专题一：求函数值域十六法

1、求函数值域方法 求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。一、 基本知识1 定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。2 函数值域常见的求解思路： 划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。 反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式

2、即可获解。 可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数看作是关于自变量的方程，在值域中任取一个值，对应的自变量一定为方程在定义域中的一个解，即方程在定义域内有解；另一方面，若取某值，方程在定义域内有解，则一定为对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围。 特别地，若函数可看成关于的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。 可以用函数的单调性求值域。 其他。3 函数值域的求法（1）、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。 例1：求函数的值域

3、。 例2：求函数的值域。 例3：求函数的值域。解：，函数的值域为。（2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。例1：求函数（）的值域。解：， ，函数（）的值域为。（3）最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。 例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。解：由3-2x-x20，解出定义域为-3，1。 函数y在-3，1内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。函数的值域是0,2例2：求函数，的值域。 例3：求函数的值域。 （4）、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求

4、反函数的定义域，得到原函数的值域。例1：求函数的值域。解：由解得，函数的值域为。（5）、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。例1：求函数的值域。解：，函数的值域为。（6）、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、均为常数，且）的函数常用此法求解。例1：求函数的值域。解：令（），则，当，即时，无最小值。函数的值域为。（7）、判别

5、式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例1：求函数的值域。解：由变形得，当时，此方程无解；当时，解得，又，函数的值域为（8）、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例1：求函数的值域。解：当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，函数在定义域上是增函数。，函数的值域为。例2求函数在区间上的值域。分析与解答：任取，且，则，因为，所以：，当时，则；当时，则；而当时，于是：函数在区间上的值域为。构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例3：求函数的值域。分析与解答：

6、因为，而与在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数，易知在定义域内单调增。，又，所以：，。（9）、基本不等式法利用基本不等式和是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取成立的条件. 例1 求函数的值域. 解答: , 当且仅当时成立. 故函数的值域为. 此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程. 例2 求函数的值域. 解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法

7、求解此题, 此时关键是在分子中分解出项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设: , (2)将上面等式的左边展开, 有: ,故而, . 解得, .从而原函数; )当时, , , 此时, 等号成立, 当且仅当. )当时, , , 此时有, 等号成立, 当且仅当. 综上, 原函数的值域为: . 不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例3. 求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为： 例4. 求函数的值域。解： 当且仅当，即当时，等号成立。由可得

8、：故原函数的值域为：（10）、有界性法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。例1：求函数的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得，（，），函数的值域为形如可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。例2求函数的值域解析：函数的有界性由得例3：求函数的值域。 例4：求函数的值域。 （11）、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例1：求函数的值域。解： ，的图像如图

9、所示，由图像知：函数的值域为以上是我们学习函数之后，关于求函数值域的一些方法，随着以后学习的进一步深入，我们还会学到其它的一些有关求函数值域的方法。根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例2：求函数的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,KC= 。由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当A、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为y|y5。例3如例4求函数的值域。分析与解答：令，则，原问题转化为 ：当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时

10、，求直线的截距的取值范围。由图1知：当经过点时，；当直线与圆相切时，。所以：值域为例4. 求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。（12）、复合函数法：对函数，先求的值域充当的定义域，从而求出的值域的方法。例1、求函数 的

11、值域（复合函数法）设 ，则 例2：求函数的值域。 （13）、非负数法根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。例1、(1)求函数的值域。 (2)求函数的值域。解析：(1)， 故 所求函数的值域为 。(2)，原函数可化为 ，即 ， 当时， ，解得又 ， 所以 ，故 所求函数的值域为 。（不等式性质法）例2：求下列函数的值域： （1）y=； （2）y=； （3）y= （4）y=10-； （2）y=； （3）y=（14）、导数法 若函数在内可导, 可以利用导数求得在内的极值, 然后再计算在,点的极限值. 从而求得的值域.例1： 求函数在内的值域.分析:显然在可导，且. 由得的

12、极值点为. . . 所以, 函数的值域为. （15）、“平方开方法” 求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.1.适合采用“平方开方法”的函数特征设（）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：（1）的值总是非负，即对于任意的，恒成立；（2）具有两个函数加和的形式，即（）；（3）的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即（，为常数），其中，新

13、函数（）的值域比较容易求得.2.“平方开方法”的运算步骤 若函数（）具备了上述的三个特征，则可以将先平方、再开方，从而得到（，为常数）.然后，利用的值域便可轻易地求出的值域.例如，则显然.3.应用“平方开方法”四例能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧. 例1 求函数（，）的值域.解：首先，当时，；其次，是函数与的和；最后， 可见，函数满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域为.于是，的值域为.例2 求函数（，）的值域.解：显然，该题就是例1的推广

14、，且此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域仍为.于是，的值域也仍为.例3 求函数（）的值域.解：参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.易知，的值域为.于是，的值域为.例4 求函数（）的值域.解：参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.易知，的值域为.于是，的值域为.例5 求函数 的值域解：（平方法）函数定义域为： 10xy平方法）函数定义域为： （16）. 一一映射

15、法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例1. 求函数的值域。解：定义域为由得故或解得故函数的值域为多种方法综合运用 例1 求函数的值域。解：令，则（1）当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法 例2. 求函数的值域。解：令，则当时，当时，此时都存在，故函数的值域为例3.求函数 的值域解：（图象法）如图，值域为例4.求函数 的值域解：（复合函数法）令，则 由指数函数的单调性知，原函数的值域为例5.求函数的值域解：（三角代换法） 设 小结：（1）若题目中含有，则可设 （2）若题目中含有则可设，其中（3）若题目中含有，则可设，其中01（4）若题目中含有，则可设，其中（5）若题目中含有，则可设其中例6、求函数 的值域解法一：（逆求法） 2解法二：（复合函数法）设 ，则 解法三：（判别式法）原函数可化为 1） 时 不成立2） 时，综合1）、2）值域解法四：（三角代换法