参数不等式恒成立问题

1、,含参不等式恒成立问题的解法,一、基础知识点： 、f(x)=ax+b,x ,，则： f(x)0恒成立 f(x)0恒成立 ,、ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是： _。,ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是： _。,、f(x)恒成立的充要条件是：_; f(x)恒成立的充要条件是：_。,二、典型例题： 例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30 . (*) （1）当| x | 2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ； （2）当| m | 2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .,当1-m1, (*)式在x -2,2时恒成立的充 要条件为：,解：(1)当1-m=0即m=1时

2、， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ；,(1-m)(-2)2+(m-1)(-2)+ 3 0,当1-m0时，即m1 ,(*)式在x -2,2时恒成立的充 要条件为：,=(m-1)2-12(I-m)0 ，,解得: -11m1；,解得: 1m,综上可知: 适合条件的m的范围是: -11m 。,则 g(m)0恒成立,解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m -2,2）, x （ ， ）,例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30 . (*) （1）当| x | 2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ； （2）当| m | 2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围

3、 .,练习1: 对于一切 |p| 2，pR，不等式x2+px+12x+p 恒成立，则实数x的取值范围是： 。,x3,小结： 1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。,2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。,-,y=kx,y=2 x,y= - 2 x,解：原不等式可化为：x2+2kx,例2、若不等式x2 0,对x -3,3恒成立，则实数k的 取值范围是 。,设 y1= x2+2 (x -3,3) y2= kx,在同一坐标系下作它们的图 象如右图:,由图易得: -2 k2,-2 k2,小结: 3、对于f(x)g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数 图象的关系再

4、处理。,练习2、 若 kx-1 对x 1,+ ) 恒成立，则实数k的取值范 围是：_。,k2,例3、若不等式x +2 a(x+y)对一切正数x、y恒成 立，则实数a的取值范围是 。,令 （t 0）,解: 分离参数得: a ,又 令1+2t=m（m 1），则,f(m)=, a f (x) max= 即a ,(当且仅当m= 时等号成立),恒成立, 则 a （t 0） 恒成立,小结： 4、 通过分离参数，将问题转化为f(x) （或f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求 函数最值的方法，使 问题获解。,例、已知a0，函数f (x)=ax-bx2， （1）当b1，证明对任意的x 0,1，|f(x)|1充

5、要条件是: b-1a2 ； （2）当0b1，讨论：对任意的x 0,1，|f(x)|1充要条件。, x (0,1， b1 bx+ 2 (x= 时取等号 ),故 x (0,1时原式恒成立的充要条件为: b-1a2, ( bx- )max=b-1 (x=1时取得 ),又 bx - 在(0,1上递增,又 x=0时，|f(x)|1恒成立, x 0,1时原式恒成立的充要条件为: b-1a2,故 ( bx+ )min =b+1 (x=1时取得),(2) 0b1时，对x (0,1，|f(x)|1 恒成立,此时 ( bx- )max=b-1 (x=1时取得),故 （*）式成立的充要条件为: b-1ab+1, x

6、 (0,1时原式恒成立的充要条件为: 0 a b+1,而 bx + 在(0,1上递减,又 x=0时，|f(x)|1恒成立, x 0,1时原式恒成立的充要条件为: 0 a b+1,又 a0,三、课时小结：,2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。,3、对于f(x)g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图 象的关系再处理。,4、通过分离参数，将问题转化为f(x)（或f(x)）恒 成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问题获解。,1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。,4 、已知f(x)= (x R) 在区间 -1，1上是增函数。 （1）求实数 a 的值

7、所组成的集合A； （2）设关于x 的方程f(x)= 的两根为x1、x2，试问：是否存在实数m，使得不等式 m2 + t m + 1| x1 - x2| 对任意a A及t -1，1 恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。,1、当x (0,1)时，不等式x2 loga(x + 1)恒成立，则实数a的取值范围是_。,3、若不等式ax2-2x+20 对x (1,4)恒成立，求实数a的取值范围。,2、若不等式|x-a|+|x-1|2 对x R恒成立，则实数a的取值范围是_。,四、课后练习：,2.作y=x-1的图像，把y0的部分以x轴为对称轴翻上去，可以得到一个v字，最低点是(1,0)，

8、y=x-a图像最低点就是(a，0)，画最低点在x轴上的V字，让两个函数叠加后大于2可得当最低点在(1,0)右边时，得到a3时成立当最低点在(1,0)左边时，a-1成立,2. 把a,1看作是数轴上的两点|x-a|则是数轴上任一点X到点a的距离同理|x-1|则是数轴上任一点X到点1的距离从数轴图形中可以看出，只有当x位于a和1两点之间时，|x-a|+|x-1|有最小值a-1若不等式|x-a|+|x-1|2对xR恒成立则只要a-12成立故a3或a-1,1.由函数图象可知，当x(0,1)时x2是单调增函数，loga(x+1)要恒大于x2只能满足a1,且x=1时也成立，所以，12.故最后结果为a2 3.

9、用分离参数的方法 要先讨论a当a=0时， -2x+20 在(1,4)不恒成立 舍去当a0时， ax22x-2 ，即a 2/x-2/x2 要使ax2-2x+20在（1,4）上恒成立 则a要大于右边式子在（1,4）的最大值 令t=2/x， t的范围则为（1/2，2）则 2/x-2/x2 = 2t-t2/2 = -1/2(t-2)2 + 2 这便是两次函数求最值 当t=2时 2t-2t2 的最大值为 2(但取不到)所以a的范围是 2, 正无穷,4.（1）求导得f(x)=-2x+2ax+4/(x+2）由题意f（x）0在x-1,1上恒成立即不等式x-ax-20恒成立.因此-a-10且a-10因此a-1,1，所以集合A=-1,1