322amb 90易知1，易求am 2 2, bm2bn=mn=sv abm1222，y22 ；设 p( x, x 4)p2p12依题意有： 1ad gx244 2 ，即： 14gx244222解之得： x22 ， x0 ，故符合条件的 p 点有三个：dap (22,4), p (22,4), p

16、 (0, 4)ox123mbncp3图 3115. 解答：解：（ 1）由已知得： a（ 1，0）， b（ 4， 5），2二次函数 y=x +bx+c 的图象经过点 a（ 1， 0）， b（4，5），解得： b= 2， c=3；（2）如图：直线ab经过点 a（ 1，0）， b（4，5），直线 ab的解析式为： y=x+1，二次函数 y=x22x 3，设点 e（t ，t+1 ），则 f（t ，t22t 3），ef=（t+1 ）（ t 22t 3）=（ t ）2+ ，当 t= 时， ef的最大值为，点 e 的坐标为（ ， ）；（3）如图：顺次连接点e、b、f、d得四边形 ebfd可求出点 f 的坐标

17、（ ，），点 d的坐标为（ 1， 4）s 四边形 ebfd bef sdef （ ）+ （ ）=；=s +=41如图：）过点e 作 a ef交抛物线于点22p，设点 p（m，m 2m3）则有： m2m2= ，解得： m=，m=， p （， ）， p （， ），1212）过点ef交抛物线于3，设 p3（n，n2 ）则有： 2 ，f 作 bp2n 3n2n2=1= ，n2= （与点 f 重合，舍去）， p3（ ，），解得： n综上所述：所有点p1 （， ）， p2（， ）， p3（ ，）的坐标： p能使 efp组成以 ef 为直角边的直角三角形126. 解：（ 1）当 x=0 时， y =3当 y

18、 =0 时， x =1 a （ 1， 0）， b （0，3） c （3，0）1分设抛物线的解析式为 y =a（ x +1）（ x 3）3=a1（3） a=1此抛物线的解析式为y =（ x + 1 ）（ x 3）=- x 2 +2 x +32分（2）存在抛物线的对称轴为： x=13 =14分2如图对称轴与 x 轴的交点即为 q1 oa =oq 1 ， bo aq 1 ab =q 1 b q 1 （1，0）6分当 q 2 a =q 2 b 时，设 q 2 的坐标为（ 1，m）2 2 +m2 =12 +（ 3 m） 2m=1 q 2 （1，1）8分当 q 3 a = ab 时，设 q 3 （1，n）

19、 2 2 +n 2 =12 +3 2n0 n=6 q 3 （1， 6）符合条件的 q 点坐标为 q 1 （1，0）， q 2 （1，1）， q 3 （ 1，6 ）10 分13111、答案：解 (1)根据题意，将a，0)， b(2，0) 代入 y=x2axb中，得4ab0，7(2242ab0解这个方程，得a=3，b=1，该拋物线的解析式为y=x23 x，当x=0时， y，221=1点 c 的坐标为 (0 ，1) 。在 aoc中， ac=oa2oc 2=( 1 )212= 5 。22在中， =ob2oc2 = 2212 = 5 。bocbcab oa ob1522=525 ab 2，是直角三角形。

20、=2=， acbc5=2244abc(2)点 d的坐标为 (3 ，1) 。2(3) 存在。由 (1) 知， ac bc。若以 bc为底边，则 bc/ ap，如图 1 所示，可求得直线bc的解析式为 y=1 x，直线 ap可以看作是由直线21bc平移得到的，所以设直线ap的解析式为 y=1 x b，1 ，2把点 a0)代入直线ap的解析式，求得 b1 ，(2=4直线 ap的解析式为 y=1 x1 。点 p 既在拋物线上，又在直线24ycabxopap上，23 x1=1 x1 ，解得 x1 = 5 ，点 p 的纵坐标相等，即 x2242x2=1 ( 舍去 ) 。当 x= 5 时， y=3 ，点 p

21、(5 ， 3 ) 。22222若以 ac为底边，则 bp/ ac，如图 2 所示。可求得直线 ac的解析式为yx。=21直线 bp可以看作是由直线 ac平移得到的，所以设直线 bp的解析式为 y=2xb，把点 b(2 ，0) 代入直线 bp的解析式，求得 b=4，直线的解析式为=24。bpy x点p既在拋物线上，又在直线上，点p的纵坐标相等，bpycab xo即23 xx4，解得 x1=5 ， 2=2(舍去。x1=2x)22当 x=5 时， y=9，点 p 的坐标为 (5 ， 9) 。p22综上所述，满足题目条件的点p 为 ( 5 ，3 ) 或 (5 ， 9) 。222148解：（ 1）点 b

22、（ 2， m）在直线 y=2x1 上 m=3 即 b（ 2，3）2点 b（ 2， 3）， a（4，0）在抛物线上，解得：设抛物线的解析式为（2） p（x，y）是抛物线上的一点，若 sadp=sadc，又点 c是直线 y= 2x1 与 y 轴交点，c（0， 1）， oc=1，即或，解得：点 p 的坐标为（3）结论：存在抛物线的解析式为，顶点 e（2， 1），对称轴为 x=2；点 f 是直线 y=2x 1 与对称轴 x=2 的交点， f（2，5）， df=5又 a（4，0）， ae= 如右图所示，在点 m的运动过程中，依次出现四个菱形：菱形 aem1q1此时 dm1=ae=， m1f=dfdedm

23、1=4， t 1=4；菱形 aeom2此时 dm2=de=1， m2f=df+dm2=6， t 2=6；菱形 aem3q3此时 em3=ae=， dm3=em3 de= 1，mf=dm+df=（ 1） +5=4+ ， t3=4+；33菱形 am4eq4此时 ae为菱形的对角线，设对角线 ae与 m4q4 交于点 h，则 aem4q4，易知 aed m4eh，15，即，得 m4e= ，dm4=m4ede= 1= ，m4f=dm4+df= +5=， t 4=综上所述，存在点m、点 q，使得以 q、a、e、m四点为顶点的四边形是菱形；时间 t 的值为： t 1 =4，t 2=6，t 3=4+，t 4=9. 解：（ 1）令 y=0，则 x 2m x6m0x1x2，且 x10，x10，x20(1 2 )x2 x12m3，x22 a(2m3， 0)，b(2， 0) ，由 ab6，且 1 24m60m0 ，得：xx52m6m ab 2(2m3) 5 2m321